1.3 集合的基本运算 第二课时 补 集
人教B版高中数学必修第一册1.1.3集合的基本运算---第二课时补集及集合运算的综合课件
( x )
(2)集合∁RA＝∁QA.
( x )
(3)一个集合的补集一定含有元素．
( x )
(4)研究A在U中的补集时，A可以不是U的子集．
( x )
{－1,1}
2．已知全集U＝{－1,0,1}，且∁UA＝{0}，则A＝________.
解析： ∵U＝{－1,0,1}，∁UA＝{0}，∴A＝{－1,1}．
一、自学教材·重视基础
知识点一
全集与补集
(二)基本知能小试
{1,2,3}
3．设全集为U，M＝{1,2}，∁UM＝{3}，则U＝________.
解析：U＝M∪∁UM＝{1,2}∪{3}＝{1,2,3}．
(－∞，1]
4．若集合A＝(1，＋∞)，则∁RA＝___________.
解析：∵A＝(1，＋∞)，∴∁RA＝(－∞，1]．
( B )
( C )
二、提升新知·重视综合
题型二
集合的交、并、补集的综合运算
变式训练
3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＋1＜0}，B＝{x|x－3＜0}，那么集合(∁UA)∩B＝ ( A
A．{x|－1≤x＜3}
B．{x|－1＜x＜3}
C．{x|x＜－1}
D．{x|x＞3}
解析：∵A＝{x|x＋1＜0}＝{x|x＜－1}，B＝{x|x－3＜0}＝{x|x＜3}，∴∁UA＝{x|x≥－1}，
2．已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy＞0}，则∁UA＝_____________.
解析：A＝{(x，y)|xy＞0}表示平面直角坐标系中第一、三象限的点，其补集应为第二、四象限的点
及坐标轴上的点．
1.1.3 集合的基本运算〈第二课时 集合的补集运算〉
解：∵U＝{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}，A∩(∁UB)＝
{5,13,23}，B∩(∁UA)＝{11,19,29}， (∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{3,7}， ∴如图所示，元素2,17应在A∩B中．
∴A＝{2,5,13,17,23}，B＝{2,11,17,19,29}．
第二课时 集合的补集运算
1.1.3 1.1 集 合 集本
第二
预 习 全 程 设 计
课时
集集 合运 的算 补 案 例 全 程 导 航
合运
的算 基
训 练 全 程 跟 踪
1．全集 (1) 定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 所有元素 ，那么称这个集合为全集． (2) 符号表示：通常记作 U . 2．补集 对于一个集合A，由全集U中 不属于集合A 定义 的所有元素组成的集合称为集合A相对于
x 由题意得(30－x)＋(33－x)＋x＋3＋1＝50， 所以 x＝21， x 3＋1＝8，A，B 都赞成的人数为 21 人，对 A，B 都不 赞成的有 8 人．
则a＋1＞5， ∴a＞4， ∴实数a的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
向 50 名学生调查对 A， 两事件的态度有如下结果： B 3 赞成 A 的人数是全体人数的5，其余的不赞成；赞成 B 的 比赞成 A 的多 3 人，其余的不赞成，另外对 A，B 都不赞 1 成的学生人数比对 A， 都赞成的学生人数的3多 1 人， B 求 对 A，B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人．
[提示] 可以借助Venn图辅助求解，结合已知条件明确一
些元素的分布区域，再结合方程的根求解．
[解] ∵U＝{1,2,3,4,5}，(∁UA)∪B＝{1,3,4,5}， ∴2∈A，又A＝{x|x2－5x＋m＝0}， ∴2是关于x的方程x2－5x＋m＝0的一个根，
1.1.3 集合的补集
新知导学 1．全集
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉 定义 及的_所__有__元__素___，那么就称这个集合为全集
记法
通常记作 U
图示
• 2.补集
文字 语言
符号 语言
对于一个集合A，由全集U中__不__属__于__集合A的所有 元素组成的集合称为集合A相对于__全__集__U_的补集， 简称为集合A的补集，记作___∁_U_A
第一章
1.1.3 集合的基本运算
第二课时补集
●课标展示
1．了解全集、补集的意义． 2．含正义确. 理解补集的概念，正确理解符号“∁UA”的 3．会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决
一些具体问题．
●温故知新：旧知再现
1．若A⊆B，则A∪B＝_____，A∩B＝____. 2．若A∩B＝B则B____A，若A∪B＝B则A____B. 3．若A∪B＝A∩B，则A____B. 4.满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是
[解析] (1)由图知，∵∁UA＝{2,4,6,7,9}，∁UB＝{0,1,3,7,9}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{7,9}．
(2)如图，
•
规律总结：求集合交、并、补运算的方法
2
• (1)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4＝( )
• A．{1,4,5,6} B．{1,5} • C．{4} D．{1,2,3,4,5} • (2)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则
• (2)在解答有关集合补集运算时，如果所给集
合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合
及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集
的定义求解，
1.3集合的基本运算——补集课件(人教版)
2．已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x< －1}，B＝{x|－1≤x≤1}，求∁UA，∁UB，(∁UA)∩(∁UB)，
(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∩B)，∁U(A∪B)．
解：在数轴上将各集合标出，如图．
典例剖析
题型一 补集的运算 【例1】 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝
{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，求集合B.
