高三数学第一次月考试卷(最终版)
长郡中学2024届高三年级第一次月考数学试卷
程为 y 2x 0.4 ，且 x 2 ，去除两个歧义点 2,1 和(2, -1)后，得到新的回归
直线的斜率为 3．则下列说法正确的是（
）
A．相关变量 x，y 具有正相关关系
B．去除两个歧义点后的回归直线方程为 y 3x 3
）
3
A． 2
9
B． 1
9
C． 4
9
D． 1
3
8．已知对任意的 x 0, ，不等式 kx ekx 1 x 1 ln x 0 恒成立，则实数 k
的取值范围是（
A． e,
）
B．
1 e
,
e
C．
1 e
,
试卷第 1页，共 4页
D．
1 e2
,
1 e
二、多选题（每小题 5 分，共 20 分，部分选对得 2 分，有错选得 0 分，全 部选对得 5 分）
AA1 AB 2 .
(1)求证： AB BC ；
(2)若直线
AC
与平面
A1BC
所成的角为
π 6
，请问在线段
A1C
上是否存在点
E
，使得平面
ABE
与平面
CBE
的夹角为
π 3
，若
存在请求出 E 的位置，不存在请说明理由.
试卷第 3页，共 4页
20（12 分）．已知抛物线 C：y2 4
3x 的焦点为椭圆 E：ax22
9 2
．
四、解答题
17（10 分）．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 5cos2B﹣14cosB＝7 ．
2024-2025学年安徽省芜湖市无为中学高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年安徽省芜湖市无为中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|x 2−x−2≤0}，B ={x|2x−3<0}，则A ∩B =( )A. [−2,1]B. [−1,32)C. (−∞,32)D. (−∞,−1]2.下列函数中，既为偶函数，又在(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =x 2+1xB. y =2−x 2C. y =x 2+log 2|x|D. y =2|x|−x 23.已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，对于任意的x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，f(−1)=0，则xf(x)<0的解集为( )A. (−1,0)∪(1,+∞)B. (−1,0)∪[1，+∞)C. (−1,0)∪(0,1]D. (−1,0)∪(0,1)4.设x ，y 为实数，若4x 2+y 2+xy =1，则2x +y 的最大值是( )A. 62 B. 2 105 C. 1 D. 35.函数f(x)=3|x|⋅cos2x x的部分图象大致是( )A. B.C. D.6.已知随机变量X ～N(1,σ2).若P(1≤X ≤3)=0.3，设事件A =“X <1”，事件B =“|X|>1”，则P(A|B)=( )A. 38B. 35C. 58D. 277.已知函数f(x)={|log 3x|,x >03x ,x ≤0，若函数g(x)=[f(x)]2−(m +2)f(x)+2m 恰好有5个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,+∞)D. (1,+∞)8.已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(3x−2)为偶函数，f(2x−1)为奇函数，则下列说法正确的( )①函数f(x)的图象关于直线x =1对称；②函数f(x)的图象关于点(−1,0)中心对称；③函数f(x)的周期为4；④f(2023)=0．A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④二、多选题：本题共3小题，共18分。
天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷
天津市滨海新区塘沽第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知集合{}R 13P x x =∈≤≤，{}2R 4Q x x =∈≥，则()R P Q =U ð（ ）A ．{}2x x >B ．{}23x x -<≤C ．{}12x x ≤<D ．{}21x x x ≤-≥或2．设x ∈R ，则“1x <”是“ln 0x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数y =2sin 2x x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．4．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -=A ．15B C D ．15．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）A ．0.6小时B ．0.9小时C ．1.0小时D ．1.5小时6．已知()1e ,1x -∈，记ln ln 1ln ,,e 2⎛⎫=== ⎪⎝⎭xx a x b c ，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<7．等差数列 a n 的前n 项和为n S ，其中77S =，又2，1b ，2b ，3b ，8成等比数列，则2352b a a +的值是（ ） A ．4B ．4-C ．4或4-D ．28．已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，则下列正确个数有（ ）①()f x 关于点π(,3)6对称；②()f x 关于直线π3x =对称； ③()f x 在区间π5π[,]26上单调递减；④()f x 在区间5ππ(,)1212-上的值域为(1,3)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在ABC V 中，π3BAC ∠=，2AD DB =u u ur u u u r ，P 为CD 上一点，且满足13AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r，若4AB AC ⋅=u u u r u u u r，则AP u u u r 的最小值为（ ）A ．2B ．3 CD ．32二、填空题10．已知i 是虚数单位，化简113i12i+-的结果为． 11．8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为. 12．已知13a <<，则131a a a +--的最小值是. 13．甲罐中有4个红球、2个白球和2个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．以1A 表示由甲罐取出的球是红球的事件，以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则()1P M A =；()P M =． 14．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，且3AB C D =，M ，N 分别为线段DC 和AB 的中点，若AB a u u u r r=，AD b u u u r r =，用a r ，b r 表示MN =u u u u r .若MN BC ⊥u u u u r u u u r，则DAB ∠余弦值的最小值为.15．函数(){}2min 2,,2f x x x x =-+，其中{}min ,,x y z 表示x ，y ，z 中的最小者.若函数22()2()9y f x bf x b =-+-有12个零点，则b 的取值范围是.三、解答题16．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos tan b C c B C +=. (1)求角C ；(2)若4b a =，ABC V 的面积为①求c②求()cos 2A C -.17．已知函数()4tan sin cos ππ23f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求()f x 的定义域与最小正周期；(2)讨论()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.(3)若()065f x =，0π5π,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0sin2x 的值.18．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB DC ，AB AD ⊥，112CD AD AB ===，45PAD ∠=o ，E 是PA 的中点，G 在线段AB 上，且满足CG BD ⊥.(1)求证：//DE 平面PBC ；(2)求平面GPC 与平面PBC 夹角的余弦值.(3)在线段PA 上是否存在点H ，使得GH 与平面PGCAH 的长；若不存在，请说明理由.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，*n ∈N .数列{}n b 满足()()111n n nb n b n n +-+=+，*n ∈N ，且11b =.(1)证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若21n n d a -=数列{}n d 的前n 项和为n M ，对任意的*n ∈N ，都有22n3n n M S a >+，求实数a 的取值范围； (3)记11m m c a -=，{}m c 的前m 项和记为m T，是否存在m ，*N t ∈，使得111m m t T t T t c +-=-+成立？若存在，求出m ，t 的值；若不存在，请说明理由.20．已知函数()2e cos222xf x x x x =+++-.()()2ln 2g x a x x a x =+-+，其中R a ∈.(1)求()f x 在0x =处的切线方程，并判断()f x 零点个数. (2)讨论函数()g x 的单调性；(3)求证：()()ln 21f x x ≥+；。
2024-2025学年上海华二附中高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1华二附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知i 为虚数单位，复数12iz i+=，则z 的实部为________． 2．若函数()133x xf x a =⋅+为偶函数，则实a =________． 3．若事件A 、B 发生的概率分别为1()2P A =，2()3P B =，且相互独立，则()P A B =________．4．已知集合(){}2|log 1A y y x ==−，{}3|27B x x =≤，则A B =________．5．设{}n a 是等比数列，且13a =，2318a a +=，则n a =________．6．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V 与直径d 的关系式为36d V π=，当2d =时，气球体积的瞬时变化率为________． 7．已知随机变量X 的分布为123111236⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且3Y aX =+，若[]2E Y =−，则实数a =________． 8．记函数()()()cos 0,0f x x =ω+ϕω><ϕ<π的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为________．9．若6(0)b ⎛> ⎝的展开式中含x 项的系数为60，则2a b +的最小值为________．10．顶点为S 的圆锥的母线长为60cm ，底面半径为25cm ，A ，B 是底面圆周上的两点，O 为底面中心，且35AOB π∠=，则在圆锥侧面上由点A 到点B 的最短路线长为____cm ．（精确到0.1cm ）11．已知△ABC 中，22AB BC ==，AB 边上的高与AC 边上的中线相等，则tan B =2________．12．给定公差为d 的无穷等差数列{}n a ，若存在无穷数列{}n b 满足： ①对任意正整数n ，都有1n n b a −≤②在21b b −，32b b −，…，20252024b b −中至少有1012个为正数，则d 的取值范围是________． 二、单选题（本大题共4小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 13．“1a b +>”是“33a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（ ） A ．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B ．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C ．两种证券的收益有同向变动的倾向 D ．两种证券的收益有反向变动的倾向15．设0k >，若向量a 、b 、c 满足::1::3a b c k =，且2()b a c b −=−，则满足条件的k 的取值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．设1A ，1B ，1C ，1D 分别是四棱锥P ABCD −侧棱PA ，PB ，PC ，PD 上的点．给出以下两个命题，①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111A B C D 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111A B C D 可能是平行四边形．（ ） A ．①真②真 B ．①真②假 C ．①假②真 D ．①假②假三、解答题（本大题共5小题，共78.0分．）17．（本小题14.0分）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周⊥，F是垂足．（1）求证：AF DB⊥；（2）若圆柱与三棱锥D ABE−的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABD所成角的大小．3418．（本小题14.0分）李先生是一名上班旋，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：（1）求出这40个通勤记录的中们数M ，并完成下列22⨯列联表：（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d −χ=++++，()2 3.8410.05P χ≥≈．519．（本小题14.0分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放，已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE ∠=θ，总造价为W 元。
2024届河南省鹤壁一中高三下学期第一次月考(3月)数学试题
2024届河南省鹤壁一中高三下学期第一次月考（3月）数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-2．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )A ．52B ．1C ．2D ．03．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]eB ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-4．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 5．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319- D ．12-6．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．7．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=8．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（ ） A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =9．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A ．()0-∞，B ．()23，C ．()()023-∞⋃，， D ．()3-∞， 10．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y bx a =+近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87D ．线性相关关系太弱，无研究价值11．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A ．253B ．453C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高三上学期第一次月考 数学试卷+(含解析)
江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高三数学上第一次月考试卷一．选择题（共7小题）1．某校A ､B ､C ､D ､E 五名学生分别上台演讲，若A 须在B 前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（）种.A ．18B ．36C ．60D ．722．对两组变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组对应的相关系数，残差平方和，决定系数分别为1r ，21S ，21R ，第二组对应的相关系数，残差平方和，决定系数分别为2r ，22S ，22R ，则（）A ．若12r r >，则第一组变量比第二组的线性相关关系强B ．若2212r r >，则第一组变量比第二组的线性相关关系强C ．若2212S S >，则第一组变量比第二组变量拟合的效果好D ．若2212R R >，则第二组变量比第一组变量拟合的效果好3．有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是（）A ．“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B ．“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件C ．“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率D ．“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率4．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B ，C ，D ，其中(Ω)60n =，()30n A =，()10n B =，()20n C =，()30n D =，()40n A B = ，()10n A C = ，()60n A D = ，则（）A ．A 与B 不互斥B ．A 与D 互斥但不对立C ．C 与D 互斥D ．A 与C 相互独立5．掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件1A ：红骰子的点数为2，2A ：红骰子的点数为3，3A ：两个骰子的点数之和为7，4A ：两个骰子的点数之和为9，则（）A ．1A 与2A 对立B ．3A 与4A 不互斥C ．1A 与3A 相互独立D ．2A 与4A 相互独立6．抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件A ，B ，C ，则下列说法错误的是（）A ．事件A ，B ，C 两两互斥B ．7()()()8P A P B P C ++=C ．()()4()P B P C P A +=D ．事件A B +，B C +相互独立7．甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A ，B ，C 分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D 表示摸出的球为黄球，则下列说法正确的是（）A ．