高考数学：专题九 第一讲 三角函数课件
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故函数 h(x)的单调递增区间为 5π π kπ－ ，kπ＋ (k∈Z). 12 12
题型突破
第一讲
第一步：三角函数式的化简,一般化成 y＝Asin(ωx＋φ)＋h 的形式,即
本 讲 栏 目 开 关
化为“一角、一次、一函数”的形式； 第二步：由 y＝sin x、y＝cos x 的性质,将 ωx＋φ 看做一个整体,解不 等式,求角的范围或函数值的范围； 第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围,规范写出结果； 第四步：反思回顾,检查公式使用是否有误,结果估算是否有误.
题型突破
第一讲
题型二
本 讲 栏 目 开 关
三角函数的图象和性质
三角函数的图象和性质是高考的重点考查内容,求函数的周期、 单调性、奇偶性、值域是命题的方向,图象以五点法作图和图象变换 为主.解决这类问题要注意数形结合,将函数的性质、图象结合起来.
题型突破
π 1 ,g(x)＝1＋ sin 2x. 例 2 已知函数 f(x)＝cos x＋12 2
π x＋ ≠kπ,k∈Z, 2
π 即 x≠kπ－ (k∈Z). 2 π 故 f(x)的定义域为{x|x≠kπ－ ,k∈Z}. 2
题型突破
(2)因为角 α 在第一象限 sin α＝ 1－cos α＝
本 讲 栏 目 开 关
2
第一讲
3 4 2 ＝ . 1－ 5 5
从而
π 1＋ 2cos2α－4 f(α)＝ π sinα＋2
审题不严谨、答题不规范导致失分,希望引起同学们注意.
题型突破
第一讲
本 讲 栏 目 开 关
题型一
三角函数的概念及三角恒等变换
三角函数的概念和公式是三角变换的基础,主要考查和角公式的 正用、逆用和变形使用,运用公式进行化简求值是必考内容,要注意角 的范围及公式使用的条件,灵活使用公式及其变形.
题型突破
故|3m－2n|的取值范围是(1, 7).
第一讲
本 讲 栏 目 开 关
题型突破
第一讲
第一步：进行三角变换,求出某个角的值或者范围；
本 讲 栏 目 开 关
第二步：脱去向量的外衣,利用向量的运算将所求的式子转化为一个 角的三角函数问题； 第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围,规范写出结果； 第四步：反思回顾,检查公式使用是否有误,结果估算是否有误.
1 ω∈2，1,所以
第一讲
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题型突破
第一讲
题型四
三角函数与三角形
解三角形是历年高考的热点,以三角形为载体,将三角形中的问
本 讲 栏 目 开 关
题转化为代数或方程问题,小题中考查正弦定理、余弦定理的直接应 用,在解答题中常与三角函数的图象、性质结合；解题是要从边角关 系入手,灵活进行边角互化.
题型突破
(2)h(x)＝f(x)＋g(x) π 1 1 2x＋ ]＋1＋ sin 2x ＝2[1＋cos 6 2
本 讲 栏 目 开 关
3 1 3 1 ＝2 cos 2x＋ sin 2x＋2 2 2
第Hale Waihona Puke 讲π 3 1 ＝ sin2x＋3＋ . 2 2 π π π 当 2kπ－2≤2x＋3≤2kπ＋2 (k∈Z), 5π π 即 kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z)时, π 3 1 函数 h(x)＝2sin2x＋3＋2是增函数.
π π 1＋ 2cos 2αcos 4＋sin 2αsin 4 ＝ cos α
1＋cos 2α＋sin 2α 14 ＝ ＝2(cos α＋sin α)＝ 5 . cos α
题型突破
第一讲
第一步：根据已知条件,计算三角函数值或者三角函数式子的值；
本 讲 第二步：通过对角进行“拆”或“添”变形,确定已知角、未知角的 栏 关系； 目 开 第三步：对所求三角函数式子进行化简,并将已知代入； 关
＝－cos 2ωx＋ 3sin 2ωx＋λ π ＝2sin2ωx－6＋λ.
