1.3 集合的基本运算 第二课时 补 集

[方法技巧] 解决集合运算问题的方法
(1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如 下口诀进行：
交集元素仔细找，属于 A 且属于 B； 并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一； 全集 U 是大范围，去掉 U 中 A 元素，剩余元素成补集． (2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁ UA)∩B 时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出 A∪B，再求 补集． (3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别 得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)， 则可运用数轴求解．
[解] (1)由 A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|0＜x＋1≤4}＝{x|－1＜x≤3}， P＝{x|x≤0 或 x≥5}，
将集合 A，B，P 分别表示在数轴上，如图所示．
∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}． ∁UB＝{x|x≤－1 或 x＞3}． (2)(A∩B)∪(∁UP)＝{x|－1＜x＜2}∪{x|0＜x＜5}＝{x|－1＜x＜5}．
()
(2)在全集 U 中存在某个元素 x0，既有 x0∉A，又有 x0∉∁UA. ( )
(3)根据研究问题的不同，可以指定不同的全集．
()
(4)一个集合的补集中一定含有元素．
()
(5)研究 A 在 U 中的补集时，A 可以不是 U 的子集．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．设集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁UM＝
[解析] (1)借助数轴易得∁UA＝{x∈R |0＜x≤2}．
故选 C. (2)法一：在集合 U 中， 因为 x∈Z ，则 x 的值为－5，－4，－3,3,4,5， 所以 U＝{－5，－4，－3,3,4,5}． 又 A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，B＝{－3,3,4}， 所以∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．
题型二 集合的交、并、补集的综合运算 [探究发现] 某校国际班有 36 名学生，会讲英语的有 24 人，会讲日语的有 16 人，
既会讲英语又会讲日语的有 10 人． 问题：(1)如何求既不会讲英语又不会讲日语的人数？ (2)求集合的交集、并集、补集的一般方法是什么？有哪些注意点？
提示：(1)设 U＝{该班 36 名学生}，A＝{会讲英语的学生}，B＝{会 讲日语的学生}．
由 Venn 图知，既不会讲英语又不会讲日语的学生 有：36－14－10－6＝6(人)．
(2)求集合的交集、并集、补集的一般方法是定义法． 同时要注意以下两点： ①当集合是用列举法表示时，可借助 Venn 图． ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴．
[学透用活] [典例 2] 已知全集 U＝R ，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|0＜x＋1≤4}， P＝{x|x≤0 或 x≥5}． (1)求 A∩B，∁UB； (2)(A∩B)∪(∁UP)．
A．{2,4,6}
B．{1,3,5}
C．{1,2,4} 答案：A
D．U
()
3．已知 U＝R ，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x＜3 或 x＞4}，则 ab＝________. 解析：因为 A∪(∁UA)＝R ，A∩(∁UA)＝∅，所以 a＝3，b＝4，所以 ab
＝12. 答案：12
题型一 补集的运算 [学透用活]
法二：可用 Venn 图表示：
则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}． [答案] (1)C (2){－5，－4,3,4} {－5，－4,5}
[方法技巧] 求解补集的方法
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，再 结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借 助 Venn 图来求解．这样处理起来比较直观、形象且解答时不易出错．
解：设全集 U＝{某班 26 名同学}，集合 A＝{数学取得优秀的同学}， 集合 B＝{英语取得优秀的同学}． 设任意集合 X 中的元素个数为 card(X)， 则 card(U)＝26，card(A∩B)＝8，card[A∩ (∁UB)]＝12，card[B∩ (∁UA)] ＝4. 数学取得优秀的有 card(A)＝card(A∩B)＋card[A∩ (∁UB)]＝8＋12＝20(人)． 英语取得优秀的有 card(B)＝card(A∩B)＋card[B∩ (∁UA)]＝8＋4＝12(人)． 两科均未取得优秀的有 card[∁U(A∪B)]＝card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)＝26－20 －12＋8＝2(人)．
集 U＝P，A，B 不变．求 A∪(∁UB)． 解：∵∁UB＝∁PB＝{x|x≤－1 或 3＜x≤5}， ∴A∪(∁UB)＝{x|－4≤x＜2}∪{x|x≤－1 或 3＜x≤5}＝{x|x＜2 或 3＜ x≤5}．
题型三 与补集有关的参数值(范围)问题 [学透用活]
[典例 3] 已知全集 U＝R ，设集合 A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}．
二、应用性——强调学以致用 2．某班共有 26 名同学参加了学校组织的数学、英语两科竞赛，其中两
科都取得优秀的有 8 人，数学取得优秀但英语未取得优秀的有 12 人， 英语取得优秀而数学未取得优秀的有 4 人，试求出数学取得优秀的人 数、英语取得优秀的人数及两科均未取得优秀的人数． [析题建模] 将本问题转化为纯数学问题：设全集 U＝{某班 26 名同 学}，集合 A＝{数学取得优秀的同学}，集合 B＝{英语取得优秀的同 学}，且 card(A)表示 A 中元素个数．
三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．[好题共享——选自苏教版新教材]我们知道，如果集合 A⊆S，那么 S
的子集 A 的补集为∁SA＝{x|x∈S，且 x∉A}．类似地，对于集合 A，B， 我们把集合{x|x∈A，且 x∉B}叫做集合 A 与 B 的差集，记作 A－B.例 如，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，则有 A－B＝{1,2,3}，B－A＝{6,7,8}． 据此，试回答下列问题： (1)S 是高一(1)班全体同学的集合，A 是高一(1)班全体女同学的集合， 求 S－A 及∁SA； (2)在下列各图中用阴影表示集合 A－B；
②若 B≠∅，则由 B⊆∁R A，
得 2a≥－1 且 2a＜a＋3，即－12≤a＜3.