A ，B 是对立事件B ．事件B ，D 相互独立C ．()1635P D =D ．()135P CD =二．多选题（共4小题）8．设a 为常数，的定义域为R ，1(0),()()()()()2f f x y f x f a y f y f a x =+=-+-，则（）．A ．1()2f a =B ．1()2f x =成立C ．()2()()f x y f x f y +=D ．满足条件的()f x 不止一个9．第一组样本数据12,,,n x x x ，第二组样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中21i i y x =-（1,2,,i n =⋅⋅⋅），则（）A ．第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的2倍B ．第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍C ．第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的2倍D ．第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍10．已知在伯努利试验中，事件A 发生的概率为()01p p <<，我们称将试验进行至事件A 发生r 次为止，试验进行的次数X 服从负二项分布，记作(),X NB r p ~，则下列说法正确的是（）A ．若11,2X NB ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()12kP X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1,2,3,k =⋅⋅⋅B ．若(),X NB r p ~，则()()1k rr P X k p p -==-，,1,2,k r r r =++⋅⋅⋅C ．若(),X NB r p ~，(),Y B n p ~，则()()P X n P Y r ≤=≥D ．若(),X NB r p ~，则当k 取不小于1r p-的最小正整数时，()P X k =最大11．某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果X 服从正态分布()75,81N ，其中检测结果在60以上为体能达标，90以上为体能优秀，则（）附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，()220.9544P μσξμσ-<<+=，()330.9974P μσξμσ-<<+=.A ．该校学生的体能检测结果的期望为75B ．该校学生的体能检测结果的标准差为81C ．该校学生的体能达标率超过0.98D ．该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等三．填空题（共4小题）12．若直线()0y kx b b =+<是曲线2e x y -=的切线，也是曲线ln y x =的切线，则b =．13．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设()11,A x y ，()22,B x y ，则A ，B 两点间的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =-+-．已知()4,6M ，点N 在圆22:640C x y x y +++=上运动，若点P 满足(),2d M P =，则PN 的最大值为．14．随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为.（用数字作答）15．曲线sin xy x=在(π,0)M -点处的切线方程为．四．解答题（共2小题）16．为考察药物M 对预防疾病A 以及药物N 对治疗疾病A 的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）药物M疾病A未患病患病合计未服用301545服用451055合计7525100(1)依据0.1α=的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；(2)用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗．已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为12，对服用过药物M的动物治愈率为34．若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X，求X的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，n a b c d=+++.α0.1000.0500.0100.001xα 2.7063.841 6.63510.82817．某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔.为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置“优”、“良”、“中”三个成绩等第；当参选同学在某个项目中获得“优”或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并参加下一个项目的选拔，否则该同学不通过此项目的选拔，且不能参加后续项目的选拔.通过了全部三个项目选拔的同学进入到数学建模社团.现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中获得“优”、“良”、“中”的概率分别为16，2p，3p，且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立.(1)求甲同学能进入到数学建模社团的概率；(2)设甲同学在本次数学建模社团选拔中恰好通过X个项目，求X的概率分布及数学期望.1．B【分析】因为A 在B 的前面出场，且A ，B 都不在3号位置，分A 在1号位置，A 在2号位置，A 在4号位置三种情况进行分类，在利用排列公式及可求出结果.【详解】因为A 在B 的前面出场，且A ，B 都不在3号位置，则情况如下：①A 在1号位置，B 又2、4、5三种位置选择，有33318A =种次序；②A 在2号位置，B 有4,5号两种选择，有33212A =种次序；③A 在4号位置，B 有5号一种选择，有336A =种；故共有1812636++=种.故选：B.2．B【分析】由线性相关系数r 与决定系数2R 的意义及残差平方和2S 与2R 的关系即可求解.【详解】线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，故A 错误，B 正确；残差平方和2S 越小，则决定系数2R 越大，从而两个变量拟合的效果越好，残差平方和2S 越大，则决定系数2R 越小，从而两个变量拟合的效果越差，故C 、D 错误.故选：B 3．C【分析】根据互斥事件的概念可判断AB ；分别计算对应的概率可判断CD.【详解】当取出的两球为一红一蓝时，可得“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”均发生，即A 错误；当取出的两球为一红一蓝时，可得“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”均发生，即B 错误；记“至少取到1个红球”为事件A ，“至少取到1个蓝球”为事件B ，“至多取到1个红球”为事件C ，“至多取到1个蓝球”为事件D ，故()21133225910C C C P A C +==，()21123225710C C C P B C +==，()21123225710C C C P C C +==，()21133225910C C C PD C +==，显然()()P A P B >，()()P C P D <，即C 正确，D 错误；故选：C.4．D【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据(),()()P A C P A P C ⋂的关系判断事件是否独立.【详解】由()30n A =，()10n B =，()40n A B = ，即()()()n A B n A n B =+ ，故A 、B 互斥，A 错误；由()()()(Ω)60n A D n A n D n =+== ，A 、D 互斥且对立，B 错误；又()20n C =，()10n A C = ，则()10n D C = ，C 与D 不互斥，C 错误；由()1(2(Ω))n A n P A ==，()1(3(Ω))n C n P C ==，()(Ω)1()6P A C C n n A ⋂⋂==，所以()()()P A C P A P C ⋂=，即A 与C 相互独立，D 正确.故选：D 5．C【分析】根据事件的对立与互斥的概念判断AB ；利用()()()P A P B P AB =是否成立来判断CD.【详解】对于A ，事件1A ：红骰子的点数为2，2A ：红骰子的点数为3，1A 与2A 互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如4，A 错误；对于B ，3A ：两个骰子的点数之和为7，4A ：两个骰子的点数之和为9，3A 与4A 不可能同时发生，故3A 与4A 互斥，B 错误；对于C ，两个骰子的点数之和为7的情况有162534435261+=+=+=+=+=+，则()()()13131611,,666666P A P A P A A ====⨯⨯，所以()()()1313P A P A P A A =，所以1A 与3A 相互独立，C 正确；对于D ，两个骰子的点数之和为9的情况有36455463+=+=+=+，()()()242414111,,66696636P A P A P A A =====⨯⨯，所以()()()2424P A P A P A A ≠，D 错误.故选：C.6．C【分析】对于A ，利用互斥事件的定义判断；对于B ，利用互斥事件概率加法公式求解；对。
2024学年上海川沙中学高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1川沙中学2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知全集U R =，集合(,1)[2,)A =−∞+∞，则A =________． 2．函数()sin2f x x =的最小正周期是________．3．在等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a =________．4．参考数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分）依次如下：56、70、91、98、79、80、81、83、84、86、88、90、72、94、78，则15人成绩的第80百分位数是________． 5．在△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为________．6．已知3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数之和为256，则访二项展开式中的常数项为_____． 7．双曲线222:1y C x b−=的渐近线与直线1x =交于A ，B 两点，且4AB =，那么双曲线C 的离心率为________．8．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若6b =，2a c =，πB 3=，则△ABC 的面积为________．9．春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是45，感冒发作的概率是67，鼻炎发作且感冒发作的概率是35，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是________． 10．已知函数1()lg f x x x =−，则不等式111f x ⎛⎫−< ⎪⎝⎭的解集为________． 11．已知函数()(1)x f x x e =−，若关于x 的不等式()1f x ax <−有且仅有一个正整数解，则实数a 的取值范围是________．212．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足231(,1)n n S a n N n =−∈≥，函数()f x 定义域为R ，对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=−，若()21f =−2025()f a 的值为 .二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13．下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥− C．a b +≥ D．a b +≥−14．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若0(2)(2)1lim22h f h f h →+−=，则(2)f '=（ ）A ．1−B ．14− C ．1 D ．1415．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要16．已知实数1x 、1y 、2x 、2y 、3x 、3y 同时满足：①11x y <，22x y <，33x y <；②112233x y x y x y +=+=+；③11332220x y x y x y +=>，则下列选项中恒成立的是（ ）A ．2132x x x <+B ．2132x x x >+C ．2213x x x <D ．2213x x x >三、解答题（本大题共5题，共141414181878++++=分）17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，∥AB CD ，1AB AD ==，12D D CD ==，AB AD ⊥． （1）求证：BC ⊥平面1D DB ；（2）求点D 到平面1BCD 的距离．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)设函数2()f x x x a=+−，a为常数．（1）若()f x为偶函数，求a的值；（2）设0a>，()()f xg xx=，(]0,x a∈为严格减函数，求实数a的取值范围．19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活。
2023-2024学年龙岩市一中高三数学上学期第一次月考卷附答案解析
2023-2024学年龙岩市一中高三数学上学期第一次月考卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}223,N ,18400A xx n n B x x x ==+∈=--<∣∣，则A B ⋂中的元素个数为（）A ．8B ．9C ．10D ．112．已知(),()f x g x 是定义在R 上的函数，则“()()y f x g x =+是R 上的偶函数”是“(),()f x g x 都是R 上的偶函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列命题中，错误的命题有（）A ．函数()f x x =与()()2g x x =不是同一个函数B ．命题“[]00,1x ∃∈，2001x x +≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，21x x +<”C ．设函数()22020x x x f x x +<⎧=⎨≥⎩，则()f x 在R 上单调递增D ．设,R x y ∈，则“x y <”是“2()0x y y -⋅<”的必要不充分条件4．已知函数()ln ,01,0x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则使得()()12f x f x +≥成立的x 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[]1,1-C ．[)1,+∞D ．(](],10,1-∞- 5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少14，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（）A ．8B ．9C ．10D ．116．设定义在R 上的奇函数()f x 在（0，+∞）上单调递增，且()10f =，则不等式()()0x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦的解集为（）A ．{}10>1x x x -<<或B ．{}101x x x <-<<或C ．{}1>1x x x <-或D ．{}1001x x x -<<<<或7．已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A ．a b c<<B ．c b a <<C ．c<a<b D ．a c b<<8．定义在()0,4上的函数()f x 满足()()22f x f x -=+，02x <≤时()ln f x x =，若()f x kx >的解集为{}04x x a b x <<<<或，其中a b <，则实数k 的取值范围为（）A ．ln 2,2+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知A B 、为实数集R 的非空集合，则A B 的必要不充分条件可以是（）A ．AB A= B ．R A B =∅ ðC ．R B ðR A ðD ．R RB A = ð10．已知,,a b c ∈R ，下列命题为真命题的是（）A ．若0a b <<，则22a ab b <<B ．若a b >，则ac 2>bc 2C ．若22ac bc >，则a b >D ．若1a b >>，则11b b a a+>+11．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()32-f x 为偶函数，()21f x -为奇函数，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的周期为2B ．函数()f x 的周期为4C ．函数()f x 关于点()1,0-中心对称D ．()20230f =12．函数()e x ax f x =和()ln x g x ax=有相同的最大值b ，直线y m =与两曲线()y f x =和()y g x =恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为123,,x x x ，则下列说法正确的是（）A ．1a =B ．1b e =C ．1322x x x +=D ．2132x x x =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数集R ，集合{}{}22log 1,Z 45A x x B x x x =<=∈+≤，则()R A B ⋂=ð14．已知正实数a ，b 满足3ab a b ++=，则2a b +的最小值为．15．已知()24,1,log ,2,ax x f x x x +≤⎧=⎨≥⎩则()()0f f =；若函数()f x 的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为．16．已知函数2019sin ,10()|log ,0x x f x x x π--≤≤⎧=⎨⎩，若a b c d <<<，且()()()()f a f b f c f d ===，则a b cd +的值为.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知集合{}2680A x x x =-+<，{}22430B x x ax a =-+<．（1）若1a =，求()R B A ð；（2）若0a >，设:p x A ∈，:q x B ∈，已知p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．已知函数()121xf x a =+-是奇函数．（1）求a ；（2）若()1ln 0f x x ⋅⎡⎤⎣⎦-<，求x 的范围．19．已知函数321(1)()32k f x x x +=-，1()3g x kx =-，且()f x 在区间(2,)+∞上为增函数.(1)求实数k 的取值范围；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围.20．