由直线 x＝π 是 y＝f(x)图象的一条对称轴, π 可得 sin2ωπ－6＝± 1, π π k 1 所以 2ωπ－ ＝kπ＋ (k∈Z),即 ω＝ ＋ (k∈Z). 6 2 2 3
题型突破
5 又 k＝1,故 ω＝ . 6 6π 所以 f(x)的最小正周期是 5 . π π (2)由 y＝f(x)的图象过点4，0,得 f4＝0, 5 π π π 即 λ＝－2sin6×2－6＝－2sin 4＝－ 2. 5 π 故 f(x)＝2sin3x－6－ 2. 3π π 5 π 5π 由 0≤x≤ ,有－ ≤ x－ ≤ , 5 6 3 6 6 5 π 1 所以－2≤sin3x－6≤1, 5 π 得－1－ 2≤2sin3x－6－ 2≤2－ 2, 3π 0， 上的取值范围为[－1－ 2,2－ 2]. 故函数 f(x)在 5
又|3m－2n|2＝9m2＋4n2－12m· n
π ＝13－12sin(A＋B)＝13－12sin2B＋6.
题型突破
π π π 又 0<C＝π－(A＋B)< ,0<A＝ ＋B< , 2 6 2 π π π π 5π 所以 <B< ,所以 <2B＋ < . 6 3 2 6 6 π 1 所以 sin2B＋6∈2，1,所以|3m－2n|2∈(1,7).
的双重身份,是中学知识的交汇点之一.这类问题以向量为背景,解决 关键是利用向量知识(数量积应用最多)将条件转化到三角函数,再利 用三角函数的图象与性质处理.
题型突破
例3
第一讲
在锐角△ABC 中,已知内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且
3(tan A－tan B)＝1＋tan A· B,又已知向量 m＝(sin A,cos A), tan n＝(cos B,sin B),求|3m－2n|的取值范围.
考情分析
第一讲
解决三角函数问题的基本思想是脱掉向量或者其他知识的外衣,抓 住三角函数问题的实质,灵活实现问题的转化.最后往往通过三角变换
本 归结到函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质,要注意题目中隐含的角的限 讲 栏 制条件,做到推理严谨、计算准确、表达确切.解答题往往放在 17、18 目 开 题的位置,但是根据历年的阅卷情况,本题的得分率并不是太高,主要是 关
本 讲 栏 目 开 关
解
因为 3(tan A－tan B)＝1＋tan A· B, tan
tan A－tan B 3 3 所以 ＝ ,即 tan(A－B)＝ , 3 1＋tan A· B 3 tan π π 又△ABC 为锐角三角形,则 0<A< ,0<B< , 2 2 π π π 所以－2<A－B<2,所以 A－B＝6.
第四步：反思回顾,对结果估算.
题型突破
第一讲
本 讲 栏 目 开 关
π 1 变式训练 1 已知－ <x<0,sin x＋cos x＝ ,求 cos x－sin x 的值. 2 5 1 解 由 sin x＋cos x＝5两边平方得 1 sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＝25, 24 即 2sin xcos x＝－25, 49 2 2 2 所以(cos x－sin x) ＝sin x＋cos x－2sin xcos x＝25. π 又－ <x<0,所以 sin x<0,cos x>0. 2 7 所以 cos x－sin x＝5.