综上可得，实数 a 的取值范围是aa≥－12
.
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．设全集 U＝R ，集合 A＝{x|－5＜x＜4}，集合 B＝{x|x＜－6 或 x＞1}，
集合 C＝{x|x－m＜0}，求实数 m 的取值范围，使其同时满足下列两 个条件． ①C⊇(A∩B)；②C⊇(∁UA)∩(∁UB)．
[典例 1] (1)若全集 U＝{x∈R |－2≤x≤2}，则集合 A＝{x∈R |－
2≤x≤0}的补集∁UA 为 A．{x∈R |0＜x＜2}
B．{x∈R |0≤x＜2}
()
C．{x∈R |0＜x≤2}
D．{x∈R |0≤x≤2}
(2)设 U＝{x|－5≤x＜－2，或 2＜x≤5，x∈Z }，A＝{x|x2－2x－15 ＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁UA＝________.∁UB＝________.
解：(1)把集合 A 表示在数轴上，如图所示，
根据补集定义可得∁UA＝{x|x＜－3 或 x≥1}． (2)把集合 U 和 A 表示在数轴上，如图所示，
根据补集定义可得∁UA＝{x|x＜－3 或 1≤x≤5}． (3)把集合 U 和 A 表示在数轴上，如图所示，
根据补集定义可得∁UA＝{x|－5≤x＜－3 或 x＝1}．
[方法技巧] 由集合的补集求解参数的方法
(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义 并结合集合知识求解．
(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限 个时，一般利用数轴分析法求解．
[对点练清]
1．已知全集 U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数 a 等
数范围内解不等式，全集为实数集 R ；在整数范围内解不等式，全集为
整数集 Z .
2．补集
对于一个集合 A，由全集 U 中_不__属__于_集合 A 的所有元
文字语言 素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称 为集合 A 的补集，记作__∁_U_A____
符号语言
∁UA＝__{x_|_x_∈__U_，__且___x_∉_A_}__
1.3 集合的基本运算
第二课时 补集
(一)教材梳理填空 1．全集
(1)定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的_所_有元素， 那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作_U_. [微思考] 数集问题的全集一定是实数集 R 吗？ 提示：全集是一个相对概念，会因研究问题的不同而变化．如在实
图形语言
3．补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝_U__. (2)A∩(∁UA)＝_∅_. (3)∁UU＝_∅_，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝_A_. (4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)． (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)wenku.baidu.com集一定含有任何元素．
[对点练清] 1．[变设问]在本例的条件下，求(∁UA)∩(∁UP)．
解：∁UA＝{x|x＜－4 或 x≥2}，∁UP＝{x|0＜x＜5}，画出数轴，如图．
观察数轴可知，(∁UA)∩(∁UP)＝{x|2≤x＜5}． 2．[变条件]将本例中的集合 P＝{x|x≤0 或 x≥5}改为 P＝{x|x≤5}．且全
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，先把已知集合及全集分 别表示在数轴上，再根据补集的定义求解，这样处理比较直观，解答过 程中注意端点值能否取到．
[对点练清] 若集合 A＝{x|－3≤x＜1}，当 U 分别取下列集合时，求∁UA. (1)U＝R ； (2)U＝{x|x≤5}； (3)U＝{x|－5≤x≤1}．
于
()
A．0 或 2
B．0
C．1 或 2
D．2
解析：由题意，知aa2＝－22，a＋3＝3， ∴a＝2.故选 D.
答案：D
2．已知全集 U＝R ，集合 A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且 B⊆∁
R A，求实数 a 的取值范围． 解：由题意得∁R A＝{x|x≥－1}，
①若 B＝∅，则 a＋3≤2a，即 a≥3，满足 B⊆∁R A；
解：因为 A＝{x|－5＜x＜4}，B＝{x|x＜－6 或 x＞1}， 所以 A∩B＝{x|1＜x＜4}． 又∁UA＝{x|x≤－5 或 x≥4}，∁UB＝{x|－6≤x≤1}， 所以(∁UA)∩(∁UB)＝{x|－6≤x≤－5}． 而 C＝{x|x＜m}，因为当 C⊇(A∩B)时，m≥4， 当 C⊇(∁UA)∩(∁UB)时，m＞－5，所以 m≥4. 即实数 m 的取值范围为{m|m≥4}．
(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有 定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的 范围．
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求 集合 A 的补集的前提是 A 为全集 U 的子集，随着所选全集的不同，得到 的补集也是不同的．
(3)符号∁UA 有三层意思： ①A 是 U 的子集，即 A⊆U； ②∁UA 表示一个集合，且(∁UA)⊆U； ③∁UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U， 且 x∉A}． (4)若 x∈U，则 x∈A 或 x∈∁UA，二者必居其一．
(1)若(∁UA)∩B＝∅，求实数 m 的取值范围； (2)若(∁UA)∩B≠∅，求实数 m 的取值范围． [解] (1)由已知 A＝{x|x≥－m}， 得∁UA＝{x|x＜－m}， 因为 B＝{x|－2＜x＜4}，(∁UA)∩B＝∅， 在数轴上表示，如图，
所以－m≤－2，即 m≥2， 所以 m 的取值范围是{m|m≥2}． (2)由已知得 A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x＜－m}， 又(∁UA)∩B≠∅，所以－m＞－2，解得 m＜2. 所以 m 的取值范围是{m|m＜2}．