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出(N )x x *∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310()500x a -万元()0a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？21．已知函数()()22log f x x a x =+-是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.(1)若函数()f x 与()g x 有相同的零点，求t 的值；(2)若13,,24e x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≤，求t 的取值范围.22．已知函数()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 单调性；(2)当0a =时，若函数()()()11g x f x m x =---在[)0,∞+有两个不同零点，求实数m 的取值范围．1．B【分析】解一元二次不等式化简集合B ，再根据已知列出不等式，求解判断作答.【详解】解不等式218400x x --<得：220x -<<，即{|220}B x x =-<<，而{}23,N A xx n n ==+∈∣，由22320n -<+<解得：51722n -<<，又N n ∈，显然满足51722n -<<的自然数有9个，所以A B ⋂中的元素个数为9.故选：B2．B【分析】根据偶函数的定义，从(),()f x g x 是定义在R 上的偶函数出发去推导()()y f x g x =+的奇偶性，然后再进行反向推理即可.【详解】由(),()f x g x 都是R 上的偶函数，得()(),()()f x f x g x g x -=-=，设()()()(R)c x f x g x x =+∈，()()()()()()c x f x g x f x g x c x ∴-=-+-=+=，()y c x ∴=为偶函数，即“(),()f x g x 都是R 上的偶函数时，则()()f x g x +必为偶函数”，反之，“若()()f x g x +为偶函数，则不一定能推出(),()f x g x 都是R 上的偶函数”，例如：取222(),(),()()2f x x x g x x x f x g x x =-=++=，则()()f x g x +是R 上的偶函数，而(),()f x g x 都不具备奇偶性，故“()()y f x g x =+是R 上的偶函数”是“(),()f x g x 都是R 上的偶函数”的必要不充分条件.故选：B ．3．C【分析】对于A 选项，定义域不同，函数不同，故A 正确；对于B 选项，由存在量词命题与全称量词命题否定关系，可判断B 正确；对于C 选项，举反例否定其是增函数，可得C 错误；对于D 选项，举反例说明不充分，并且可证明其是必要条件，故D 正确.【详解】对于A 选项，因为两个函数的定义域不同，所以两个函数是不同的函数，故A 正确；对于B 选项，因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以B 正确；对于C 选项，因为0.10-<，但是()()0.1 1.810f f -=>=，与增函数定义矛盾，所以C 错误；对于D 选项，若x y <，当0y =时，推不出2()0x y y -⋅<，当2()0x y y -⋅<时，0y ≠且x y <，所以D 正确.故选：C.4．D【分析】当120x x +≥>时有()()12f x f x +>成立；当10,20x x +<<时有()()12f x f x +=成立，故x 的取值范围可求.【详解】当0x >时()ln f x x =为增函数，故120x x +≥>时有()()12f x f x +>成立所以01x <≤；当0x <时()1f x =，故10,20x x +<<时有()()12f x f x +=成立，所以1x <-综上所述：(](],10,1x ∈-∞- 故选：D5．D【分析】设至少需要过滤n 次，则10.0210.0014n⎛⎫⨯-≤ ⎪⎝⎭，结合指数与对数的互化解不等式，由此可得结论．【详解】设至少需要过滤n 次，则10.0210.0014n ⎛⎫⨯-≤ ⎪⎝⎭，即31420n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,所以3lg204nlg≤-，即lg2010.301010.42lg4lg320.30100.4471n +≥=≈-⨯-，又n N ∈，所以11n ≥，所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求,故选D ．【点睛】本题主要考查指数与对数的运算，考查学生的阅读能力，考查学生的建模能力，属于中档题．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.6．D【分析】分析出函数()f x 在(),0∞-上是增函数，由()()0x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦得出()0xf x <，分0x <和0x >解不等式()0xf x <，即可得出原不等式的解集.【详解】解：由于奇函数()f x 在()0,∞+上是增函数，则该函数在(),0∞-上也是增函数，且()()f x f x -=-，()10f = ，()()110f f ∴-=-=，由()()0x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦可得()20xf x <，即()0xf x <.当0x <时，得()()01f x f >=-，解得10x -<<；当0x >时，可得()()01f x f <=，解得01x <<.因此，原不等式的解集为{10x x -<<或}01x <<.故选：D.7．A【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1x g x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10e x <<时，()0f x '<，当1ex >时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1x g x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e 10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.8．B【分析】根据题意可知：函数()f x 关于2x =对称，作出函数()f x 在区间(0,4)上的图象，然后根据函数的图象和不等式的解集确定实数k 的取值范围即可.【详解】因为函数()f x 满足()()22f x f x -=+，所以函数()f x 关于2x =对称，作出函数()f x 在区间(0,4)上的图象，又因为不等式()f x kx >的解集为{}04x x a b x <<<<或，其中a b <，根据图象可知：当直线y kx =过点(2,ln 2)时为临界状态，此时ln 22k =，故要使不等式()f x kx >的解集为{}04x x a b x <<<<或，其中a b <，则ln 22k ≥，故选：B .9．ABD【分析】根据集合间的关系与运算及充分必要条件的判定一一判定选项即可.【详解】由A B A =⇒ A B ⊆¿AB ，而A B ⇒A B A = ，即选项A 符合题意；由R A B =∅ ðA B ⇒⊆¿AB ，而A B ⇒R A B =∅ ð，即选项B 符合题意；由R B ðR A ð⇒A B ，故选项C 不符合题意；由R R B A =⇒ ðA B ⊆¿AB ，而A B ⇒R R B A = ð，即选项D 符合题意.故选：ABD.10．CD 【分析】由不等式的性质可判断ABC ，由作差法可判断D.【详解】对于A ，若0a b <<，则22a ab b >>，A 错误；对于B ，若a b >,且0c =时，则22ac bc =，B 错误；对于C ，若22ac bc >，则0c ≠，故20c >，则必有a b >，C 正确；对于D ，若1a b >>，则+1(1)(1)0+1(1)(1)b b a b b a a b a a a a a a +-+--==>++，所以11b b a a +>+，D 正确.故选：CD11．BCD【分析】利用函数的奇偶性、对称性与周期性对选项逐一分析即可.【详解】解：因为()32-f x 为偶函数，所以()()3232f x f x -=--，所以()()22f x f x -=--，则()()4f x f x =--，所以函数()f x 关于直线2x =-对称，因为()21f x -为奇函数，所以()()2121f x f x -=---，所以()()11f x f x -=---，所以()()2f x f x =---，所以函数()f x 关于点()1,0-中心对称，故C 正确，由()()4f x f x =--与()()2f x f x =---得()()24f f x x =-----，即()()24f f x x -=--，故()()4f x f x -=，所以函数()f x 的周期为4，故A 不正确，B 正确；()()()20235064110f f f =⨯-=-=，故D 正确.故选：BCD.12．ABD【分析】利用导数的性质，根据最大值的定义，结合数形结合思想、指数与对数恒等式进行求解即可.【详解】()()(1)e e x xax a x f x f x -'=⇒=，当0a >时，当1x >时，()()0,f x f x '<单调递减，当1x <时，()()0,f x f x '>单调递增，所以当1x =时，函数()f x 有最大值，即()()max 1ea f x f ==；当a<0时，当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当1x <时，()()0,f x f x '<单调递减，所以当1x =时，函数()f x 有最小值，没有最大值，不符合题意，由()()2ln 1ln x x g x g x ax ax -'=⇒=，当0a >时，当e x >时，()()0,g x g x '<单调递减，当0e x <<时，()()0,g x g x '>单调递增，所以当ex =时，函数()g x 有最大值，即()()max 1e eg x g a ==；当a<0时，当e x >时，()()0,g x g x '>单调递增，当0e x <<时，()()0,g x g x '<单调递减，所以当e x =时，函数()g x 有最小值，没有最大值，不符合题意，于是有111,0,1,e ea a a ab ae =⇒=±>∴== ，因此选项AB 正确，两个函数图象如下图所示：由数形结合思想可知：当直线y m =经过点M 时，此时直线y m =与两曲线()y f x =和()y g x =恰好有三个交点，不妨设12301e x x x <<<<<，且12312223ln ln e e x x x x x x m x x ====，由()()1212212ln 2ln ln ln e ex x x x x f x f x x ==⇒=，又121,ln ln e 1x x <<=，又当1x <时，()f x 单调递增，所以12ln x x =，又()()3233223ln 3ln ln ln e ex x x x x f x f x x ==⇒=，又231,ln ln e 1x x >>=，又当1x >时，()f x 单调递减，所以23ln x x =，332222ln 1ln ln x x x x x x m===，22121ln x x x x m ==，于是有23213212x x x x x x x =⇒=，所以选项D 正确，故选：ABD【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，结合等式log b a a b =是解题的关键.13．{}2,3,4【分析】根据对数函数的性质及一元二次不等式的解法可求集合A 、B ，后求出R A ð再计算交集即可.【详解】由2log 1x <，解得02x <<，故()(][)R 0,2,02,A A =⇒=-∞+∞ ð，由245x x +≤，可解得14x ≤≤，又Z x ∈，所以{}1,2,3,4B =．故(){}R 2,3,4A B ⋂=ð.故答案为：{}2,3,414．423-【分析】化简得()()114a b ++=，()()22113a b a b +=+++-，再将1,1a b ++看成整体，利用基本不等式求解最小值即可【详解】由3ab a b ++=有()()114a b ++=，则()()22113a b a b +=+++-()()22113423a b ≥+⋅+-=-，当且仅当()()211a b +=+，即21a =-，221b =-时取等号.故答案为：423-15．23-【分析】根据函数的解析式，结合()21f =和一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】()()()204log 42f f f ===，要使得函数()f x 的值域为[)1,+∞，则满足041a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得30a -≤≤，所以实数a 的最小值为3-．故答案为：①2；②-3.【点睛】本题考查了分段函数的性质，解题的关键点是画出函数的图象，考查了学生的识图能力和计算能力.16．1-【分析】先画出函数()f x 的图象，令()()()()f a f b f c f d k ====，根据三角函数的对称性，以及对数函数的性质，求出a b +和cd ，即可得出结果.【详解】解：作出函数2019sin ,10()|log ,0x x f x x x π--≤≤⎧=⎨⎩的图象如下：令()()()()f a f b f c f d k ====，则01k <<，由题意，结合图象可得，122a b +=-，20192019log log c k d k=-⎧⎨=⎩，所以1a b +=-，2019k c -=，2019k d =，因此112019k ka b cd -++-==-.故答案为：1-.17．（1）()[3,4)R B A ⋂=ð；（2）4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）将1a =代入题干，解不含参数的一元二次不等式，进而结合补集和交集的概念即可求出结果；（2）解含参数的一元二次不等式，进而由题意可得2,43a a ≤⎧⎨≤⎩且等号不能同时成立，即可得到结果.【详解】（1）当1a =时，{}2430(1,3)B x x x =-+<=，可得(,1][3,)R B =-∞⋃+∞ð，又由{}2680(2,4)A x x x =-+<=，所以()[3,4)R B A ⋂=ð．（2）当0a >时，可得(,3)B a a =．因为p 是q 的充分不必要条件，则A B Ü，可得2,43a a ≤⎧⎨≤⎩等号不能同时成立，解得423a ≤≤，所以实数a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．18．（1）12a =；（2）()()20,1log 3,⋃+∞【解析】（1）由()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-，即可列出等式求解a ；（2）原不等式等价于()ln 010x f x >⎧⎨-<⎩或()ln 010x f x <⎧⎨->⎩，分别解两个不等式组，结果取并集即可.【详解】（1） ()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即112121x xa a -⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭，211212x x x a a +=---，12211212xx xa =-=--，解得12a =；（2）若()1ln 0f x x ⋅⎡⎤⎣⎦-<，则()ln 010x f x >⎧⎨-<⎩或()ln 010x f x <⎧⎨->⎩，()()1ln 011110231212x x x x x f x f x >⎧>>⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-<>=+<⎩⎩⎪-⎩，解得2log 3x >；()()01ln 0011110231212x x x x x f x f x <<⎧<<<⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-><=+>⎩⎩⎪-⎩，解得01x <<.综上所述，()()20,1log 3,x ∈⋃+∞.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，利用指数函数、对数函数的单调性解不等式，属于中档题.19．(1)(,1]-∞(2)(,13)-∞-【分析】（1）结合已知条件利用函数的单调性转化为2()(1)0f x x k x '=-+≥在(2,)+∞上恒成立，然后分离参数即可求解；（2）结合已知条件，将问题转化为()()()h x f x g x =-的零点问题，通过导函数求()h x 的单调性，进而通过零点个数即可求解.【详解】（1）由题意2()(1)f x x k x '=-+，因为()f x 在区间(2,)+∞上为增函数，所以2()(1)0f x x k x '=-+≥在(2,)+∞上恒成立，即1k x +≤在(2,)+∞上恒成立，所以12k +≤，即1k ≤，故k 的取值范围为(,1]-∞.（2）设()()()()3211323k x h x f x g x x kx +=-=-+-，则2()(1)()(1)h x x k x k x k x '=-++=--，结合已知条件，函数()f x 与()g x 的图象有三个不同的交点可转化为()h x 有三个零点，由（1）知1k ≤，①当1k =时，2()(1)0h x x '=-≥，故()h x 在R 上递增，则()h x 最多只有一个零点，不合题意；②当1k <时，()h x ，()h x '随x 的变化情况如下表：x(),k -∞k(,1)k 1(1,)+∞()h x '+0－0+()h x ↗极大值321623k k -+-↘极小值12k -↗由于102k -<，且当+x →∞时，()h x →+∞；当x →-∞时，()h x →-∞，欲使()h x 有三个零点，需3210623k k -+->，即()()21220k k k ---<，因为10k -<，所以2220k k -->，即13k <-，从而实数k 的取值范围(,13)-∞-.20．(1)500名(2)(]0,5【分析】（1）根据题意列出不等式()()10100010.2%101000x x ⋅-+≥⨯，即可求解；（2）根据题意得到3110()10(1000)(1)500500x a x x x -≤-+，转化为210001500x a x≤++在(0,500)x ∈上恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：由题意，可得()()10100010.2%101000x x ⋅-+≥⨯，即25000x x -≤，又因为0x >，解得0500x <≤，所以最多调整500名员工从事第三产业.（2）解：从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则3110()10(1000)(1)500500x a x x x -≤-+，所以223110002500500-≤+--x ax x x x ，所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x ≤++在(0,500)x ∈上恒成立，因为21000210002244500500x x x x+≥⨯==，当且仅当21000500x x=时，即500x =时等号成立，所以5a ≤，又因为0a >，所以05a <≤，即实数a 的取值范围是(]0,5.21．（1）1t =；（2）[)4,+∞【分析】（1）根据题干得到()00f =，2log 0a =，解得1a =，0x =是函数()f x 的零点，所以()010g t =-=，进而求得t 值；（2）13,,24e x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≤等价于()()max min f x g x ≤,根据函数的单调性得到函数的最值，即可求出结果.【详解】(1)因为()()22log f x x a x =+-是R 上的奇函数，所以()00f =，即2log 0a =，解得1a =.因为0x =是函数()f x 的零点，所以()010g t =-=，则1t =.