系统的稳定性nyquist判据以及bode判据

L)
正幅值裕度
L)
负幅值裕度
c

Kg
故在BodeK图g 中，相角裕度
c
表现为 L(ω)=0dB处的相
角Φ(ωc)与-180度水平线
)
之)间的角度差。
-

g
正相位裕度
-
g
负相位裕度

L) Im
正幅值裕度
负相位裕度
c


1
Kg
Re
-1

Re
G(j)
)
不能超过2。
s
第 四 节 系 统 的 相 对 稳 定 性
s
第 四 节 系 统 的 相 对 稳 定 性
s
第 四 节 系 统 的 相 对 稳 定 性
s
第 四 节 系 统 的 相 对 稳 定 性
激光外科手 术控制系统 的Bode图

0
0
I II
Kg相同但稳定程度不同的两 条开环Nyquist曲线
它们具有相同的幅值裕度，但
Re 系统I的稳定性不如系统II的稳
定性。因此需要增加稳定性的 性能指标，即相位裕度
2. 相位裕度
定义为π加上Nyquist曲线上幅值为1这一点的相角 ，此 时ω=ωc 称为幅值穿越频率。
c
(c )
闭环系统稳定的充要条件是，当 从0变到
﹢∞时，在[GH]平面上系统的开环频率特性逆 时针包围（-1，j0）点N 圈 ,
计算Z=P-2N，若Z=0 说明闭环特征根不在复平 面右半侧，则系统稳定
若Z≠0，说明闭环系统有Z个特征根在复平面右 半侧，系统不稳定。
例：已知系统开环传递函数
G(s)H (s)
A(0) 20,(0) 0
A() 0,() 270
系统是否稳定？ P=? N=?
右半侧极点数为0 P=0
逆时针绕（-1，j0） 圈数为-1圈 N=-1
Z=P-2N =2 系统有两个 特征根在复平面右半侧
s
Nyquist稳定判据
Nyquist稳定判据
3
s
第 三 节 乃 奎 斯 特 稳 定 判 据
20
(s 1)(2s 1)(5s 1)
应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性
解：G( j)H ( j)
20
( j 1)( j2 1)( j5 1)
A()
20
(1 2 )(1 42 )(1 252 )
() arctg arctg 2 arctg5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s
N=0 P=1 Z=P-2N=1 闭环系统有1个右 半平面的特征根
具有单位反馈的非最小相位系统 G(s) K /(Ts 1)
试分析闭环系统的稳定性。
P=? N=?
右半侧极点数为1 P=1 逆时针绕（-1，j0） 圈数与K有关
j Im
解：（1）绘制奈氏曲线
G( j) K /( jT 1) K 1 jT 1 T 2 2
Kg

1
G( j g )H ( j g )
ω=ωg 称为相位穿越频率。 Kg含义：如果系统的开环传递函数增益增大到原来 的Kg倍，则系统处于临界稳定状态。
Im
正幅值裕度
1
Kg
1
正 -1
相

位
裕
度
G(j)
Im 稳定系统
负1 相位1裕度
Kg

Re
-1

G(j)
1
Kg
负幅值裕度
Im
(-1,j0)
半正负穿越 若对数相频特性曲线自－180°线向上，为半 次正穿越；反之，为半次负穿越。
当开环传递函数包括积分环节时，在对数相频特性上要补画
0 0 这一段频率变化范围的相角变化曲线。 G( j0 )H ( j0 ) 90o
例如
G(s)H (s)
K
s 2 (Ts 1)
面上系统的开环频率特性逆时针包围（-1，j0 ）点N 圈 , 1）若N=P，则该闭环系统稳定 2）若N≠P, 则该闭环系统不稳定，闭环系统在 复平面右侧的根的个数由Z=P-N来确定。
Gs H(s)
2
(s 1)(2s 1)
G j H ( j)
2

2
arctan arctan 2
N 1 N 1 N N N 0
Z P 2N 0
闭环系统稳定 。
已知P=1 ，在L(ω)≥0时 相频曲线有一次从负到正 穿越-π线
N 1/ 2
Z P 2N 0
闭环系统稳定 。
已知P=2, 在L(ω)≥0的范 围内,
N 2 N 1
N N N 2 11
G j H ( j)
2