解：解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}， 又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7} 解法二：借助Venn图，如图所示，
2．怎样理解全集与补集的概念？符号∁UA的含 义是什么？
答：(1)全集只是一个相对的概念，只包含所研 究问题中所涉及的所有元素，补集只相对于相应的
全集而言．
(2)同一个集合在不同的全集中补集不同；不同 的集合在同一个全集中的补集也不同．
(3)符号∁UA包含三层意思： ①A⊆U；②∁UA表示一个集合，且∁UA⊆U； ③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
由图可知B＝{2,3,5,7}．
点评：根据补集定义，借助Venn图，可直观地 求出补集，此类问题，当集合中元素个数较少时， 可借助Venn图；当集合中元素无限多时，可借助数 轴，利用数轴分析法求解．
1．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－ 3<x≤2}． (1)求∁UA，∁UB；
(2)判断∁UA与∁UB的关系．
解：(1)∵A＝{x|x≥－3}，
∴∁UA＝∁RA＝{x|x<－3}． 又∵B＝{x|－3<x≤2}，
人教B版高中数学必修一 《集合的基本运算》集合与常用逻辑用语(第2课时全集、补集及综合应用)
解析：选 D.由题意，知aa＝2－22，a＋3＝3，得 a＝2.
4．设全集为 R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B) 及(∁RA)∩B. 解：把集合 A，B 在数轴上表示如图，
由图知，A∪B＝{x|2<x<10}， 所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2 或 x≥10}， 因为∁RA＝{x|x<3 或 x≥7}， 所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3 或 7≤x<10}．
1．已知全集 U＝{1，2，3，4，5，6}，集合 P＝{1，3，5}，Q
＝{1，2，4}，则(∁UP)∪Q＝( )
A．{1}
B．{3，5}
C．{1，2，4，6}
D．{1，2，3，4，5}
解析：选 C.由题意得，∁UP＝{2，4，6}， 所以(∁UP)∪Q＝{1，2，4，6}． 故选 C.
2．设全集 U＝R，区间 A＝(0，＋∞)，B＝(1，＋∞)，则
15＝0}，B＝{－3，3，4}，则∁UA＝________，∁UB＝________．
【解析】 (1)借助数轴易得∁UA＝(0，2]．
(2)法一：在集合 U 中， 因为 x∈Z，则 x 的值为－5，－4，－3，3，4，5，所以 U＝ {－5，－4，－3，3，4，5}． 又 A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}， 所以∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}．
A∩(∁UB)＝( )
A．[0，1)
B．(0，1]
C．(－∞，0)
D．(1，＋∞)
解析：选 B.因为∁UB＝(－∞，1]， 所a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，
则实数 a 等于( )
1.3集合的基本运算(第2课时集合的补集)课件(人教版)
随堂练习
5、集合M,N,P为全集U的子集,且满足M⊆P⊆N,则下列结 论不正确的是( )
A.∁UN⊆∁UP C.(∁UP)∩M=
B.∁NP⊆∁NM
概念透析
问题1：用自己的话概括全集、补集的概念
一．全集
文字语言 记法
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有
元素，那么就称这个集合为_全__集___
通常记作__U__
图示
注意： 通常也把给定的集合称为全集
概念透析
问题1：用自己的话概括全集、补集的概念
二．补集
文字语言 符号语言
对于一个集合 A，由全集 U 中_不__属__于_集合 A 的所有元素组成的集合称为 集合 A 相对于全__集__U__的补集，简称为集合 A 的补集，记作__∁_U_A__
解析:(1)法一(定义法) 因为A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6}, 所以U={1,2,3,4,5,6,7}. 又∁UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.
概念辨析
法二(Venn 图法) 满足题意的 Venn 图如图所示.
由图可知 B={2,3,5,7}.
概念辨析
(2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则∁UA= {x|x<-3或x=5.}
随堂练习
2.已知全集为N,集合A={2,5},B={2,3,4},则图中阴影部分
所表示的集合是( )
A.{5} C.{2}
√BD..{{32,,43},4,5}
集合的基本运算(第2课时 全集与补集)-高一数学同步优品讲练课件(人教A版2019必修第一册)
因为 B = {−1,0,1,2,3} ，
所以 ∁R A ∩ B = {−1,2,3} ，故选C.
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方法总结 解决集合的混合运算问题时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限
混合运算可借助 Venn 图求解，与不等式有关的集合运算可借助数轴求解.
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巩固训练
1.若全集 U = {1,2,3,4} ，集合 M = {1,2} ， N = {2,3} ，则 M ∪ ∁U N = (
A. {1,2,3}
B. {2}
C. {1,3,4}
1
@
D ).