(2)由(1)可得()()22log 1f x x x =+-，()121,221121,2x t x g x t x x t x ⎧-++≥⎪⎪=--=⎨⎪+-<⎪⎩，因为奇函数()()22221log 1log 1f x x x x x =+-=++，所以()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为()22max 333log 11444f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为()121,2121,2x t x g x x t x ⎧-++≥⎪⎪=⎨⎪+-<⎪⎩，所以()g x 在31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.则()g x 的最小值为34g ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个.因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-.所以()()min 23g x g t ==-.因为123,,24x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x f x ≤，所以13t ≤-.解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞.【点睛】恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x >，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）.22．(1)答案见解析(2)112e m -≥-且1m ≠【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，对参数a 分0a >、0a =、a<0三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）首先求出()g x 解析式，求出导函数()g x '，再构造函数利用导数说明()g x '的单调性，从而对m 分四种情况讨论，利用导数说明函数的单调性，即可求出满足函数在[)0,∞+有两个不同零点的条件，从而求出参数的取值范围.【详解】（1）解：因为()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦定义域为R ，所以()()()211e e x x f x x ax x x a --'=+=+，当0a >时，令()0f x ¢>，解得0x >或x a <-，令()0f x '<，解得0a x -<<，所以()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增，当0a =时()21e 0xf x x -'=≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，当a<0时，令()0f x ¢>，解得x a >-或0x <，令()0f x '<，解得0x a <<-，所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增，综上可得，当0a >时，()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增；当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当a<0时，()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增；（2）解：当0a =时，()()()()()211122e 11x g x f x m x x x m x -=---=-+---，所以()21e x g x x m -'=-，令()()21e x P x g x x m -'==-，则()()212e 0x P x x x -'=+>，所以()21e x g x x m -'=-在[)0,∞+上单调递增，所以()()0g x g m ''≥=-，①当0m -≥，即0m ≤时()()00g x g m ''≥=-≥，所以()g x 在[)0,∞+上单调递增，又()10g =，所以函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；②当0m -<，即0m >时()()00g x g m ''≥=-<，又()()211e 0m g m m m '+=+->，所以存在唯一的()00,1x m ∈+，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，'()0g x <，当()0,x x ∈+∞时，'()0g x >所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()11g m '=-，当1m =时()10g '=，此时01x =，所以()()10g x g ≥=，函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；当1m ≠时()110g m '=-≠，01x ≠，此时有两个零点时，应满足()()0000g g x ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，即()()()011200002e 1022e 110x m g x x x m x --⎧+-≥⎪⎨=-+---<⎪⎩，其中()()()()()0001112220000000022e 1122e e 11x x x g x x x m x x x x x ---=-+---=-+---()0132000222e 1x x x x -=-+-+-，设()()321222e 1x h x x x x -=-+-+-，()0,1x m ∈+，则()()()121e x h x x x x -'=+-，令()()()121e 0x h x x x x -'=+-=，解得1x =，所以当01x <<时()0h x '>，当11x m <<+时()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()()()012000022e 110x g x x x m x -=-+---<恒成立，所以112e m -≥-且1m ≠.【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理。
高三第一次月考试卷数学及答案
高三第一次月考试卷数学及答案一、选择题（共15题，每小题4分，共60分）1. 一幢大厦的边长为6米，高度为20米。
一个人从这座大厦的一侧往上望去，他的目视线与大厦顶端连线与大厦相交的角的大小为（）。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 若函数 f(x) 在区间 (-∞, a) 上是增函数，在区间(a, +∞) 上为减函数，则 a 的值为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 33. 已知集合 A = {2, 4, 6, 8}，集合 B = {3, 6, 9, 12}，则A ∩ B 的元素个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 34. 若等差数列 {a_n} 的前 5 项和为 15，且公差为 2，则 a_5 等于（）。
A. -1B. 0C. 1D. 25. 已知正整数 n 的个位数是 5，十位数是 3，百位数是 1，其千位数是（）。
A. 0B. 1C. 3D. 56. 设甲, 乙两车同时从 A, B 两地相向而行，两车相遇后又同时返回原地，已知甲车以每小时 60 公里的速度行驶，求相对速度小的车（乙车）的速度是几公里每小时。
7. 已知等比数列 {a_n} 的前 3 项分别是 1, 2, 4，若 a_4 = 16，则 a_5 = （）。
A. 16B. 20C. 24D. 328. 已知函数 f(x) 关于 y 轴对称，且图像经过点 (1, 1)，则函数图像在点 (-1, -1) 是否对称？（）A. 是B. 否9. 在直角坐标系中，已知点 A(-1, 3)、B(4, -2)，则 AB 的中点坐标为（）。
A. (0.5, 0.5)B. (1.5, 0.5)C. (1.5, 2.5)D. (2.5, 0.5)10. 设函数 f(x) = x^2 - 2x - 3，则过点 (1, -4) 的切线方程为（）。
A. y = -2x - 6B. y = 2x + 6C. y = 2x - 6D. y = -2x + 611. 已知向量 a = <2, -3>，向量 b = <6, -1>，则 |a + b| = （）。
高三上学期第一次月考数学试卷(带答案)
高三上学期第一次月考数学试卷（带答案）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝11＋i 的虚部是A ．1B ．12C ．－12D ．－12．已知a 是单位向量，向量b 满足||a －b ＝3，则||b 的最大值为 A ．2 B ．4 C ．3 D ．13．已知角θ的终边在直线y ＝2x 上，则cos θsin θ＋cos θ的值为A ．－23B ．－13C ．23D ．134．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋3－3a ，x <0，x 2＋a ，x ≥0，对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，总满足以下不等关系：f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则实数a 的取值范围为A ．a ≤34B ．a ≥34C ．a ≤1D ．a ≥15．如图，圆柱的母线长为4，AB ，CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB ⊥CD ，三棱锥ABCD 的体积为83，则圆柱的表面积为A ．10πB ．92πC ．4πD ．8π6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则2|AF |＋3|BF |的最小值为 A ．6＋52B ．26＋5C ．46＋10D ．117．设函数f (x )＝cos(x ＋φ)，其中|φ|<π2.若x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x .则y ＝f (x )的图象与直线y ＝14x －1的交点个数为A ．1B ．2C ．3D ．48．已知定义域为R 的函数f (x )，g (x )满足：g (0)≠0，f (x )g (y )－f (y )·g (x )＝f (x －y )，且g (x )g (y )－f (x )f (y )＝g (x －y )，则下列说法正确的是 A ．f (0)＝1B ．f (x )是偶函数C ．若f (1)＋g (1)＝12，则f (2024)－g (2024)＝－22024D ．若g (1)－f (1)＝1，则f (2024)＋g (2024)＝2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是A ．一个样本的方差s 2＝120[(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋…＋(x 20－3)2]，则这组样本数据的总和等于60B ．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为16C ．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23D ．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 10．已知函数f (x )＝ax 3－bx ＋2，则A ．f (x )的值域为RB ．f (x )图象的对称中心为(0，2)C ．当b －3a >0时，f (x )在区间(－1，1)内单调递减D ．当ab >0时，f (x )有两个极值点11．我国古代太极图是一种优美的对称图．定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则 下列命题中正确的是A ．函数f (x )＝sin x ＋1是圆O ：x 2＋(y －1)2＝1的一个太极函数B ．对于圆O ：x 2＋y 2＝1的所有非常数函数的太极函数中，都不能 为偶函数C ．对于圆O ：x 2＋y 2＝1的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D ．若函数f (x )＝kx 3－kx (k ∈R )是圆O ：x 2＋y 2＝1的太极函数，则k ∈(－2，2)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．曲线y ＝2x －ln x 在点(1，2)处的切线与抛物线y ＝ax 2－ax ＋2相切，则a ＝ ．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若P 为椭圆C 上一点，PF 1⊥F 1F 2，△PF 1F 2的内切圆的半径为c3，则椭圆C 的离心率为 ．14．设函数f (x )＝ax ＋xx －4(x >4)，若a 是从1，2，3，4四个数中任取一个，b 是从4，8，12，16，20，24六个数中任取一个，则f (x )>b 恒成立的概率为 ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(b ＋c )(sin B －sin C )＝(a －c )sin A . (1)求B ；(2)若△ABC 的面积为334，且AD →＝2DC →，求BD 的最小值．16．(本小题满分15分)已知双曲线E 的焦点在x 轴上，离心率为233，点(3，2)在双曲线E 上，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点．(1)求E 的方程；(2)过F 2作两条相互垂直的直线l 1和l 2，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值．17．(本小题满分15分)如图，侧面BCC 1B 1水平放置的正三棱台ABCA 1B 1C 1，AB ＝2A 1B 1＝4，侧棱长为2，P 为棱A 1B 1上的动点．(1)求证：AA 1⊥平面BCC 1B 1；(2)是否存在点P ，使得平面APC 与平面A 1B 1C 1的夹角的余弦值为53333若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由．18．(本小题满分17分)若无穷正项数列{a n }同时满足下列两个性质：①存在M >0，使得a n <M ，n ∈N *；②{a n }为单调数列，则称数列{a n }具有性质P .(1)若a n ＝2n －1，b n ＝⎝⎛⎭⎫13n(ⅰ)判断数列{a n }，{b n }是否具有性质P ，并说明理由；(ⅱ)记S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，判断数列{S n }是否具有性质P ，并说明理由；(2)已知离散型随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，0<p <12，记X 为奇数的概率为c n .证明：数列{c n }具有性质P .19．(本小题满分17分)已知函数f (x )＝4e x －2x －2x ，g (x )＝－x 2＋3ax －a 2－3a (a ∈R 且a <2)．(1)令φ(x )＝f (x )－g (x )，h (x )是φ(x )的导函数，判断h (x )的单调性； (2)若f (x )≥g (x )对任意的x ∈(1，＋∞)恒成立，求a 的取值范围．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案CBDDABCCABDBDAD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
高三第一次月考数学试卷
高三第一次月考数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1.已知集合A={x∣x2−3x−4≤0}，则A的解集为：A. (−1,4]B. [−1,4]C. (−∞,−1]∪[4,+∞)D. [−4,3]2.复数z=1+i2i的共轭复数为：A. 1−iB. 1+iC. −1+iD. −1−i3.函数f(x)=log2(x2−2x−3)的定义域为：A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. (−1,3)C. [−1,3]D. (−∞,−1]∪[3,+∞)4.已知向量a=(1,2)，b=(3,−1)，则a⋅b=：A. 1B. -1C. 5D. -55.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是：A. y=x1B. y=x2−2xC. y=log21xD. y=2x6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，S3=−3，则a2+a4=：A. -4B. -2C. 0D. 27.下列命题中，正确的是：A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若a>b，c>d，则a−d>b−cC. 若a>b，c>d，则ac>bdD. 若a>b，则a1<b18.已知函数f(x)=sin(2x+6π)，则f(6π)的值为：A. 21B. −21C. 23D. −239.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于A，B两点，交准线l于D，若BF=3FA，则∣AB∣∣DF∣=：A. 21B. 31C. 32D. 4310.已知函数f(x)=ln(x+1)−x+1ax在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是：A. (−∞,1]B. [−1,+∞)C. (−∞,−1]D. [1,+∞)11.已知椭圆C:a2x2+b2y2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C交于A，B两点，若∣BF2∣=2∣AF2∣，4cos∠AF1F2=10，则C的离心率为：A. 22B. 23C. 35D. 3612.已知函数f(x)={(3a−1)x+4a,log ax,x<1x≥1是(−∞,+∞)上的减函数，则实数a的取值范围是：A. (0,71]B. [71,31)C. (0,31]D. [31,1)二、填空题（每题5分，共20分）1.若x,y∈R，且xy=2，则x2+y2的最小值为 _______。
2024-2025学年上海同一附中高三上学期数学月考试卷及答案(2024.10)