本 讲 栏 目 开 关
【题型解读】
本 讲 栏 目 开 关
数学解答题是高考数学试题中的一类重要题型，这些题涵盖了 中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、 突显数学思想方法的运用以及要求考生有一定的创新意识和创新能 力等特点，解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能 力和分析问题、解决问题的能力．
π 1＋ 2cos2x－4 f(x)＝ . π sinx＋ 2
第一讲
例 1 已知函数
本 讲 栏 目 开 关
(1)求 f(x)的定义域； 3 (2)若角 α 在第一象限,且 cos α＝ ,求 f(α). 5
解 (1)由
π sinx＋2≠0,得
【解题策略】 1．审题要慢，解答要快．审题时，必须充分搞清题意，综合所有条 件，提炼全部线索，形成整体认识．
本 讲 栏 目 开 关
2．确保运算准确，立足一次成功． 3．缺步解答：面对难题，讲究策略，争取多得分．解题过程在其中 某一环节上卡住时，可以承接这一结论，往下推，或直接利用前 面的结论做下面的． 4．模板作答：针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对 而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解 题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化．
【考情预测】 预测今年各省市高考数学解答题，有以下几个特点：
本 讲 栏 目 开 关
1．和前几年一样，虽略有差别，但总体上高考五至六个解答题的模 式基本不变，分别为三角函数与平面向量、概率与统计、立体几 何、数列与不等式、解析几何、函数与导数及不等式． 2．一般来说，前三题属于中低档题，第四题属中档偏难题，后两题 属难题．其中，三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何在 前三题中出现的概率较高， 掌握这几类题的解法是大多数学生成 功的关键．
π 2 所以 sin2x－4∈－ ，1, 2 π 2x－ ∈[0,1＋ 2]. 1＋ 2sin 4
所以函数 f(x)的最大值为 1＋ 2.
题型突破
第一讲
题型三
三角函数与向量
向量与三角函数的结合是高考命题的热点,向量具有代数与几何
本 讲 栏 目 开 关
2
第一讲
(1)设 x＝x0 是函数 y＝f(x)的图象的一条对称轴,求 g(x0)的值； (2)求函数 h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间.
本 讲 栏 目 开 关
π 1 解 (1)f(x)＝21＋cos2x＋6,
因为 x＝x0 是函数 y＝f(x)图象的一条对称轴, π π 所以 2x0＋ ＝kπ (k∈Z),即 2x0＝kπ－ (k∈Z). 6 6 π 1 1 所以 g(x0)＝1＋2sin 2x0＝1＋2sinkπ－6. 1 π 1 3 当 k 为偶数时,g(x0)＝1＋ sin－6＝1－ ＝ . 2 4 4 1 π 1 5 当 k 为奇数时,g(x0)＝1＋2sin 6＝1＋4＝4.
题型突破
变式训练 2 已知函数 f(x)＝2sin x(sin x＋cos 的最大值.
第一讲
π x),x∈0，2 ,求函数
f(x)
解 f(x)＝2sin x(sin x＋cos x)＝2sin2x＋2sin xcos x
本 讲 栏 目 开 关
＝1－cos 2x＋sin 2x π π ＝1＋ 2sin 2xcos 4－cos 2xsin 4 π ＝1＋ 2sin2x－4 π π π 3π 因为 x∈0，2,所以 2x－4∈－4， 4 ,
题型突破
变式训练 3
第一讲
(2012· 湖北)已知向量 a＝(cos ωx－sin ωx,sin ωx),b＝
(－cos ωx－sin ωx,2 3cos ωx),设函数 f(x)＝a· b＋λ(x∈R)的图象关于直线 1 ，1. x＝π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈ 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期； 本 讲 (2)若 y＝f(x)的图象经过点π，0,求函数 f(x)在区间0，3π上的取值范围. 4 5 栏 目 2 2 cos 开 解 (1)因为 f(x)＝sin ωx－cos ωx＋2 3sin ωx· ωx＋λ 关
考情分析
第一讲
第一讲
三角函数
本 讲 栏 目 开 关
三角函数、平面向量和三角形中的正余弦定理是高考中考查的热 点,主要以中低档题目的形式出现.选择、填空题以考查三角函数性质及 公式应用为主,解答题会以向量或三角形为载体,考查三角函数的图象 和性质或者与函数的奇偶性、周期性、最值相结合,以小型综合题的形 式出现.