2
arctan arctan 2
( j 1)(2 j 1) 1 2 1 42
系统是否 稳定？
sNyquist稳定判据
Nyquist稳定判据 定义P为开环传递函数在复平面右侧的极点个数。
闭环系统，当 从-∞变到﹢∞时，在[GH]平
相位裕度的含义为：如果系统幅值穿越频率ωc信号的相位
迟后再增大 度，则系统处于临界稳定状态，这个迟后 角称为相位裕度。
Im
正幅值裕度
1
Kg
1
正 -1
相

位
裕
度
G(j)
Im
负相位(裕度c )

Re
-1

G(j)
1
Kg
负幅值裕度
由于 L(c ) 20 lg A(c ) 20 lg1 0
试用Nyquist判据判定系统的稳定性。
解 系统的开环幅相曲线如图所示。
Im
(-1,j0)
从Nyquist曲线上看到，曲线顺时 针包围(-1,j0)点一圈， 即N= -1， 而开环传递函数在s右半平面的极 点数P=0，因此闭环特征方程正 Re 实部根的个数
M P 2N 2
故系统不稳定。
Im
(-) (+) (-1,j0)
CB
A
Re
)


-
(-)
(+)
N N N 11 0
s
正负穿越的概念
正负穿越
在系统频率特性的Bode图上，在开环对数 频率特性为正值的频率范围内，沿着ω增加 的方向，对数相频特性曲线自下而上穿越－ 180°线称为正穿越；反之，沿着ω增加的 方向，对数相频特性曲线自上而下穿越－ 180°线为负穿越。
频曲线与-π线的正负穿越之差N = N+-N-来确定, 即
Z P 2N
若Z=0，则闭环系统稳定， 则闭环系统不稳定
Z 0 Z为闭环特征方程正实部根的个数。
例：如图5-17所示的四种开环Bode曲线，试用Nyquist稳 定性判据, 判断系统的稳定性。
已知P=0，在L(ω)≥0的范围内，
K
0

0

Re

K>1曲线包围 （-1，j0）一圈 N=1 P=N K<1,曲线不包围 （-1，j0），N=0 P≠N,系统不稳定 K=1曲线穿过（-1，j0）系统临界稳定。
G j H ( jw)
2
jw( jw 1)(2 jw 1)
稳定吗？
补画一条半径为无穷大，逆时针方向绕行 90o 的
不稳定系统
1
Kg
负幅值裕度
-

g
1
0 1 正相位裕度
Kg
L)
负幅值裕度
Kg c
)
-
g
负相位裕度

s
第
四
节
【应用点评】影响系统稳定性的主要因素
系
统
的 相
1 影响因素
对
稳
定
性
系统开
由Nyquist稳定判据或对Bode
环增益
稳定判据可知，降低系统开环
增益，可增加系统的幅值裕度
N N 1 , Z P 2N 2
系统闭环不稳定。
1/T
0

1 0
0 0
0 180
Bode图上的稳定性判据可定义为 一个反馈控制系统, 其闭环特征方程正实部根的个数
为Z，可以根据开环传递函数s右半平面极点的个数P和 开环对数幅频特性大于0dB的所有频率范围内，对数相
闭环系统不稳定。
用在 (,1) 区间，奈氏曲线的正、负穿越 的次数来确定 N
N N N
()
()
() 1
若轨迹终止于（-1，j0） 左侧负轴上，则为半次 穿越
1 () 2
() 1
s
s
Nyquist曲线
例
一个单位反馈系统，开环传递函数为
G(s) K s2 (Ts 1)
( j 1)(2 j 1) 1 2 1 42
系统是否稳定？
P=? N=?
右半侧极点数为0 P=0
逆时针绕（-1，j0） 圈数为0圈 N=0 P=N 系统稳定 Z=P-N =0 系统没有特 征根在复平面右半侧
sNyquist稳定判据
Nyquist稳定判据 定义P为开环传递函数在复平面右侧的极点个数。
和相位裕度，从而提高系统的
相对稳定性。这是提高相对稳
定性的最简便方法。
s
第 四 节 系 统 的 相 对 稳 定 性
【应用点评】影响系统稳定性的主要因素
2
影响因素
积分
由系统的相对稳定性要求
环节
可知，I型系统的稳定性好
，Ⅱ型系统稳定性较差，