D. {4}
[解析] ∵集合 M = {1,2} ， N = {2,3} ， ∴ M ∪ N = {1,2,3} ，又全集 U = {1,2,3,4} ，∴
∁U M ∪ N = {4} .故选D.
{1,2,3}
4.设全集为 U ， M = {1,2} ， ∁U M = {3} ，则 U = _________.
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
榆次一中 数学教研组
课时2 全集与补集
学习目标
1.理解全集、补集的概念.（数学抽象）
2.准确使用补集符号和 Venn 图.（直观想象）
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3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题.（数学运算）
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自主预习·悟新知
合作探究·提素养
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[答案] 在有理数范围内的解是 {2} ，在无理数范围内的解是 {2, 3, − 3} .
课件3：1.1.3第2课时 补集及综合应用
CUB={1,2,7,8} .
例题讲解
例2 设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角 形},B={x|x是钝角三角形},求A∩B，CU(A∪B). 解:根据三角形的分类可知：A∩B=φ,
A∪B= ={x|x是锐角三角形或钝角三角形},
记作 A∩B
读作 A交 B 即 A∩B={x x∈A,且x∈B}
A
B
Venn图
A∩B
复习回顾
性质 ⑴ A∩A = A A∩φ = φ
A∩B = B∩A ⑵ A∪A = A A∪φ = A
A∪B = B∪A
新知探究
全集 一般地，如果一个集合 中含有我们所要研究 问题中的全部元素， 我们把它叫做全集. 补集 一般地，设S是一个集合，A是S中的一个子集， 即 AS ，则由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做
成的集合
符号语言
A∪B＝ ｛x︱xA 或xB ｝
A∩B＝ ｛x︱xA 且xB ｝
图形语言
AB AB
由全集U中不属于集 CUA ＝
补集
CUA
合A的所有元素组成 的集合
｛x︱xU 且xA｝
A U
例题讲解
例1 设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3}
B={3,4,5,6},求CUA，CUB.
答案：U={-1，0，1，2，4} B={1，4}
跟踪训练
1、若U={2，3，4}，A={4，3}，则CUA=_________. 答案：{2} 2.若U={三角形}，A={锐角三角形}，则CUA=_____. 答案：{x|,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}， ∁UA＝{5}，求实数a的值．
全集与补集 课件
课堂笔记
1.全集与补集的互相依存关系 (1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个 相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究 方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异． (2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随 着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的
B．{1,3,5}
D．{2,3,4}
4 .已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a＋3}，且B⊆∁RA，求a的取值范 围． 解析：由题意得∁RA＝{x|x≥－1}． (1)若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA.
1 (2)若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2a<a＋3，即 ≤a<3. 2 1 综上可得a≥ . 2
图形语言
3.常见结论
(1)∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．
(2) 性质： A ∪ ( ∁ UA) ＝ U ， A∩( ∁ UA) ＝ ∅ ， ∁ U( ∁ UA) ＝ A ， ∁ UU ＝ ∅ ， ∁ U ∅ ＝ U ， ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． (3)如图所示的深阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．
人教版
必修一
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算 第二课时 全集与补集
教学目标
1.了解全集、补集的意义． 2.正确理解补集的概念，正确理解符号“∁UA”的涵义． 3.会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题．
高中数学 1.1.3.2补集及集合运算的综合应用课件 新人教A版必修1
，∁RA≠x1x≥0
＝{x|x>0}．
应先求出 A＝{x|x<0}，再求∁RA＝{x|x≥0}．
完整版ppt
19
[典例示法] 例 2 已知全集 U＝{x|x≤4}，集合 A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.
1.题目(1)中的 A 与∁UA 与 U 的关系是怎样的？你能求出 U 中的元素吗？题目(1)可以借助 韦恩图求解？2.题目(2)中借助数轴求∁UA 需注意什么？－3∈∁UA 吗？
提示：1.A∪∁UA＝U，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，可以借助韦恩图求解.2.借助数轴求解时，需注意不等式中 的不等号是否有“＝”，－3∈∁UA.
完整版ppt
11
思考 1 方程(x－2)(x2－3)＝0 的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同？通过这个问题你得 到什么启示？
提示：方程在有理数范围内的解集为{2}，在实数范围内的解集为{2， 3，－ 3}．数学学科中很多问 题都是在某一范围内进行研究的．如本问题中在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的．类似这 些给定的集合就是全集．
完整版ppt
15
【跟踪训练 1】 (1)[2013·重庆高考]已知全集 U＝{1,2,3,4}，集合 A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝
()
A．{1,3,4}
B．B＝{3,a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}∁UA＝{5}，则 a 的值为__2______．
[解析] (1)∵A＝{1,2}，B＝{2,3}， ∴A∪B＝{1,2,3}， ∴∁U(A∪B)＝{4}．
完整版ppt
16
高中数学第一章集合与函数概念1.1.3集合的基本运算第二课时补集及综合应用课件新人教A版必修1
知识探究
1.全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这 个集合为全集.通常记作 U .