题型突破
第一讲
第一步：三角函数式的化简,一般化成 y＝Asin(ωx＋φ)＋h 的形式,即
本 讲 栏 目 开 关
化为“一角、一次、一函数”的形式； 第二步：由 y＝sin x、y＝cos x 的性质,将 ωx＋φ 看做一个整体,解不 等式,求角的范围或函数值的范围； 第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围,规范写出结果； 第四步：反思回顾,检查公式使用是否有误,结果估算是否有误.
题型突破
第一讲
题型二
本 讲 栏 目 开 关
三角函数的图象和性质
三角函数的图象和性质是高考的重点考查内容,求函数的周期、 单调性、奇偶性、值域是命题的方向,图象以五点法作图和图象变换 为主.解决这类问题要注意数形结合,将函数的性质、图象结合起来.
题型突破
π 1 ,g(x)＝1＋ sin 2x. 例 2 已知函数 f(x)＝cos x＋12 2
π x＋ ≠kπ,k∈Z, 2
π 即 x≠kπ－ (k∈Z). 2 π 故 f(x)的定义域为{x|x≠kπ－ ,k∈Z}. 2
题型突破
(2)因为角 α 在第一象限 sin α＝ 1－cos α＝
本 讲 栏 目 开 关
2
第一讲
3 4 2 ＝ . 1－ 5 5
从而
π 1＋ 2cos2α－4 f(α)＝ π sinα＋2
审题不严谨、答题不规范导致失分,希望引起同学们注意.
题型突破
第一讲
本 讲 栏 目 开 关
题型一
三角函数的概念及三角恒等变换
三角函数的概念和公式是三角变换的基础,主要考查和角公式的 正用、逆用和变形使用,运用公式进行化简求值是必考内容,要注意角 的范围及公式使用的条件,灵活使用公式及其变形.
题型突破
故|3m－2n|的取值范围是(1, 7).
第一讲
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题型突破
第一讲
第一步：进行三角变换,求出某个角的值或者范围；
本 讲 栏 目 开 关
第二步：脱去向量的外衣,利用向量的运算将所求的式子转化为一个 角的三角函数问题； 第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围,规范写出结果； 第四步：反思回顾,检查公式使用是否有误,结果估算是否有误.
1 ω∈2，1,所以
第一讲
本 讲 栏 目 开 关
题型突破
第一讲
题型四
三角函数与三角形
解三角形是历年高考的热点,以三角形为载体,将三角形中的问
本 讲 栏 目 开 关
题转化为代数或方程问题,小题中考查正弦定理、余弦定理的直接应 用,在解答题中常与三角函数的图象、性质结合；解题是要从边角关 系入手,灵活进行边角互化.
题型突破
(2)h(x)＝f(x)＋g(x) π 1 1 2x＋ ]＋1＋ sin 2x ＝2[1＋cos 6 2
本 讲 栏 目 开 关
3 1 3 1 ＝2 cos 2x＋ sin 2x＋2 2 2
第Hale Waihona Puke 讲π 3 1 ＝ sin2x＋3＋ . 2 2 π π π 当 2kπ－2≤2x＋3≤2kπ＋2 (k∈Z), 5π π 即 kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z)时, π 3 1 函数 h(x)＝2sin2x＋3＋2是增函数.
π π 1＋ 2cos 2αcos 4＋sin 2αsin 4 ＝ cos α
1＋cos 2α＋sin 2α 14 ＝ ＝2(cos α＋sin α)＝ 5 . cos α
题型突破
第一讲
第一步：根据已知条件,计算三角函数值或者三角函数式子的值；
本 讲 第二步：通过对角进行“拆”或“添”变形,确定已知角、未知角的 栏 关系； 目 开 第三步：对所求三角函数式子进行化简,并将已知代入； 关
＝－cos 2ωx＋ 3sin 2ωx＋λ π ＝2sin2ωx－6＋λ.