1同一附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．集合{}1,3,M t =，{}21P t t =−+，若MP M =，则t =________．2．关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为空集的充要条件为________． 3．集合{}|3,x S y y x R ==∈，{}2|1,T y y x x R ==−∈，则ST =________．4．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________． 5．若函数1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩则不等式1()3f x ≥的解集为________． 6．对于实数x ，y ，“221x y +<”是“1x <且1y <”的________条件．7．()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22x f x x =+，则0x <时，()f x =________． 8．设(72)n x −的展开式中，各项系数之和为625，则展开式中各项系数的绝对值之和 是________．9．已知等比数列{}n a 满足22a =，31a =，则()12231lim n n n a a a a a a +→+∞+++=________．10．对于定义在集合D 上的函数()f x ，若存在实数0x 满足00()f x x =，则把0x 叫做()f x 的一个不动点，已知()224f x x mx =++，[]1,2D =没有不动点，则实数m 的取值范围 是________．11．当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，不等式log 1a x <恒成立，则实数a 的取值范围为________．12．记()22ln 2f x x x kx k =+−+，若存在实数a 、b ，满足122a b ≤<≤，使得函数()y f x =在区间[],a b 上是严格增函数，则实数k 的取值范围是________．2二、选择题（本大题满分445518+++=分）13．某班有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布()2120,N σ，已知(140)0.2P X >=，则[]100,140X ∈的学生人数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．3014．若偶函数()f x 在区间[)0,+∞上严格增加，则1(21)3f x f ⎛⎫−< ⎪⎝⎭的x 取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,323⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭15．若函数()()20.5log 3f x x ax a =−+在[)2,+∞上是严格减函数，则实数a 的取值范围（ ） A ．(),4−∞B ．(]4,4−C ．()[),42,−∞−+∞ D ．[]4,2−16．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列结论正确的个数是（ ） （1）2112()()x f x x f x <； （2）()()1122x f x x f x +<+ （3）()()12120f x f x x x −<−； （4）当ln 1x >−时，112221()()2()x f x x f x x f x +>A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题（本大题满分78分）17．（本题8614+=分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为线段1DD ，BD 的中点．（1）求点D 到平面AEF 的距离； （2）求异面直线EF 与BC 所成的角．18．（本题6814+=分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，22sin)()sin A C a b B−=−，外接圆半径R=．（1）求C∠的度数；（2）求△ABC面积S的最大值．19．（本题26614++=分）疫情期间居家学习，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：h）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．（1）求频率分布直方图中实数a，b的值；（2）每天学习时间在[)6.0,6.5的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在[)6.0,6.5和[)7.0,7.5的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在[)6.0,6.5的人数X的分布和数学期望．320．（本题46818++=分）若椭圆22:143x yΓ+=的右焦点为F，过F的直线l交Γ于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求线段AB的长；（2）若直线l与x轴不重合，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值；（3）若椭圆Γ上存在点C使得AC BC=，且△ABC的重心G在y轴上，求此时直线l的方程．4521．（本题46818++=分）设()y f x =、()y g x =是定义域为R 的函数，当12()()g x g x ≠时，记121212()()(,)()()f x f x x xg x g x −δ=−．（1）已知()y g x =在区间I 上严格增，且对任意1x ，2x I ∈，12x x ≠，有12(,)0x x δ>，证明：函数()y f x =在区间I 上严格增； （2）已知()32133g x x ax x =+−，且对任意1x ，2x R ∈，当12()()g x g x ≠时，有12(,)0x x δ>，若当1x =时，函数()y f x =取得极值，求实数a 的值； （3）已知()sin g x x =，12πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1πf2⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，且对任意1x ，2x R ∈，当12()()g x g x ≠时，有12(,)1x x δ≤，证明：()sin f x x =．6参考答案一、填空题1.1,0,2−;2.20,40a b ac >−≤;3.(]0,1;4.2;5.[]3,1−;6.充分不必要;7.22x x −+;8.6561;9.323; 10.()3,2,2⎛⎫−∞−⋃−+∞ ⎪⎝⎭； 11.[)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ 12.9{|}4k k <12．记()22ln 2f x x x kx k =+−+，若存在实数a 、b ，满足122a b ≤<≤，使得函数()y f x =在区间[],a b 上是严格增函数，则实数k 的取值范围是________． 【答案】9{|}4k k <【解析】()222f x lnx x kx k =+−+在区间[]a,b 上是严格增函数, ()1'220f x x k x ∴=+−…在[]a,b 上恒成立,可得1122k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭…成立,又()1122g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在02⎛⎝⎭上递减,在(2,⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增, 122a b ≤<≤,()139,2224g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故94k <.故答案为:9{|}4k k <.二、选择题13.D 14.A 15. 16.B16．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列结论正确的个数是（ ） （1）2112()()x f x x f x <； （2）()()1122x f x x f x +<+ （3）()()12120f x f x x x −<−； （4）当ln 1x >−时，112221()()2()x f x x f x x f x +>A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B7【解析】（1）正确;因为令()()f x g x lnx x==, 在()0,+∞上是增函数,∴当120x x <<时,()()12g x g x <,()()1212f x f x x x ∴<即()()2112x f x x f x <.（2）错误；因为令()()g x f x x xlnx x =+=+()'2,g x lnx ∴=+()2x e ,−∴∈+∞时,()()'0,g x g x >单调递增,()20x ,e −∈时,()()'0,g x g x <单调递减.()11x f x ∴+与()22x f x +无法比较大小.（3）错误；因为令()()g x f x x xlnx x =−=−,()'g x lnx =()01x ,∴∈时,()()'0,g x g x <在()01,单调递减,()1x ,∈+∞时,()()'0,g x g x >在()1,+∞单调递增,()()()()1212112201,,,x x g x g x f x x f x x ∴<<−><∴−>当时()()()()12121212,0f x f x f x f x x x x x −∴−>−∴<−当121x x <<时,()()12g x g x <()()()()()()121122121212,,0.f x f x f x x f x x f x f x x x x x −∴−<−∴−<−∴>−（4）正确;因为1lnx >−时,()f x 单调递增, 又（1）正确,()()()()()()()1122211122212x f x x f x x f x x f x f x x f x f x ⎡⎤⎡⎤∴⋅+⋅−>−+−⎣⎦⎣⎦()()()12120x x f x f x ⎡⎤=−−>⎣⎦,故选B.三．解答题17.（1） （2）18.（1）3π（219.（1）0.26,0.38a b == （2）23（3）()34E X =820．（本题46818++=分）若椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过F 的直线l 交Γ于A ，B 两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求线段AB 的长；（2）若直线l 与x 轴不重合，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值； （3）若椭圆Γ上存在点C 使得AC BC =，且△ABC 的重心G 在y 轴上，求此时直线l 的方程． 【答案】（1）3AB =（2）32（3） 直线;1l x =或0y =或1x y =+. 【解析】(1)()10F ,,令1x =, 则21143y +=,3,32y AB ∴=±∴=(2) 设直线()()11:10,l x my m A x ,y =+≠,()22B x ,y 联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 则()2234690,m y my ++−=则()212261441,,34mm y y m −∆=++=+12122293434y y y y m m −⋅=∴−=++121122AOBS OF y y ∆∴=⋅−=令,1t t …, 则2661313AOB tS t t t ∆==++,13y t t=+在[)1,+∞上为增函数,926663142313AOB tS t t t∆∴===++…, 当且仅当1t =, 即0m =时取等号, AOB ∴∆面积的最大值为32. (3)当直线l 不与x 轴重合时,设直线()()(112:10,,l x my m A x ,y B x =+≠,)2,y AB 的中点为M ,联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 则()2234690m y my ++−= ()212261441,34mm y y m −∆=++=+122934y y m −⋅=+ ABC ∆的重心G 在y 轴上,120C x x x ∴++=()()12122C x x x m y y ∴=−+=−+−=28,34m −+()12122242234M m y y x x x m +++===+1223234M y y my m +−==+,AC BC CM AB=∴⊥∴直线():M M CM y y m x x −=−−,()2934C M C M my y m x x m ∴=−−=+22893434m C ,m m −⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭, 代入椭圆得,()22310m m −=,0m∴=或m =, ∴直线:1lx =或1x y =+, 当直线 与x 轴重合时,C 点在椭圆的上,下顶点,满足题意，此时:0l y =， 综上, 直线;1l x =或0y =或1x y =+. 21．（本题46818++=分）设()y f x =、()y g x =是定义域为R 的函数，当12()()g x g x ≠时，记121212()()(,)()()f x f x x xg x g x −δ=−．（1）已知()y g x =在区间I 上严格增，且对任意1x ，2x I ∈，12x x ≠，有12(,)0x x δ>，证明：函数()y f x =在区间I 上严格增；10（2）已知()32133g x x ax x =+−，且对任意1x ，2x R ∈，当12()()g x g x ≠时，有12(,)0x x δ>，若当1x =时，函数()y f x =取得极值，求实数a 的值； （3）已知()sin g x x =，12πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1πf2⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，且对任意1x ，2x R ∈，当12()()g x g x ≠时，有12(,)1x x δ≤，证明：()sin f x x =．【答案】（1）见解析 （2）1a =（3）见解析【解析】(1) 证明: 不妨设12x x <,因为()y g x =在I 上严格增,所以对任意1212,,x x I x x ∈<, 有()()120g x g x −<, 又()()()()()121212,0,f x f x x x g x g x −δ=>−所以()()120f x f x −<,所以()y f x =在区间I 上严格增.（2）由（1）可知：当()y g x =在区间I 上严格增时,()y f x =在I 上严格增, 当()y g x =在区间I 上严格减时,()y f x =在I 上严格减,又当1x =时,()y f x =取得极值,所以当1x =时,()y g x =也取得极值,()()2'23,'1220g x x ax g a =+−=−=, 可得1a =,当1a =时,()()()'31g x x x =+−, 所以在()3,−∞−上,()()'0,g x g x >单调递增,在()31,−上,()()'0,g x g x <单调递减, 在()1,+∞上,()()'0,g x g x >单调递增,所以()g x 在1x =处取得极值,所以1a =. (3)证明: 当()2x k k Z π≠+π∈时, 由条件知()1121f x x,sinx +π⎛⎫δ−=≤ ⎪+⎝⎭ 所以()()1,121f x f x sinx ,x sinx −π⎛⎫δ=≤ ⎪−⎝⎭…,所以()f x sinx …,所以()f x sinx =, 当()202x k k Z ,k π=+π∈≠时, 对任意22t ,ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭, 有()()11f x sint x,t sint −δ=≤− 所以()211sint f x −剟,又因为21sint −的值域为()31,−,所以()1f x =,11 当()202x k k Z ,k π=−+π∈≠时, 对任意22t ,ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭, 有()()11f x sint x,t sint −δ=≤−−, 所以()112f x sint −+剟,又因为12sint +值域为()13,,所以()1f x =−, 综上可知, 对任意(),x R f x sinx ∈=.。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
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2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
湖南省2025届高三上学期第一次月考数学试题含答案
2025届高三月考试卷（一）数学（答案在最后）命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （）A.{}32xx -≤≤∣ B.{32}xx -≤<∣C.{12}xx <≤∣ D.{12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ⋂=<<∣，故选：D ．2.若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.2B.54C.D.2【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-，所以z ==.故选：C3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b + 在向量b 上的投影向量为（）A.()6,3- B.()4,2- C.()2,1- D.()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选：A4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（）A.21 B.19C.12D.42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-，()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=，故选：A5.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X N μσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A.136人B.272人C.328人D.820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==，()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈，()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=，∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈（人），故选：B ．6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.(D.(【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ⨯>，可得2222299a b c a b ->=+，即22224555a b c a >=-，可得2259c a <，所以2295c a <，所以5e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是1,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：B8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()(),00,1-∞⋃ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x ==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0ff x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10.已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确.故选：BD11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑，可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-，且()()()00,21g f x g x =++-=，即()()21f x g x +-=①，用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=②，由①+②得()()222f x f x ++-=，所以()f x 的图象关于点2,1对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++-=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+-，则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180-【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +-的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-，得2x y 的系数为180-.