自动控制原理3第五节稳定性和代数稳定判据

项系数an1 至最后一项系数 a0 ，在主对角线以下各行中各项系数 下标逐次增加，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次减小。
当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。
20
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
2
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的定义和定理
定义1：对于线性定常系统，在任何一组初始条件下，若输入
x(t)=0，当t→∞时，系统的输出及其各阶导数为零，即
lim y(t) lim y(t) ... lim y(n1)(t) 0
t
t
t
则称该系统为渐近稳定的。
定义2：对于线性定常系统在零初始条件下，加入一个有界的输
4
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 ... a1s a0
n1
n2
(s p j ) (s2 2 kk k2 )
❖且 a1a2 a3a0 0
15
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
劳斯判据特殊情况
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统 不稳定。表示s右半平面上有极点，右极点个数等于劳斯阵列 第一列系数符号改变的次数。
an an2 an4 an6 ... 0 0
0
赫尔维茨行列式： 0
an1 an3 an5 ... 0 0 an an2 an4 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... a1 0
0 0 0 0 ... a2 a0 n n
赫尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二
例如: 1 s5 2s4 24 s3 48s2 25s 50 (s2 1)( s2 25)( s 2) 2 s4 4 (s 1 j)( s 1 j)( s 1 j)( s 1 j)
[处理办法]：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，将 此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等， 位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为 偶次数的。
j1
k 1
n1
aj
j1 s p j
n2 k 1
bk (s
kk ) ckk 1 k 2 s2 2 kk s k2
时域表达式为：
n1
n2
n2
y2(t)
a jepjt
bkekkt cosk
1
2 k
t
ckekkt sink
j1
k 1
k 1
线性定常系统稳定的充要条件：
1
2 k
t
稳定的充要条件和属性
Y1(s)
bmsm bm1sm1 ... b1s b0 sn an1sn1 ... a1s a0
X (s)
(s)X (s)
m
kg (s zi )
(s) n1
i1 n2
(s p j ) (s2 2 kk s k2 )
j1
k 1
n1 2n2 n，m n
Y (s)
bmsm bm1sm1 ... b1s b0 sn an1sn1 ... a1s a0
X (s)
系数取决于初始条件的多项式 sn an1sn1 ... a1s a0
y(t) y1(t) y2(t)
上式右边第一项为零状态解，对应与由输入引起的响应过程。
第二项为零输入解，对应于由初始状态引起的响应过程。
b1c4 c1
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
劳斯判据例子
[例]：特征方程为：a3s3 a2s2 a1s a0 0 ，试判断稳定性。
[解]：劳斯阵为： s3 a3
a1
s 2 a2
a0
s1 a2a1 a3a0 0 a2
s0 a0
0
稳定的充要条件为：
❖ a3, a2 , a1, a0 均大于零
构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与闭
环极点有关，与零点无关。
对于一阶系统，a1s
系统是稳定的。
a0
0,
s
a0 a1
,
只要
a0 , a1 都大于零，
对于二阶系统，a2s2 a1s a0 0, s1,2 a1
a12 4a2a0 2a2
只有 a0 , a1, a2 都大于零，系统才稳定。(负实根或实部为负)
对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。
11
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
劳斯判据
二、 劳思—赫尔维茨稳定性判据
（一）、劳思判据
设线性系统的特征方程为
ansn an1sn1 ... a1s a0 0
则该系统稳定的充要条件为：
特征方程的全部系数为正值；
s4 1
1
1
s3 2
2
s2 00 1 1 s1 2 2 s0 11
令 0 则 2 2 故第
一列不全为正，系统不稳定， s右半平面有两个极点。
17
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
劳斯判据特殊情况
劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等 而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大 小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚 轴的两对共轭复根。
）
s0 5 0 0
16
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
劳斯判据特殊情况
劳思阵某一行第一列系数为零，而其余系数不全为零。
[处理办法]：用很小的正数代替零的那一项，然后据此计算出 劳斯阵列中的其他项。若第一列零(即)的项与其上项或下项的 符号相反，计作一次符号变化。
[例] s4 2s3 s2 2s 1 0
b1
b1
...
an1 an5
... c2
b1
b3 b1an5 b3an1
b1
b1
an1 an7
c3
b1
b4 b1an7 b4an1
b1
b1
d1
c1b2
b1c2 c1
d2
c1b3 b1c3 c1
依次类推。可求得 ei , fi, gi,...( i 1,2,...)