2.补集
自然语言 符号语言
不属于集合A
对于一个集合A,由全集U中
的所有
元∁素UA 组{x成|.x的∈集U,合且称x∉为A}集合A相对于全集U的补集,记作
∁UA=
.
图形语言
探究:若集合A是全集U的子集,x∈U,则x与集合A的关系有几种? 答案:若x∈U,则x∈A或x∈∁UA,二者必居其一. 【拓展延伸】 德·摩根定律 设集合U为全集,集合A,B是集合U的子集. (1)如图(1),∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB);
误区警示 (1)利用数轴求集合的交、并、补集运算时需注意点的虚实情况 的变化. (2)通过改变原不等式的不等号方向取补集时,要防止漏解.如 A={x| 1 <0},
x
∁RA≠{x| 1 ≥0}={x|x>0}.应先求出 A={x|x<0},再求∁RA={x|x≥0}. x
即时训练2-1:(1)设全集U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},(∁U A)∩B={4},(∁U A)
当
B={2}时,
a 5
1 a
2, 2,
解得 a=3,综上所述,所求 a 的取值范围为{a|a≥3}.
题型四 易错辨析——概念认识不到位致误
【例4】 设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},∁UA={5},求实数a的值.
错解:因为∁UA={5}, 所以5∈U,且5∉A, 所以a2+2a-3=5,且|2a-1|≠5, 解得a=2或a=-4. 故实数a的值为2或-4. 纠错:以上求解过程忽略了验证“A⊆U”这一隐含条件.
1.3 集合的基本运算(第二课时)课件(共13张PPT)
B) ；(CU A)
(CU B) CU ( A
B) ．
课后练习
1.已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁UB)＝______. 2.设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁UB)＝( )
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
3.设全集U＝R， A＝{x∈R|a≤x≤2}，B＝{x∈R|2x＋1≤x＋3，且3x≥2}. (1)若B⊆A，求实数a的取值范围； (2)若a＝1，求A∪B，(∁UA)∩B.
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算（第二课时）
知识回顾
并集的概念： 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的 元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．记作：A∪B （读作：“A并B”）即： A∪B ={x|x∈A，或x∈ B}．
并集的性质：（1）A∪A=A； （2）A∪ =A；
（3）若A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；（4）若A⊆B，则A∪B=B， 反之也成立．
{x∈Q|(x－2)(x²－3)=0}={2}，在实数范围内有三个解∶2， 3， 3 ， 即{x∈R|(x－2)(x²－3)=0}={2， 3， 3 }．
补集
全集的定义：
一般地，如果一个集合包含有所研究问题中涉及的所有元素，
那么就称这个集合为全集（universe set），通常记作U．
补集的定义： 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
交集的概念：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元 素组成的集合，称为集合A与B的交集．记作：A∩B（读作： “A交B”） 即： A∩B ={ x | x ∈ A ，且 x ∈ B}．
集合的基本运算(第2课时)-【新教材】
解: A∩B 就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛 跑又参加跳高比赛的同学组成的集合
∴A∩B={ x|x是新华中学高一年级中那些既参加百 米赛跑又参加跳高比赛的同学}
四、例题讲解
立德树人 和谐发展
例7 设平面内直线l1上的点的集合为L1，直线l2上的点的
集
合为L2，试用集合的运算表示直线l1、l
3、设全集为R，且A {x | x 2}，B {x | 3 立x德树2人}，和谐发展 求A B，A B， (CR A) B，A ( RB)， R( A B).
解：ðR A { x | x 2}, ðR B { x | x 3或x 2},
A B {x | 2 x 2}, A B {x | x 3},
解： U
A={1,3,6,7},
U
B={2,4,6},
A ( U B)={2,4} ( U A) ( U B)={6}
( U A) ( U B)={1,2,3,4,6,7}
2、设全集U {1,3,5,7}，集合M {1，a 5}，M U，
且ð U
M
{5, 7},则a的值为（
）
A.2 B.8 C. 2 D. 8
四、小结归纳
立德树人 和谐发展
通过本节课的学习,我们主要应掌握好以下知识： 1、全集与补集的概念； 2、利用补集，从对立面去考虑问题.
六、作业
1、（上交作业本B） 课本 P14 习题1.3 第4,6题 2、金版 P14-P16 3、预习 1.4.1充分条件与必要条件
立德树人 和谐发展
3、设集合A {1,4, x}，B {1, x2}，若A B A，
则x ＿0＿或＿＿2 ＿＿.
P44复习参考题A组第5题
四、例题讲解
人教A必修第一册第一章：集合的基本运算-全集与补集
x R x 2 x 3 0 2,
2
3, 3
（2）在有理数范围内解方程： x 2 x 2 3 0.
x Q x 2 x 3 0 2
2
思考：方程相同，为什么结果不同？
1. 全集的概念
概念
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元
求CUA , CUB.