由直线 x＝π 是 y＝f(x)图象的一条对称轴, π 可得 sin2ωπ－6＝± 1, π π k 1 所以 2ωπ－ ＝kπ＋ (k∈Z),即 ω＝ ＋ (k∈Z). 6 2 2 3
题型突破
5 又 k＝1,故 ω＝ . 6 6π 所以 f(x)的最小正周期是 5 . π π (2)由 y＝f(x)的图象过点4，0,得 f4＝0, 5 π π π 即 λ＝－2sin6×2－6＝－2sin 4＝－ 2. 5 π 故 f(x)＝2sin3x－6－ 2. 3π π 5 π 5π 由 0≤x≤ ,有－ ≤ x－ ≤ , 5 6 3 6 6 5 π 1 所以－2≤sin3x－6≤1, 5 π 得－1－ 2≤2sin3x－6－ 2≤2－ 2, 3π 0， 上的取值范围为[－1－ 2,2－ 2]. 故函数 f(x)在 5
又|3m－2n|2＝9m2＋4n2－12m· n
π ＝13－12sin(A＋B)＝13－12sin2B＋6.
题型突破
π π π 又 0<C＝π－(A＋B)< ,0<A＝ ＋B< , 2 6 2 π π π π 5π 所以 <B< ,所以 <2B＋ < . 6 3 2 6 6 π 1 所以 sin2B＋6∈2，1,所以|3m－2n|2∈(1,7).
的双重身份,是中学知识的交汇点之一.这类问题以向量为背景,解决 关键是利用向量知识(数量积应用最多)将条件转化到三角函数,再利 用三角函数的图象与性质处理.
题型突破
例3
第一讲
在锐角△ABC 中,已知内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且
3(tan A－tan B)＝1＋tan A· B,又已知向量 m＝(sin A,cos A), tan n＝(cos B,sin B),求|3m－2n|的取值范围.
考情分析
第一讲
解决三角函数问题的基本思想是脱掉向量或者其他知识的外衣,抓 住三角函数问题的实质,灵活实现问题的转化.最后往往通过三角变换
本 归结到函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质,要注意题目中隐含的角的限 讲 栏 制条件,做到推理严谨、计算准确、表达确切.解答题往往放在 17、18 目 开 题的位置,但是根据历年的阅卷情况,本题的得分率并不是太高,主要是 关
本 讲 栏 目 开 关
解
因为 3(tan A－tan B)＝1＋tan A· B, tan
tan A－tan B 3 3 所以 ＝ ,即 tan(A－B)＝ , 3 1＋tan A· B 3 tan π π 又△ABC 为锐角三角形,则 0<A< ,0<B< , 2 2 π π π 所以－2<A－B<2,所以 A－B＝6.
第四步：反思回顾,对结果估算.
题型突破
第一讲
本 讲 栏 目 开 关
π 1 变式训练 1 已知－ <x<0,sin x＋cos x＝ ,求 cos x－sin x 的值. 2 5 1 解 由 sin x＋cos x＝5两边平方得 1 sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＝25, 24 即 2sin xcos x＝－25, 49 2 2 2 所以(cos x－sin x) ＝sin x＋cos x－2sin xcos x＝25. π 又－ <x<0,所以 sin x<0,cos x>0. 2 7 所以 cos x－sin x＝5.