故答案为：180-．13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=，因此可得()()2f x f x '>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x '->，所以()()2f x f x '>.构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22xf x f x h x '-'=e，所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞--上小于零，在()1,0-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为：()()1,01,-⋃+∞14.已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.【答案】231,3⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λμ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()13,,1,0,cos ,sin 22A B C θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，由(),R OC OA OB λμλμ=+∈，即()()13cos ,sin ,1,022θθλμ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，整理得1cos ,sin 22λμθλθ+==，解得cosλμθ==-，则323ππcos cos sin ,0,3333λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+=-=+=+∈ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ,,sin 33332θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎣⎦⎝⎭⎣⎦所以231,3λμ⎡+∈⎢⎣⎦.方法二：设k λμ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λμ=+=；当点C 运动到AB 的中点时，123332k λμ=+==，所以231,3λμ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故答案为：231,3⎡⎢⎣⎦四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB 于点,313,13D AD DB ==CD 的长．【答案】（1）2π3C =（2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =-，所以2π3C =．因为CD 是角C的平分线，AD DB ==所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin B ADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =．16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a =（2）(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+，由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x ='+，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．由（1）知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-，使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭，即()()120f x g x -≥，符合题意．②若()0,0k g x ==，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x -<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>在1,+∞上单调递增，所以()min ()1ek g x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+．17.已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,2BC AB BC PA PB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD 所成角的余弦值为14．【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．【小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ-=-，所以,2,1x y z λλλ===-，即(),2,1F λλλ-．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩，，取()1,2,3m =--，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos 14θ=，得sin 14θ=．所以314sin cos ,14m EF m EF m EF θ⋅====，整理得2620λλ-=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD 所成角的余弦值为7014．18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240rx r x r -+-+-=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=，所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ，则111712222PQ PE -≥-=-=≥，所以当232ι=时，线段PQ 长度取最小值12-.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴.设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a --=--，即()21y a x a a b -=-+，即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--，即()10x a y a -++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r -+-+-=.同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，22224224,11r r a b ab r r --∴+==--.代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=，220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+(b 为定值),则直线过定点()0,.b 19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式：()()()1122211ˆˆ,n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====---==---∑∑∑∑.【答案】（1）673220710001200y t =+（2）433774nn P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得 2.2100.42.49y ⨯-==新，12345678959t ++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a=-⨯=，所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12111313,444416P P ==⨯+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥，又由2131331141644P P +=+⨯=，所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥，又因为1414974728P -=-=-，所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-，公比为34-的等比数列，故1493(7284n n P --=--，所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中[]x 表示取整函数，当347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题(原卷版)
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A. B. 54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==− ，则向量a b + 在向量b 上投影向量为（ ） A. ()6,3− B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21 B. 19 C. 12 D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X N µσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人 C. 328人 D. 820人 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ ∈−=⋅= ，则αβ+=（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. ( 8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x =+，则（ ） A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D. 20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈ ，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB，求CD 的长． 16. 已知1ex =为函数()ln a f x x x =的极值点． （1）求a 的值；（2）设函数()ex kx g x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）. （1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n n i ii i i i n n i i i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑.。
高三数学第一次月考试卷(最终版)
高三数学第一次月考试卷（理）XX :班级:分数:试卷满分 150 分考试时间120 分钟一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R ，集合A{ x | 0 x2} ， B { x | x 1} ，那么集合AC U B 等于（）（ A ）{ x | 0 x 1} （ B ）{ x |0 x 1} （ C ）{ x |1 x 2}（ D ）{ x |1x 2}2．已知命题p ： x R ，| x1| 0 ，那么命题p 为（）（ A ）x R ，| x1| 0（ B ）x R ，| x1|0 （ C ）x R ，| x1|0（ D ）x R ，| x1|03．下列函数中，图象关于y 轴对称的是（）（ A ）y2x （ B ） y2x （ C ） yx 2（ D ） y log 2 x4．函数f ( x) x 2e x 的单调递减区间是（）（ A ）( 2,0) （B ）( , 2)，(0, ) （ C ）(0, 2)（D ）(,0) ， (2,)5．若函数f ( x)的图象在 a, b 上是不间断的， 且有f (a) f (b) 0，则函数 f (x)在 a,b 上（）（A ）一定没有零点（ B ）至少有一个零点 （C ）只有一个零点（ D ）零点情况不确定6. 在极坐标系中，过点(2, 3) 且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）2A．sin = - 2B．cos = - 2C．sin = 2D．cos = 271 ”是“函数y x2bx 1 ( x [1, ))为增函数”的（）．“ b（ A ）充分但不必要条件（ B ）必要但不充分条件（ C）充要条件（ D）既不是充分条件也不是必要条件8．方程2x x 2 的解所在区间是（）A.（ 0，1）B.（1， 2）C.（ 2，3）D.（3，4）9.函数y xa x(0 a 1)的图象的大致形状是()x10. 已知定义在 R 上的函数y=f(x) 满足 f(x+2)= f(x)，当 -1<x ≤ 1时， f(x)=x3．若函数 g( x) f (x)log a x 恰有6个零点，则（）A.a= 5 或 a= 1B.a(0,1)[5, ) C. a[1,1] [5,7] D. a [1,1) [5,7) 557575二、填空题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 45 分. 把答案填在题中横线上 . 11．不等式12x 18的解集是 _________.212．函数y log 23x 2 的定义域为_________________________513. 若alog 2 3， b log3 2 ， c log4 6 ，则它们从小到大的顺序是____________14．抛物线yx 2 x 与x 轴所围成封闭图形的面积是 ___________.15. 如图，AC 为⊙O 的直径，OBAC ，弦 BN 交 AC 于 点 M ．若OC3 ，OM1，则 MN _____．Clg x, x 0, 1 ，则 x 0的值是16．已知函数f ( x)2 ,x 若 f (x 0 )x 0.17.曲线y1 x2e 2在点 4,e处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为BMOAN．_____________x 2t 2a, 18． .在平面直角坐标系下，已知曲线C 1 :t, （ t 为参数）和曲线yC 2 :x2cos , (为参数 ),若曲线C 1，C 2有公共点，则实数a 的y1 2sin取值X 围为____________.119．已知函数f (x)x 2 , 0 xc,其中 c 0 ．那么 f ( x) 的零点是_____；若 f (x)x 2 x, 2 x 0,的值域是 [1, 2] ，则c 的取值X 围是_____．4三、解答题：本大题共4 小题，共 55 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .20．（本小题满分 12 分）设 p:实数 x 满足x 24ax 3a 20 ,其中 a 0 ,命题 q : 实数x 满足x 2 x 6 0, 1, 且pq 为真，XX 数x 的取值X 围；x 2 2x8．求（ 1）若a0.（ 2）若 p 是 q 的充分不必要条件,XX 数a 的取值X 围．21．（本小题满分13 分）已知函数f ( x)x 33ax 1 在x1 处取得极值．（Ⅰ）XX 数a 的值；（Ⅱ）当 x [ 2,1] 时，求函数f ( x) 的值域.22.(本小题分）定义在（，）上的函数满足）140 f ( x): (1 f (2) 1;( 2) f ( xy) f ( x) f ( y), 其中 x, y为任意正实数，(3)任意正实数满足时，f ( y))恒成立x, yx y( x y)( f ( x)0根据上述条件求下列问题：（1）求 f (1), f (4)的值（）判断函数的单调性2 f (x)（）若f ( x 3) 2,试求的取值X围。
2023—2024学年黑龙江省高三上学期第一次月考考试数学试题(含答案)
2023-2024学年黑龙江省高三上册第一次月考考试数学试题．．．．．函数()2ln(f x x =--的单调递减区间为（）．(,1)-∞-B (1,1)-D7．若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '满足：对任意x ∈R 都有()()f x f x '<，则下列各式恒成立的是（）A ．()()()()20181e 0,2018e 0f f f f <⋅<⋅B ．()()()()20181e 0,2018e 0f f f f >⋅>⋅C ．()()()()20181e 0,2018e 0f f f f >⋅<⋅D ．()()()()20181<e 0,2018e 0f f f f ⋅>⋅二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下列判断正确的是（）A ．()f x 在()4,3--上是减函数B ．()f x 在()1,2-上是减函数C ．3x =-时，()f x 有极小值D ．2x =时，()f x 有极小值10．对于定义在R 上的函数()f x ，下述结论正确的是（）A ．若()()11f x f x =+-，则()f x 的图象关于直线1x =对称B ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图象关于点()1,0A 对称C ．函数()1y f x =+与函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称D ．若函数()1f x -的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数16．已知定义在R 上的函数f ()()2log a f x x =+，则(2022f 四、解答题：本题共6小题，共由图象可知：函数12xy=与y∴函数()213 2xf x x=+-的零点个数为故答案为.214．2【分析】根据对数函数的性质求出函数过定点坐标，再代入直线方程，即可得到。
2024-2025学年渭南市蒲城县高三数学上学期10月第一次月考卷及答案解析