解：依题意可知, U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A={1, 2, 3},
B={3, 4, 5, 6}.
所以 CUA={4, 5, 6, 7, 8}, CUB={1, 2, 7, 8}.
9
练一练
1.U {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A {1, 3, 5}, 则CU A {2, 4, 6}
交的补=补的并
20
归纳
1.补集的概念：Cu A {x | x U , 且x A}
U
A
Cu A
2.方法反思: 连续数集可运用数轴增强直观性，抽象集合或
关系较为复杂，可运用韦恩图的表示方法.
课堂基础练习
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)全集包含任何一个元素．
答案：{2,4,6}
5．设集合 U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,5}，则 A∩(∁UB)
等于________．
解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,5}，∴∁UB＝{1,3,4}．
又 A＝{1,2,3}，∴A∩(∁UB)＝{1,2,3}∩{1,3,4}＝{1,3}．
⊆ B ⟺ ∪ =
典例4
已知U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A={2, 4, 5}, B={1, 3, 5, 7},
第一章 1.3 第二课时 补集
第二课时补集课标要求素养要求1.在具体情境中，了解全集与补集的含义.2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补集、子集等数学对象的一般特征，并学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养.教材知识探究某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}.问题没有获得金奖的学生有哪些？提示没有获得金奖的学生的集合为Q＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}.补集的概念注意补集是相对于全集而言的，没有全集补集就不存在(1)全集：①定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.②记法：全集通常记作U.(2)补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A符号语言 ∁U A ＝{x |x ∈U ，且xA }图形语言[微判断]1.根据研究问题的不同，可以指定不同的全集.(√)2.存在x 0∈U ，x 0A ，且x 0∁U A .(×)提示 要么x 0∈A ，要么x 0∈∁U A ，且有且只有一个成立.3.设全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1x >1，则∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1x ≤1.(×)提示 A ＝{x |0<x <1}，∁U A ＝{x |x ≤0或x ≥1}.4.设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|x >0且y >0}，则∁U A ＝{(x ，y )|x ≤0且y ≤0}.(×)提示 全集U 是由平面直角坐标系内的所有点构成的集合，而集合A 表示第一象限内的点构成的集合，显然所求的∁U A 是错误的. [微训练]1.若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则∁U A ＝________. 解析 由补集的定义，结合数轴可得∁U A ＝{x |x <1}. 答案 {x |x <1}2.设集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则∁U (A ∪B )＝________. 解析 ∵A ∪B ＝{1，2，3，4}，∴∁U (A ∪B )＝{5}. 答案 {5} [微思考]全集是固定不变的吗？提示 全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z 是全集，而在实数范围内研究问题，R 是全集.只讨论大于0小于5的实数，可选{x |0<x <5}为全集.通常也把给定的集合作为全集.题型一 补集的基本运算 利用数轴解题是常见的解题思路 【例1】 (1)设集合U ＝R ，M ＝{x |x >2或x <－2}，则∁U M ＝( ) A.{x |－2≤x ≤2} B.{x |－2<x <2} C.{x |x <－2或x >2}D.{x |x ≤－2或x ≥2}(2)已知全集U ＝{1，2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a ＝________. 解析 (1)如图，在数轴上表示出集合M ，可知∁U M ＝{x |－2≤x ≤2}.(2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，解得a ＝2.答案 (1)A (2)2 规律方法 求补集的方法(1)列举法表示：从全集U 中去掉属于集合A 的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U 中集合A 以外的所有元素组成的集合.【训练1】 (1)已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3<x ≤4}，则∁U A ＝________.(2)设U ＝{0，1，2，3}，A ＝{x |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1，2}，则实数m ＝________. 解析 (1)借助数轴得∁U A ＝{x |x ＝－3或x >4}.(2)∵∁U A ＝{1，2}，∴A ＝{0，3}，∴0，3是方程x 2＋mx ＝0的两个根， ∴m ＝－3.答案 (1){x |x ＝－3或x >4} (2)－3 题型二 集合交、并、补的综合运算【例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B).解利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，如图.则∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}.所以A∩B＝{x|－2<x≤2}；(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}；A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}.规律方法 1.求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.2.求解集合混合运算问题的一般顺序解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分.