14
d3
c1b4
系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具
有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面 的左半开平面。
5
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
对有界输入—有界输出稳定系统可看作当输 入有界(如阶跃输入)时，第一项在足够长的时间 内输出有界并趋于有限值。
6
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
an1
an1
13
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
sn an an2 an4 an6
s n1 an1 an3 an5 an7
sn2 b1
b2
b3
b4
sn3 c1
c2
c3
c4
sn4 d1
d2
d3
d4
...
s1 f1 s0 g1
劳斯判据
...
an1 an3
... c1 ...
b1
b2 b1an3 b2an1
由特征方程系数组成的劳思阵的第一列也为正。
sn an
an2 an4 ...
sn1 an1 an3 an5 ...
sn2 b1
b2
b3
...
sn3 c1
c2
c3
...
sn4 d1
d2
d3
...
... ... ...
s1 f1
s0
12
g1
劳思阵的前两行由特征方程的 系数组成。
第一行为1，3，5，…项系数组 成，
入，总引起一个有界的输出，则称该系统为有界输入——有界 输出稳定系统。即当 y(0) y(0) ... y(n1)(0) 0 时，
如果 x(t) K1 则 y(t) K2
0t
0t
3
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
设系统或元件的微分方程为：
稳定的充要条件和属性
y(n) (t) an1 y(n1) (t) ... a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) ... b0 x(t)
s2 3 8 s1 1
3 s0 8
辅助方程为：s4 6s2 8 0 ， 求导得：4s3 12s 0 ， 或 s3 3s 0 ，用1，3，0代
替全零行即可。
从第一列都大于零可见，好象系统是稳定的。注意此时还要 计算大小相等位置径向相反的根再来判稳。由辅助方程求得：
(s2 2)(s2 4) 0 , s1,2 j 2 , s3,4 j2
ck e kkt sin
1
2 k
k
t
k 1
k 1
8
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
定理1：线性定常系统渐近稳定的充要条件为系统的全部 特征根都位于s左半开平面，即系统的特征方程的根 全为负实数或具有负实部的共轭复根。
定理2：线性定常系统为有界输入——有界输出稳定系统 的充要条件为系统的全部极点都位于s左半开平面。
18
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
[例]： s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
劳斯判据特殊情况
s 6 1 8 20 16 s5 2 12 16 0 s 4 2 12 16 0
s3 s2 s1 s0
s 6 1 8 20 16 s5 1 6 8 s4 1 6 8
s 3 10 03 0
an6 an7 b4 c4 d4
... ...
an an2
b1
an1 an3 an1
an1an2 anan3 an1
...
...
an an4
... b2
an1 an5 an1an4 anan5
an1
an1
s1 f1 s0 g1
an an6
b3
an1 an7 an1an6 anan7
此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。
19
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
（二）、赫尔维茨判据
胡尔维茨判据
设系统的特征方程式为：ansn an1sn1 ... a1s a0 0
则系统稳定的充要条件是：an 0，且由特征方程系数构成的赫
尔维茨行列式的主子行列式全部为正。
an1 an3 an5 an7 ... 0 0
第五节 系统的稳定性和代数稳定判据
1
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的充要条件和属性
一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
如果特征方程中有一对共轭虚根，它对应于等幅的周期振荡，
称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。
从控制工程的角度认为临界稳定 状态和随遇平衡状态属于不稳定。
I m S平面
稳 定
临 界
不 稳 Re
区稳定
定区
10
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
充要条件说明
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结
其单位阶跃响应函数为：
Y1(s)
(s) 1 s
a0 s
n1 j 1
aj s pj
n2 bk (s kk ) ckk
1
2 k
k 1
s2 2 kk s k2
t0
7
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
时域表达式为：
c(t) a0 n1 a jepjt
j1
n2
n2
bke kkt cos 1 k2kt
第二行为2，4，6，…项系数组 成。
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
以下各项的计算式为：
劳斯判据
由该项元素前两行的第一列和后一列构成的行列式取负值再除
以上一行第一n4 d1 ...
an2 an3 b2 c2 d2 ...
an4 an5 b3 c3 d3
[例]：系统的特征方程为： s5 2s4 s3 3s2 4s 5 0
s5 1 1 4
劳斯阵第一列有负数，系
s4 2 3 5
统是不稳定的。其符号变
s3 －01.5 31.5 00 -1 3 0（×2） 化两次，表示有两个极点
s2 9 5 0
在s的右半平面。
s1
32
19
00
00
1
0
0（
9 32
式中：x(t)—输入，y(t)—输出 ai ,(i 0 ~ n 1);bj , j 0 ~ m) 为常系数。将上式求拉氏变化，得(初始值不全为零）
(sn an1sn1 ... a1s a0 )Y (s) (bmsm bm1sm1 ... b1s b0 ) X (s)
+系数取决于初始条件的多项式
9
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
充要条件说明
如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间
单调增长；
如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是
发散的周期振荡。
上述两种情况下系统是不稳定的。
如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统
可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；