本 讲 栏 目 开 关
【题型解读】
本 讲 栏 目 开 关
数学解答题是高考数学试题中的一类重要题型，这些题涵盖了 中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、 突显数学思想方法的运用以及要求考生有一定的创新意识和创新能 力等特点，解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能 力和分析问题、解决问题的能力．
π 1＋ 2cos2x－4 f(x)＝ . π sinx＋ 2
第一讲
例 1 已知函数
本 讲 栏 目 开 关
(1)求 f(x)的定义域； 3 (2)若角 α 在第一象限,且 cos α＝ ,求 f(α). 5
解 (1)由
π sinx＋2≠0,得
【解题策略】 1．审题要慢，解答要快．审题时，必须充分搞清题意，综合所有条 件，提炼全部线索，形成整体认识．
本 讲 栏 目 开 关
2．确保运算准确，立足一次成功． 3．缺步解答：面对难题，讲究策略，争取多得分．解题过程在其中 某一环节上卡住时，可以承接这一结论，往下推，或直接利用前 面的结论做下面的． 4．模板作答：针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对 而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解 题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化．
【考情预测】 预测今年各省市高考数学解答题，有以下几个特点：
本 讲 栏 目 开 关
1．和前几年一样，虽略有差别，但总体上高考五至六个解答题的模 式基本不变，分别为三角函数与平面向量、概率与统计、立体几 何、数列与不等式、解析几何、函数与导数及不等式． 2．一般来说，前三题属于中低档题，第四题属中档偏难题，后两题 属难题．其中，三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何在 前三题中出现的概率较高， 掌握这几类题的解法是大多数学生成 功的关键．
π 2 所以 sin2x－4∈－ ，1, 2 π 2x－ ∈[0,1＋ 2]. 1＋ 2sin 4
所以函数 f(x)的最大值为 1＋ 2.
题型突破
第一讲
题型三
三角函数与向量
向量与三角函数的结合是高考命题的热点,向量具有代数与几何
本 讲 栏 目 开 关
2
第一讲
(1)设 x＝x0 是函数 y＝f(x)的图象的一条对称轴,求 g(x0)的值； (2)求函数 h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间.
本 讲 栏 目 开 关
π 1 解 (1)f(x)＝21＋cos2x＋6,
因为 x＝x0 是函数 y＝f(x)图象的一条对称轴, π π 所以 2x0＋ ＝kπ (k∈Z),即 2x0＝kπ－ (k∈Z). 6 6 π 1 1 所以 g(x0)＝1＋2sin 2x0＝1＋2sinkπ－6. 1 π 1 3 当 k 为偶数时,g(x0)＝1＋ sin－6＝1－ ＝ . 2 4 4 1 π 1 5 当 k 为奇数时,g(x0)＝1＋2sin 6＝1＋4＝4.
题型突破
变式训练 2 已知函数 f(x)＝2sin x(sin x＋cos 的最大值.
第一讲
π x),x∈0，2 ,求函数
f(x)
解 f(x)＝2sin x(sin x＋cos x)＝2sin2x＋2sin xcos x
本 讲 栏 目 开 关
＝1－cos 2x＋sin 2x π π ＝1＋ 2sin 2xcos 4－cos 2xsin 4 π ＝1＋ 2sin2x－4 π π π 3π 因为 x∈0，2,所以 2x－4∈－4， 4 ,
题型突破
变式训练 3
第一讲
(2012· 湖北)已知向量 a＝(cos ωx－sin ωx,sin ωx),b＝
(－cos ωx－sin ωx,2 3cos ωx),设函数 f(x)＝a· b＋λ(x∈R)的图象关于直线 1 ，1. x＝π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈ 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期； 本 讲 (2)若 y＝f(x)的图象经过点π，0,求函数 f(x)在区间0，3π上的取值范围. 4 5 栏 目 2 2 cos 开 解 (1)因为 f(x)＝sin ωx－cos ωx＋2 3sin ωx· ωx＋λ 关
考情分析
第一讲
第一讲
三角函数
本 讲 栏 目 开 关
三角函数、平面向量和三角形中的正余弦定理是高考中考查的热 点,主要以中低档题目的形式出现.选择、填空题以考查三角函数性质及 公式应用为主,解答题会以向量或三角形为载体,考查三角函数的图象 和性质或者与函数的奇偶性、周期性、最值相结合,以小型综合题的形 式出现.