【训练2】已知集合S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}.求：(1)(∁S A)∩(∁S B)；(2)∁S(A∪B)；(3)(∁S A)∪(∁S B)；(4)∁S(A∩B).通过运算可以得到如下性质吗？(1)(∁S A)∩(∁S B)＝∁S(A∪B)(2)(∁S A)∪(∁S B)＝∁S(A∩B)解(1)如图所示，可得A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}，∁S A＝{x|1<x<2或5≤x≤7}，∁S B ＝{x |1<x <3}∪{7}.由此可得：(1)(∁S A )∩(∁S B )＝{x |1<x <2}∪{7}. (2)∁S (A ∪B )＝{x |1<x <2}∪{7}.(3)(∁S A )∪(∁S B )＝{x |1<x <2或5≤x ≤7}∪{x |1<x <3}∪{7}＝{x |1<x <3或5≤x ≤7}. (4)∁S (A ∩B )＝{x |1<x <3或5≤x ≤7}. 题型三 根据补集的运算求参数的值或范围【探究1】 如果a ∈∁U B ，那么元素a 与集合B 有什么关系？“a ∈(A ∩(∁U B ))”意味着什么？解 如果a ∈∁U B ，那么aB ；“a ∈(A ∩(∁U B ))”意味着a ∈A 且aB .【探究2】 设全集U ＝R ，是否存在元素a ，使得a ∈A 且a ∈∁U A ？若集合A ＝{x |－2<x ≤3}，则∁R A 是什么？解 不存在a ，使得a ∈A 且a ∈∁U A ；若A ＝{x |－2<x ≤3}，则∁R A ＝{x |x ≤－2或x >3}.【探究3】 (1)已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足B ∩(∁U A )＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值； 符号语言转化为自然语言是解题的关键(2)已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1x <2}，且A ∁R B ，求a 的取值范围. 解 (1)∵B ∩(∁U A )＝{2}，∴2∈B ，但2A .∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，但4B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4a ＋12b ＝0，22－2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝87，b ＝－127.∴a ，b 的值分别为87，－127. (2)∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠.∵A ∁R B ，∴分A ＝和A ≠两种情况讨论.①若A ＝，此时有2a －2≥a ，∴a ≥2.②若A ≠，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，2a －2≥2.∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围为{a |a ≤1或a ≥2}. 规律方法 由集合的补集求解参数的方法(1)若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解. (2)若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.【训练3】 设全集U ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|，2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值.解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U ，且5A .∴a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，|2a －1|＝3≠5，此时A ＝{3，2}，U ＝{2，3，5}，符合题意. 当a ＝－4时，|2a －1|＝9，此时A ＝{9，2}，U ＝{2，3，5}， 不满足条件∁U A ＝{5}，故a ＝－4舍去. 综上知a ＝2.一、素养落地1.通过全集与补集概念的学习提升数学抽象素养；通过补集的运算提升数学运算素养.2.补集定义的理解(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R 当作全集. (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想.(3)从符号角度来看，若x∈U，A U，则x∈A和x∈∁U A二者必居其一.3.若集合中元素有无限个时，与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.二、素养训练1.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁U A＝()A.{1，2}B.{3，4，5}C.{1，2，3，4，5}D.解析∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，∴∁U A＝{3，4，5}.答案 B2.设全集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2≤x<5}，则A∩(∁U B)＝()A.{x|1≤x<2}B.{x|x<2}C.{x|x≥5}D.{x|1<x<2}解析∁U B＝{x|x<2或x≥5}，A∩(∁U B)＝{x|1<x<2}.答案 D3.已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，则(∁R A)∩B＝()A.{－2，－1}B.{－2}C.{－1，0，1}D.{0，1}解析因为集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，则(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1，0，1}＝{－2，－1}.答案 A4.已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x<a}，若∁U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.解析∵A＝{x|1≤x<a}，∁U A＝{x|2≤x≤5}，∴A∪(∁U A)＝U＝{x|1≤x≤5}，且A∩(∁U A)＝，因此a＝2.答案 25.已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B).解将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，则∁U A＝{x|－1≤x≤3}；∁U B＝{x|－5≤x<－1或1≤x≤3}；法一(∁U A)∩(∁U B)＝{x|1≤x≤3}.法二∵A∪B＝{x|－5≤x<1}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}.