蒲城中学2024—2025学年上学期高三第一次月考数学注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本试卷命题范围：集合与逻辑、不等式、函数.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 已知集合{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则A B = （ ）A. {}3 B. {}1,2,5 C. {}1,2,3,5 D. {}1,2,3,4,5【答案】C【解析】【分析】根据并集的知识求得正确答案.【详解】依题意，A B = {}1,2,3,5.故选：C2. 已知命题2024:R,20230x p x x ∀∈+>，则p 的否定是（ ）A. 2024R,20230x x x ∀∈+≤ B. 2024R,20230x x x ∃∈+<C. 2024R,20230x x x ∃∈+≤ D. 2024R,20230x x x ∃∈+≠【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定即可得到结果.【详解】先变量词，再否结论，而“202420230x x +>”的否定是“202420230x x +≤”，故p 的否定是：2024R,20230x x x ∃∈+≤.故选:C.3. 不等式304x x+≥-的解集为（ ）A. []3,4- B. [)3,4-C. ()(),33,∞∞--⋃+ D. (](),34,-∞-+∞ 【答案】B【解析】【分析】转化为一元二次不等式，求出解集.【详解】304x x +≥-等价于()()34040x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得[)3,4x ∈-.故选：B4. 函数211x y x -=+-的定义域是（ ）A. [)4,-+∞ B. ()4,-+∞C. [)()4,00,-+∞ D. [)()4,11,-+∞ 【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求解即得.【详解】函数211x y x -=-有意义，则4010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得4x ≥-且1x ≠，所以所求定义域为[)()4,11,-+∞ .故选：D5. 函数()21ex x f x +=的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，即可确定.【详解】()()()2222212e (1)e 21210e e e e x xx x x x x x x x x x x f x --+-+--+'===-=-≤恒成立，所以函数()21ex x f x +=在定义域R 上单调递减，且对任意R x ∈，都有210,e 0x x +>>，所以对任意R x ∈，都有()0f x >，所以结合选项可知A 满足，故选：A.6. 已知120232023202212024,log 2022,log 2023a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c>> B. b a c >>C. c a b>> D. a c b>>【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性确定范围即可比较大小.【详解】依题意102023202420241a =>=，2023202320230log 1log 2022log 20231<<<=，202220221log log 102023c =<=，所以a b c >>.故选：A7. 函数()f x =[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A. 1a ≤- B. 1a <- C. 31a -≤≤- D. 31a -<<-【答案】C【解析】【分析】令()272t x ax x =+-，由题意可得()t x 需满足在区间[]1,1-上单调递减，且()min 0t x ≥，由此列出不等式，求得答案.【详解】令()272t x ax x =+-，则()f t =由题意可得()272t x ax x =+-需满足在区间[]1,1-上单调递减，且()min 0t x ≥，而()272t x ax x =+-图象开口向下，对称轴为t a =，故1a ≤-且()1620t a =+≥，即31a -≤≤-，故选：C8. 设0a >，0b >，则下列不等式中不恒成立的是（ ）．A. 12a a +≥ B. 222(1)a b a b +≥+-C. ≥D. 3322a b ab +≥【答案】D【解析】【详解】分析：根据基本不等式、作差法、分析法论证A,B,C 正确，举反例得D 错误.详解：332222()()a b ab a b a ab b +-=-+-，a b <<有3322a b ab <+，故D项错误，其余恒成立：1122,a a a a+≥=⇒+≥2222222(1)(1)(1)02(1),a b a b a b a b a b +-+-=-+-≥⇒+≥+-当a b ≥时0a b a b a b a b ---+≥---+=⇒-当a b <0>D ．点睛：本题考查根据基本不等式、作差法、分析法论证等知识点，考查推理论证能力.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）A. 1y x = B. e e x xy -=-的C. 3y x = D. 2log y x=【答案】BC【解析】【分析】根据解析式直接判断奇偶性与单调性即可求解.【详解】选项A ：1y x =为奇函数不是增函数，选项B ：e e x x y -=-，为奇函数和增函数，选项C ：3y x =为奇函数和增函数，选项D ：2log y x =不是奇函数.故选：BC.10. 下列四个命题中正确的是（ ）A. 若,a b c d >>，则a d b c->- B. 若22a m a n >，则m n >C. 若110a b <<，则2b ab > D. 若a b >，则11a b a>-【答案】ABC【解析】【分析】根据不等式的性质判断ABC ，举反例排除D ，从而得解.【详解】A.由条件可知，a b >，d c ->-，所以a d b c ->-，故A 正确；B.因为22a m a n >，所以20a >，所以m n >，故B 正确；C.因为110a b<<，所以0b a <<，所以2b ab >，故C 正确；D.因为a b >，取1,0a b ==，则111a b a ==-，故D 错误.故选：ABC11. 下列说法正确的是（ ）A. “万事俱备，只欠东风”，则“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要不充分条件B. 若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件C. 方程20ax x a ++=有唯一解的充要条件是12a =±D. []x 表示不超过x 的最大整数，x 表示不小于x 的最小整数，则“[]ab =”是“a b ≥”的充要条件【答案】AB【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义依次判断各选项即可.【详解】对于A ，“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件，故A 正确；对于B ，若p 是q 的必要不充分条件，则q p ⇒，p q ¿；若p 是r 充要条件，则p r ⇒，r p ⇒；则有q r ⇒，r q ¿，即q 是r 的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，当0a =时，方程20ax x a ++=可化为0x =，也满足唯一解的条件，故C 错误；对于D ，依题意，得[]a a ≥，b b ≥，所以“[]a b =”⇒“a b ≥”，即充分性成立；反之不成立，如3.1 1.5≥，[3.1]3=，1.52=，不能推出“[3.1] 1.5=”，即必要性不成立，故D 错误．故选：AB ．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数()()16log ,2,21,2x x f x f x x ≤⎧=⎨->⎩则(4)f =______．【答案】1【解析】【分析】根据自变量确定代入哪段，结合对数性质计算即可.【详解】因为()()()42342f f f ==，()1612log 24f ==，所以()()4421f f ==．故答案为：113. 若“x ∃∈R ，使得2210x mx -+<”是假命题，则实数m 的取值范围是______．【答案】⎡⎣-【解析】【分析】根据特称命题的定义和一元二次不等式的恒成立问题求解.【详解】因为“x ∃∈R ，使得2210x mx -+<”是假命题，所以“x ∀∈R ，使得2210x mx -+≥”是真命题，所以280m ∆=-≤，解得m ⎡∈-⎣，故答案为: ⎡⎣-.14. 已知函数e ()1x mx f x x =+-是偶函数，则m =__________．【答案】2【解析】【分析】求出f(x)定义域，根据f(x)是偶函数，可取定义域内任意x ，根据f(-x)=f(x)即可求得m 的值．【详解】由e 10x -≠得e ()1x mx f x x =+-的定义域为{}|0x x ≠，则∵e ()1x mx f x x =+-是偶函数，故f(-1)=f(1)，即111e 1e 1m m ---+=+--，解得m=2．此时()1(e )e 1e 21x x x x x f x x +=+=--，而()()e (1e 1)x x xf x f x ---+-==-，故()f x 确为偶函数，故m=2．故答案为：2．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15. 设集合{}52A x x =-<．{}121B x x m =<<+．（1）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1m ≤；（2）[)3,+∞．【解析】【分析】（1）分B =∅和B ≠∅两种情况讨论即可；（2）由题得A 是B 的真子集，根据集合间的基本关系求解即可.【小问1详解】{}{}{}5225237A x x x x x x =-<=-<-<=<<，当B =∅时，121m ≥+，解得0m ≤当B ≠∅时，由A B =∅ 得：0213m m >⎧⎨+≤⎩，解得01m <≤；综上，1m ≤；【小问2详解】由题得，A 是B 的真子集，所以31721m ≥⎧⎨≤+⎩，且等号不同时成立，解得3m ≥，所以实数m 的取值范围为[)3,+∞．16. 已知函数()21x b f x ax +=+，点()1,5A ，()2,4B 是()f x 图象上的两点.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[]1,3上的最大值和最小值.【答案】（1）18a b =⎧⎨=⎩（2）max ()5f x =，min 7()2f x =【解析】【分析】（1）把图象上的两点代入函数解析式，由方程组求a ，b 的值；（2）定义法求函数单调性，由单调性求最值.【小问1详解】因为点()1,5A ，()2,4B 是()f x 图象上的两点，所以2514421b a b a +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，解得18a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】设1213x x ≤<≤，则()()()()()2112121212628281111x x x x f x f x x x x x -++-=-=++++，因为1213x x ≤<≤，所以210x x ->，()()12110x x ++>，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()281x f x x +=+在[]1,3上单调递减.故()max ()15f x f ==，()min 7()32f x f ==.17. 已知函数()2109f x x x =-+．（1）求不等式()0f x >的解集；（2）若0x >，不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）{1x x <或}9x >；（2）(],4-∞-【解析】【分析】（1）直接解不等式21090x x -+>即可；（2）转化问题转化为()9100x a x x +-≥>恒成立，然后利用基本不等式求出910x x +-的最小值即可.【小问1详解】不等式()0f x >，即为21090x x -+>，则有()()190x x -->，解得1x <或9x >，所以不等式()0f x >的解集为{1x x <或}9x >．【小问2详解】不等式()()0f x ax x ≥>，即为2109x x ax -+≥，所以()9100x a x x +-≥>，只需910x x+-的最小值大于或等于a 即可，因为910104x x +-≥-=-，当且仅当9x x =即3x =时取等号．所以910x x+-的最小值为4-，所以4a ≤-，故a 的取值范围是(],4-∞-18. 若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2=f x f x -，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =-．（1）求()2024f 值；（2）当[]3,4x ∈时，求函数()f x 的解析式．【答案】（1）0 （2）()268x x f x =-+-的【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性、周期性等知识求得正确答案.（2）根据函数解析式的求法求得正确答案.小问1详解】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2=f x f x -，()()f x f x ∴-=-，()()()2+==f x f x f x --，()()4f x f x ∴+=，即函数()f x 是以4为周期的周期函数()()()2024450600f f f ∴=⨯==．【小问2详解】当[]0,1x ∈时，()22f x x x =-，∴当[]1,0x ∈-时，[]0,1x -∈，()()()22()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦，又当[]3,4x ∈时，[]41,0x -∈-，()()()224(4)2468f x f x x x x x ∴=-=----=-+-．19. 已知()f x 为偶函数、()g x 为奇函数，且满足1()()2x f x g x --=.（1）求()f x ，()g x ；（2）若方程2()[()]29mf x g x m =++有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()()22,22x x x xf xg x --=+=- （2）10m ≥【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组来求得()(),f x g x .（2）利用分离常数法、构造函数法，结合基本不等式求得正确答案【小问1详解】依题意，()f x 为偶函数、()g x 为奇函数，且满足1()()2x f x g x --=，所以11()()2()()2x x f x g x f x g x -+⎧-=⎨---=⎩，则11()()2()()2xx f x g x f x g x -+⎧-=⎨+=⎩，解得()()22,22x x x x f x g x --=+=-.【.【小问2详解】若方程2()[()]29mf x g x m =++有解，即()()2222229x x x xm m --+-=++有解，即()()222222722225x x x x x x m ---⎡⎤-=++=++⎣⎦+，对于方程()()2222522x x x x m --⎡⎤-=++⎣⎦+①，当0x =时，方程左边为0，右边为9，所以0x =不是①的解.当0x ≠时，令22x x t -=+，由于222x x -+>=，所以2t >，20t ->，则方程①可化()()()2222429525,22t t t t m t m t t -+-++-=+==--9244102t t =-++≥+=-，当且仅当92,52t t t -==-时等号成立，所以10m ≥.【点睛】方法点睛：对于奇函数，有()()f x f x -=-，对于偶函数，有()()f x f x -=.当题目所给条件中包括奇函数或偶函数时，首先应想到运用上述两个式子来对问题进行求解.求方程有解的问题，可以考虑利用分离参数法来进行求解.为。
2025年西师新版高三数学上册月考试卷含答案
2025年西师新版高三数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知函数y=，若f（a）=10，则a的值是（）A. 3或-3B. -3或5C. -3D. 3或-3或52、将函数y=cos3x的图象向左平移个单位长度，所得函数的解析式是（）A.B. y=cos（3x）C. y=cos（3x）D. y=cos（3x）3、曲线y=cosx（0≤x≤）与两坐标轴所围成图形的面积为（）A. 4B. 3C.D. 24、已知平面向量且则m=（）A. 3B. -3C. 4D. -45、已知命题p1隆脢{x|x2鈭�2x+1鈮�0}命题q?x隆脢[0,1]x2鈭�1鈮�0则下列命题是真命题的是()A. p隆脛qB. 漏Vp隆脛(漏Vq)C. p隆脜qD. 漏Vp隆脜q6、设双曲线的左准线与两条渐近线交于AB两点，左焦点为在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为()A. (0,2)B. (1,2)C. (22,1)D. (2,+隆脼)评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)7、若幂函数y=x n在区间（0，1）上的图象在直线y=x的上方，则n的取值范围是____．8、已知复数z=，i是虚数单位，则复数的虚部是____．9、在△ABC中，已知∠A=60°，BC=3，则AB+AC的取值范围是____．10、（几何证明选讲选做题）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于点D，若BC=3，则AB的长为____．11、设点如果直线与线段有一个公共点，那么的最小值为____12、【题文】设是纯虚数，是实数，且等于____ ．13、【题文】y=xlnx的导函数为 _________14、已知复数z满足z+|z|=2+8i，其中i为虚数单位，则|z|= ______ ．评卷人得分三、判断题(共9题，共18分)15、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．16、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）17、已知函数f（x）=4+a x-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（ 1，5 ）____．（判断对错）18、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．19、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）20、已知函数f（x）=4+a x-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（ 1，5 ）____．（判断对错）21、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．22、空集没有子集．____．23、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、证明题(共1题，共7分)24、已知椭圆C1：的离心率，其右焦点到直线2ax+by-=0的距离为．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）过点P的直线l交椭圆C1于A；B两点．（i）证明：线段AB的中点G恒在椭圆C2：=1的内部；（ii）判断以AB为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．评卷人得分五、其他(共3题，共18分)25、已知：定义在R上的函数f（x）；对于任意实数x；y都满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）≠0，当x＞0时，f（x）＞1．（1）求f（0）的值；（2）证明f（x）在（-∞；+∞）上是增函数；（3）求不等式f（x2-x）＜中x的取值范围．26、（Ⅰ）解不等式：＞0；（Ⅱ）解关于x的不等式：x2-（a+1）x+a≥0（a∈R）．27、已知：函数（a＞0）．解不等式：．评卷人得分六、综合题(共2题，共6分)28、在四棱锥P-ABCD中；底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平面ABCD，点M是棱PA的中点．（1）若PA=4；求点C到平面BMD的距离；（2）过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点N，如果三棱锥N-BCD的体积取到最大值，求此时二面角M-ND-B的大小的余弦值．29、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=，PA⊥底面ABCD，且AD=CD=AB=1；M是PB的中点．（1）求证：直线CM∥平面PAD；（2）若直线CM与平面ABCD所成的角为，求二面角A-MC-B的余弦值．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】【分析】结合题意，需要对a进行分类讨论，若a≤0，则f（a）=1+a2；若a＞0，则f（a）=2a，从而可求a【解析】【解答】解：若a≤0，则f（a）=a2+1=10∴a=-3（a=3舍去）若a＞0；则f（a）=2a=10∴a=5综上可得；a=5或a=-3故选B2、C【分析】【分析】根据函数的平移法则可得，易得答案．