基础达标一、选择题1.若全集U＝{0，1，2，3}且∁U A＝{2}，则集合A的真子集共有()A.3个B.5个C.7个D.8个解析A＝{0，1，3}，真子集有23－1＝7(个).答案 C2.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(∁U B)＝()A.{2，5}B.{3，6}C.{2，5，6}D.{2，3，5，6，8}解析因为∁U B＝{2，5，8}，所以A∩(∁U B)＝{2，5}，故选A.答案 A3.设集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁R B)等于()A.{x|1<x<4}B.{x|3<x<4}C.{x|1<x<3}D.{x|1<x<2}∪{x|3<x<4}解析∵B＝{x|－1≤x≤3}，∴∁R B＝{x|x<－1或x>3}，∴A∩(∁R B)＝{x|1<x<4}∩{x|x<－1或x>3}＝{x|3<x<4}.答案 B4.已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁I M)＝，则M∪N 等于()A.MB.NC.ID.解析如图，因为N∩(∁I M)＝，所以N M，所以M∪N＝M.答案 A5.设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁U A)≠，则()A.k<0或k>3B.2<k<3C.0<k<3D.－1<k<3解析∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1<x<3}.若B∩(∁U A)＝，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，∴若B∩(∁U A)≠，则0<k<3.答案 C二、填空题6.设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为________.解析全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，∵∁U A＝{4，6，7，8}，∴(∁U A)∩B＝{4，6}.答案{4，6}7.已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}，若全集U＝R，且A∁U B，则a的取值范围为________.解析∁U B＝{x|x<a}，如图所示.因为A∁U B，所以a>－2.答案{a|a>－2}8.已知全集U＝{2，3，a2－a－1}，A＝{2，3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________.解析∵U＝{2，3，a2－a－1}，A＝{2，3}，∁U A＝{1}，∴1∈U，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.答案－1或2三、解答题9.设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求：(1)A∩B；(2)∁R A；(3)∁R(A∪B).解(1)∵A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，∴A∩B＝{x|3≤x<7}.(2)∵全集为R，A＝{x|3≤x<7}，∴∁R A＝{x|x<3或x≥7}.(3)∵A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}.10.已知集合A＝{1，3，－x}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得B∪(∁A B)＝A？若存在，求出集合A和B；若不存在，说明理由.解 假设存在x ，使B ∪(∁A B )＝A ，∴B A .(1)若x ＋2＝3，则x ＝1符合题意.(2)若x ＋2＝－x ，则x ＝－1不满足A 或B 中元素的互异性不符合题意.∴存在x ＝1，使B ∪(∁A B )＝A ，此时A ＝{1，3，－1}，B ＝{1，3}.能力提升11.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2或x ≥5}，B ＝{x |x ≤2}.求：(1)∁U (A ∪B )；(2)记∁U (A ∪B )＝D ，C ＝{x |2a －3≤x ≤－a }，且C ∩D ＝C ，求a 的取值范围. 解 (1)由题意知，A ＝{x |x ≤－2或x ≥5}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∪B ＝{x |x ≤2或x ≥5}，又全集U ＝R ，则∁U (A ∪B )＝{x |2<x <5}.(2)由(1)得D ＝{x |2<x <5}，由C ∩D ＝C 得CD . ①当C ＝时，有－a <2a －3，解得a >1；②当C ≠时，有⎩⎪⎨⎪⎧2a －3≤－a ，2a －3>2，－a <5，解得a ∈；综上，a 的取值范围为{a |a >1}.12.已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}.(1)若(∁R A )∪B ＝R ，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a 使(∁R A )∪B ＝R 且A ∩B ＝？解 (1)因为A ＝{x |0≤x ≤2}，所以∁R A ＝{x |x <0或x >2}.因为(∁R A )∪B ＝R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋3≥2，解得－1≤a ≤0.所以a的取值范围为{a|－1≤a≤0}.(2)因为A∩B＝，所以a>2或a＋3<0，解得a>2或a<－3.由(1)知，若(∁R A)∪B＝R，则－1≤a≤0，故不存在实数a使(∁R A)∪B＝R且A∩B＝.。
第2课时 补集及集合的综合运算
＝{x|－1＜x＜2}∩x0＜x＜52
，
＝{x|0＜x＜2}．
[变式1] 在本例的条件下，求(∁UA)∩(∁UP)． 解 画出数轴，如图所示．
观察数轴可知，(∁UA)∩(∁UP)＝x2≤x＜52
．
[ 变 式 2] 将 本 例 中 的 集 合 P 改 为 {x|x≤5} ， 且 全 集 U ＝ P ， A ， B 不 变 ， 求 A∪(∁UB)．
课前 预习案 课堂 探究案 冲关 演练案
栏目索引
课前 预习案
一、全集与补集
1．全集：一般地，如果一个集合含有__所__研__究__问__题____中涉及的所有元素，那 么就称这个集合为全集(universe set)，通常记作U．
2．补集：对于一个集合A，由全集中_不__属__于_____集合A的所有元素组成的集合 称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作 ∁UA，即∁UA＝__{_x_|_x∈__U__，__且__x_∉_A_}__，如图，可用Venn图表示．
[训练4] 若集合A＝{x|x2－x＋m＝0，x∈R}中至少含有一个元素，则m的取值 范围是__________．
答案
mm≤14
解析 集合 A 中至少含有一个元素的反面是集合 A 中没有元素，即 Δ＝1－4m＜
0，即 m＞14．
因此若集合 A 中至少含有一个元素，则 m≤14，
即 m 的取值范围是mm≤14
.