【解析】【解答】解：故选：C3、B【分析】【解答】解：当0≤x≤ 时；cosx≥0；当π≤x≤ 时；cosx≤0；∴所求面积S= =sinx|=1+1+1=3；故选：B．【分析】根据积分的几何意义，即可求出曲线围成的面积．4、C【分析】解：平面向量∴- =（1-m；3）；∵∴（- ）• =4（1-m）+3m=0；解得m=4；故选：C根据向量的坐标运算和向量的垂直即可求出．本题考查了向量的坐标运算和向量的垂直，属于基础题【解析】【答案】 C5、C【分析】解：对于命题px2鈭�2x+1鈮�0解得x=1.隆脿1隆脢{1}是真命题．对于命题q?x隆脢[0,1]x2鈭�1鈮�0鈭�1=鈭�1因此命题q是假命题．隆脿只有p隆脜q是真命题．故选：C．对于命题px2鈭�2x+1鈮�0解得x=1.即可判断出p的真假.对于命题q?x隆脢[0,1]x2鈭�1鈮�0鈭�1=鈭�1即可判断出真假．本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】C6、B【分析】解：渐近线y=隆脌bax准线x=隆脌a2c求得A(鈭�a2c,abc).B(鈭�a2c,鈭�abc)左焦点为在以AB为直径的圆内；得出鈭�a2c+c<abcb2c<abcb<ac2<2a2隆脿1<e<2故选B．求出渐近线方程及准线方程；求得它们的交点AB的坐标；利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出参数abc满足的不等式，求出离心率的范围．本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查圆内的点满足的不等条件、注意双曲线离心率本身要大于1．【解析】B二、填空题(共8题，共16分)7、略【分析】【分析】对幂函数的指数进行讨论，分指数为负数，指数大于1，指数小于1大于0三种情况，找出符合条件的n的取值范围【解析】【解答】解：由幂函数的性质得；当n＜0时，幂函数y=x n的图象是下降的，故在x∈（0，1），幂函数y=x n的图象在直线y=x的上方符合题意；当n=0时，幂函数y=x n的图象在x∈（0；1）上是一个与y轴平行的线段，是直线y=1的一部分，其图象在y=x的上方，符合题意；当n∈（0，1）时，由底数x∈（0，1），幂函数y=x n的图象在y=x的上方；符合题意；当n＞1时，由底数x∈（0，1），幂函数y=x n的图象在y=x的下方；不符合题意；综上；符合条件的n的取值范围是（-∞，1）．故答案为：（-∞，1）．8、略【分析】【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则虚部可求．【解析】【解答】解：z= = ．∴复数z的虚部是．故答案为：．【分析】【分析】先根据正弦定理求出2R并表示出AB+AC即b+c；再结合辅助角公式以及角B的和正弦函数的单调性即可得到答案．【解析】【解答】解：∵，∴2R= =2 ．R=∴AB+AC=c+b=2R（sinC+sinB）=2 [sinB+sin（120°-B）]=2 ×（sinB+ cosB） =6sin（B+30°）∵30°＜B+30°＜150°；∴3＜6sin（B+30°）≤6；∴c+b∈（3；6]．故答案为：（3，6]．10、略【分析】∵BC是⊙O的切线，∴BC2=CD•CA，即 CD＞0，解得CD=．∴AC=5．由BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC．由勾股定理可得==4．故答案为4．【解析】【答案】利用切割线定理；切线的性质、勾股定理即可得出．【分析】【解析】试题分析：∵直线与线段AB有一个公共点，∴点A（1，0），B（2，1）在直线的两侧，∴（a-1）（2a+b-1）≤0，即 a-1≤0 ,2a+b-1≥0 或 a-1≥0 ,2a+b-1≤0 ；画出它们表示的平面区域，如图所示．表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线2x+y-1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，那么的最小值为：．考点：简单线性规划的应用；函数的最值及其几何意义．【解析】【答案】12、略【分析】【解析】试题分析：纯虚数，因此我们设则等式为即因此解得从而．考点：复数的相等．【解析】【答案】13、略【分析】【解析】略【解析】【答案】1+lnx14、略【分析】解：设z=a+bi（a，b∈R）；则z+|z|=a+bi+ =2+8i；∴解得：．则|z|= ．故答案为：17．设出z=a+bi（a，b∈R），代入z+|z|，然后列出方程组，求解即可得a，b的值；再由复数求模公式即可得答案．本题考查了复数求模，考查了复数相等的基本条件，是基础题．【解析】17三、判断题(共9题，共18分)15、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A 不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；（3）B=∅；∴A不是B的子集；（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．故答案为：√，×，×，√．16、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；故函数y=sinx不是奇函数；故答案为：×17、√【分析】【分析】已知函数f（x）=a x-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】令x-1=0，可得x=1，a x-1=1；∴f（x）=1+4=5；∴点P的坐标为（1；5）；故答案为：√18、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A 不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；（3）B=∅；∴A不是B的子集；（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．故答案为：√，×，×，√．19、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；故函数y=sinx不是奇函数；故答案为：×20、√【分析】【分析】已知函数f（x）=a x-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】令x-1=0，可得x=1，a x-1=1；∴f（x）=1+4=5；∴点P的坐标为（1；5）；故答案为：√21、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k= ；所以5∉Z；所以5∈A错误．故答案为：×22、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；即空集是其本身的子集；则原命题错误；故答案为：×．23、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；定义域为R关于原点对称；且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；所以函数f（x）为R上的奇函数．故答案为：√．四、证明题(共1题，共7分)24、略【分析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率，其右焦点到直线2ax+by- =0的距离为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．（Ⅱ）（i）椭圆C2的方程为=1，设直线l方程为y=kx- ，代入，得=0．由此利用韦达定理能证明点G恒在椭圆C2内部．（ii）当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（0，1），再证明Q （0，1）适合题意，从而以AB为直径的圆恒过定点（0，1）．【解析】【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：的离心率，其右焦点到直线2ax+by- =0的距离为；∴，解得a= ，b=c=1；∴椭圆C1的方程为=1．证明：（Ⅱ）（i）椭圆C2的方程为=1；当直线l垂直于x轴时，AB的中点为（0，- ）在椭圆C2内部．当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y=kx- ，代入；并整理，得=0．∴=- ；∴G（，- ）；∵+ = = ＜1恒成立；∴点G恒在椭圆C2内部．解：（ii）当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1；当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为；由，得；由此可知若以AB为直径的圆恒过定点；则该定点必为Q（0，1）；下面证明Q（0；1）适合题意．由（i）知：，；∴=（x1，y1-1）•（x2，y2-1）=x1x2+（y1-1）（y2-1）==（1+k2）x1x2-=（1+k2）- += =0；∴；即Q（0，1）在以AB为直径的圆上．综上，以AB为直径的圆恒过定点（0，1）．五、其他(共3题，共18分)25、略【分析】【分析】（1）令x=1；y=0，得出f（1）=f（1）•f（0 ），再结合当x＞0时，f（x）＞1．得出f （0）=1；（2）设x1＜x2，由已知得出f（x2）=f（x1+（x2-x1））=f（x1）f（x2-x1）＞f（x1）；即可判断出函数f（x）在R上单调递增；（3）由（2），不等式化为x2-x＜4x-6，解不等式即可．【解析】【解答】解：（1）令x=1；y=0则f（1）=f（1+0）=f（1）f（0）；∵f（1）≠0；∴f（0）=1；（2）证明：当x＜0时-x＞0；由f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1；f（-x）＞0得f（x）＞0；∴对于任意实数x；f（x）＞0；设x1＜x2则x2-x1＞0，f（x2-x1）＞1；∵f（x2）=f（x1+（x2-x1））=f（x1）f（x2-x1）＞f（x1）；∴函数y=f（x）在（-∞；+∞）上是增函数；（3）∵= =f（4x-6）∴f（x2-x）＜f（4x-6）；由（2）可得：x2-x＜4x-6；解得2＜x＜3；所以原不等式的解集是（2，3）．26、略【分析】【分析】（I）原不等式等价于（x-2）（x+4）＜0；解出即可；（II）原不等式可化为（x-1）（x-a）≥0，分类讨论：当a＞1时，x≤1或x≥a；当a=1时，x∈R；当a＜1时，x≤a或x≥1．即可得出解集．【解析】【解答】解：（I）原不等式等价于（x-2）（x+4）＜0；解得-4＜x＜2；故原不等式的解集为{x|-4＜x＜2}．（II）原不等式可化为（x-1）（x-a）≥0；当a＞1时；x≤1或x≥a；当a=1时；x∈R；当a＜1时；x≤a或x≥1．综上：不等式的解集为：当a＞1时；{x|x≤1或x≥a}；当a=1时；x∈R；当a＜1时，{x|x≤a或x≥1}．27、略【分析】【分析】根据x的范围，解析式的不同，分别求解不等式．【解析】【解答】解：1）当x≤0时，即解；即；不等式恒成立，即x≤0；2）当x＞0时，即解，即；因为a+2＞2；所以2＞x或x＞a+2．由1），2）得，原不等式解集为{x|x＜2，或x＞a+2}．六、综合题(共2题，共6分)28、略【分析】【分析】（1）设BD与AC相交于点O；连接MO，则BD⊥AC，证明平面BMD⊥平面PAC，过点A在平面PAC作AT⊥MO于点T，则AT⊥平面BMD，利用等面积，可求点C到平面BMD 的距离；（2）连接ON，则△ONC为直角三角形，设∠OCN=θ（0＜θ＜），过N作NQ⊥OC于点Q，则NQ⊥平面ABCD，利用三棱锥N-BCD的体积取到最大值，确定AP=AC=2 ，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x、y、z轴建立坐标系，求出平面MND的一个法向量、平面BND的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求此时二面角M-ND-B的大小的余弦值．【解析】【解答】解：（1）设BD与AC相交于点O；连接MO，则BD⊥AC；∵PA⊥平面ABCD；BD⊂ABCD；∴PA⊥BD；∴PA∩AC=A；∴BD⊥平面PAC；∵BD⊂平面BMD；∴平面BMD⊥平面PAC；过点A在平面PAC作AT⊥MO于点T；则AT⊥平面BMD；∴AT为点A到平面BMD的距离；∵C；A到平面BMD的距离相等；在△MAO中，AT= = ；（2）连接ON，则△ONC为直角三角形，设∠OCN=θ（0＜θ＜）；过N作NQ⊥OC于点Q，则NQ⊥平面ABCD；∴V N-BCD= = NQ= NCsinθ= OC•cosθsinθ= ×sin2θ≤ ；当且仅当θ= 时，V最大，此时AP=AC=2 ；以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x、y、z轴建立坐标系，则有点、；设平面MND的一个法向量为，则有；取y=1；则有；∵直线PC⊥平面BND，∴平面BND的一个法向量为，易知二面角M-ND-B的平面角为锐角α，则．29、略【分析】【分析】（1）取AB的中点N；由已知条件推导出MN∥平面PAD，CE∥平面PAD，从而得到平面CMN∥平面PAD，由此能证明CM∥平面PAD．（2）由已知条件推导出CM与平面ABCD所成的角为，△AMC和△BMC都是边长为的正三角形，取CM的中点G，则∠AGB为二面角A-MC-B的平面角，由此能求出二面角A-MC-B的余弦值．【解析】【解答】（1）证明：取AB的中点N；则MN ；∴MN∥平面PAD；又四边形ADCM正方形，∴CM AD，∴CE∥平面PAD，∴平面CMN∥平面PAD；∴CM∥平面PAD．（4分）（2）解：由PA⊥底面ABCD；得MN⊥底面ABCD；则CM与平面ABCD所成的角为；∴PA=2MN=2CN=2AD=2；∴△AMC和△BMC都是边长为的正三角形；取CM的中点G，则AG⊥CM，且BG⊥CM，（7分）∴∠AGB为二面角A-MC-B的平面角；（9分）在△AGB中，AG=BG= ；AB=2；∴cos∠AGB= =- ．∴二面角A-MC-B的余弦值为- ．（12分）第21页，总21页。
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高三数学第一次月考试卷 （理）
姓名: 班级: 分数:
试卷满分150分 考试时间 120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，那么集合()B C A U ⋂等于（ ）
（A ）{|01}x x << （B ）{|01}x x <≤ （C ）{|12}x x <<
（D ）{|12}x x ≤<
2．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|0x +≥，那么命题p ⌝为（ ） （A ）x ∃∈R ，|1|0x +< （B ）x ∀∈R ，|1|0x +< （C ）x ∃∈R ，|1|0x +≤
（D ）x ∀∈R ，|1|0x +≤
3．下列函数中，图象关于y 轴对称的是（ ） （A ）2y x =
（B ）2x
y =
（C ）2
y x =
（D ）2log y x =
4．函数2
()e x
f x x =⋅的单调递减区间是（ ） （A ）(2,0)- （B ）(,2)-∞-，(0,)+∞ （C ）(0,2)
（D ）(,0)-∞，(2,)+∞
5．若函数)(x f 的图象在[]b a ,上是不间断的，且有0)()(>b f a f ，则函数[]上在b a x f ,)(（ ）
（A ）一定没有零点 （B ）至少有一个零点 （C ）只有一个零点 （D ）零点情况不确定
6.在极坐标系中，过点3(2,)2
π
且平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ） A ．sin 2ρθ
B ．cos 2ρθ
C ．sin 2ρθ
D ．cos 2ρθ
7．“1b ≥-”是“函数2
1([1,))y x bx x =++∈+∞为增函数”的（ ） （A ）充分但不必要条件
（B ）必要但不充分条件
（C）充要条件（D）既不是充分条件也不是必要条件8．方程22
x x
+=的解所在区间是（）
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（2，3）
D.（3，4）
9.函数
x
xa
y
x
=(01)
a
<<的图象的大致形状是( )
10.已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+2)= f(x)，当-1<x≤1
时，f(x)=x3．若函数()()log
a
g x f x x
=-恰有6个零点，则（）
A.a= 5或a=
1
5
B.
1
(0,)[5,)
5
a∈+∞ C.
11
[,][5,7]
75
a∈ D.
11
[,)[5,7)
75
a∈
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共45分. 把答案填在题中横线上. 11．不等式1
1
28
x-
<<的解集是_________.
12．函数()
2
5
log32
y x
=-_________________________
13.若
2
log3
a=，
3
log2
b=，
4
log6
c=，则它们从小到大的顺序是____________
14．
_
__________
2积是
轴所围成封闭图形的面
与
抛物线x
x
x
y-
=
.
15.如图，AC为⊙O的直径，OB AC
⊥，弦BN交AC于
点M．若3
OC=1
OM=，则MN=_____．
16．已知函数
2
lg,0,
()
,0.
x x
f x
x x
-
>
⎧
=⎨
<
⎩
若
()1
f x=，则
x的值
是．
17.曲线
x
e
y2
1
=在点()2,4e处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为_____________
18．.在平面直角坐标系下，已知曲线
1
:
C
22,
,
x t a
y t
=+
⎧
⎨
=-
⎩
（t为参数）和曲线
A
B
C
O
M
N
2:C 2cos ,
(),12sin x y =⎧⎨
=+⎩为参数θθθ
若曲线1C ，2C 有公共点，则实数a 的
取值范围为____________.
19．已知函数122,
0,(),20,
x x c f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 其中0c >．那么()f x 的零点是_____；若()
f x 的值域是1
[,2]4
-，则c 的取值范围是_____．
三、解答题：本大题共4小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .
20．（本小题满分12分）设p:实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >,命题:q 实数x 满足
2
2
60,
280.
x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩．求（1）若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围．
21．（本小题满分13分）
已知函数3
()31f x x ax =--在1x =-处取得极值． （Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）当[2,1]x ∈-时，求函数()f x 的值域.
的取值范围。
试求）若（的单调性
）判断函数（的值）求（题：根据上述条件求下列问恒成立时，满足任意正实数为任意正实数，
其中）函数满足）上的，分）定义在（本小题x x f x f x f f f y f x f y x y x y x y x y f x f xy f f x f ,2)3()(3)(2)4(),1(10))()()((,)3(,),()()()2(;1)2(1(:)(014.(22≤-+>--≠+==∞+
23.（本小题满分16分）
已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).a
g x a x
+=-
∈ （1）若1a =，求函数()f x 的极值；
（2）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； (3)若在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立， 求a 的取值范围.（e 2.718...=）。