冲关 演练案
谢谢观看！
解 ∵B＝{x|1＜x＜3}，∴∁RB＝{x|x≤1 或 x≥3}． (1)要使 A∪∁RB＝R，结合数轴分析(如图)，
可得 a 的取值范围为{a|a≥3}． (2)要使 A ∁RB，结合数轴分析(如图)，
1.3 集合的运算-补集【教案】
1.3集合的运算（2）【教学目标】一、知识与技能1、理解全集、补集的概念;2、了解全集与补集的意义；掌握补集符号“C U A”，会求一个集合的补集；知道有关补集的性质。
3、知道补集的基本运算性质二、过程与方法先从事物进行引入，了解并集的概念，再进行概念的辨析，文氏图直观显示，之后巩固练习，最后进行总结。
三、情感态度与价值观1、从集合的教学中，体验数学的简洁美；2、从集合的教学中，感受到数学的严谨、规范。
【教学重点】全集、补集的意义、运算及文氏图表示【教学难点】全集、补集概念、数形结合思想方法在概念理解与解题中运用；【学情分析】子集概念是本章在介绍了集合概念后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念。
而与这些子集相对应的某个确定的集合就是全集。
正确理解子集的概念有助于理解与子集有关的全集、补集的概念，由于学生是刚开始接触集合的符号表示，所以子集和真子集的符号要提醒学生注意这些符号的方向不要搞错。
补集的概念是在子集、全集的概念之后给出的，子集的概念是涉及两个集合之间关系，而补集是涉及三个集合之间的特定关系，在讲解补集概念时还可以加深子集的概念。
正确运用子集、补集的概念，是用集合观点分析、解决问题的重要内容，学好它们，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，更好地使用集合语言表述数学问题，更好地运用集合的观点研究、处理数学问题。
因为学生在学习中接触了比较多的新概念，新符号，而这些概念，符号比较容易混淆，这些因素可能给学生学习带来困难，因此在教学中引进符号时，应说明其意义，强调本质区别在于个体与整体、整体与整体的关系，并通过例题、习题，使集合与元素的概念多次出现，结合错例分析，培养学生正确应用概念和使用术语、符号的能力。
【教学过程】1、概念引入事物都是相对的，集合中的部分元素与集合中所有元素之间关系就是部分与整体的关系。
回答下列问题:A={班上所有参加足球队的同学}B={班上没有参加足球队的同学}U={全班同学}那么U、A、B三集合关系如何？集合B就是集合U中除去集合A之后余下来的集合。
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于
()
A．0 或 2
B．0
C．1 或 2
D．2
解析：由题意，知aa2＝－22，a＋3＝3， ∴a＝2.故选 D.
答案：D
2．已知全集 U＝R ，集合 A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且 B⊆∁
R A，求实数 a 的取值范围． 解：由题意得∁R A＝{x|x≥－1}，
①若 B＝∅，则 a＋3≤2a，即 a≥3，满足 B⊆∁R A；
[方法技巧] 由集合的补集求解参数的方法
(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义 并结合集合知识求解．
(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限 个时，一般利用数轴分析法求解．
[对点练清]
1．已知全集 U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数 a 等
1.3 集合的基本运算
第二课时 补集
(一)教材梳理填空 1．全集
(1)定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的_所_有元素， 那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作_U_. [微思考] 数集问题的全集一定是实数集 R 吗？ 提示：全集是一个相对概念，会因研究问题的不同而变化．如在实
二、应用性——强调学以致用 2．某班共有 26 名同学参加了学校组织的数学、英语两科竞赛，其中两
科都取得优秀的有 8 人，数学取得优秀但英语未取得优秀的有 12 人， 英语取得优秀而数学未取得优秀的有 4 人，试求出数学取得优秀的人 数、英语取得优秀的人数及两科均未取得优秀的人数． [析题建模] 将本问题转化为纯数学问题：设全集 U＝{某班 26 名同 学}，集合 A＝{数学取得优秀的同学}，集合 B＝{英语取得优秀的同 学}，且 card(A)表示 A 中元素个数．
A．{2,4,6}
B．{1,3,5}
C．{1,2,4} 答案：A
D．U
()
3．已知 U＝R ，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x＜3 或 x＞4}，则 ab＝________. 解析：因为 A∪(∁UA)＝R ，A∩(∁UA)＝∅，所以 a＝3，b＝4，所以 ab
＝12. 答案：12
题型一 补集的运算 [学透用活]
集 U＝P，A，B 不变．求 A∪(∁UB)． 解：∵∁UB＝∁PB＝{x|x≤－1 或 3＜x≤5}， ∴A∪(∁UB)＝{x|－4≤x＜2}∪{x|x≤－1 或 3＜x≤5}＝{x|x＜2 或 3＜ x≤5}．
题型三 与补集有关的参数值(范围)问题 [学透用活]
[典例 3] 已知全集 U＝R ，设集合 A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}．
解：设全集 U＝{某班 26 名同学}，集合 A＝{数学取得优秀的同学}， 集合 B＝{英语取得优秀的同学}． 设任意集合 X 中的元素个数为 card(X)， 则 card(U)＝26，card(A∩B)＝8，card[A∩ (∁UB)]＝12，card[B∩ (∁UA)] ＝4. 数学取得优秀的有 card(A)＝card(A∩B)＋card[A∩ (∁UB)]＝8＋12＝20(人)． 英语取得优秀的有 card(B)＝card(A∩B)＋card[B∩ (∁UA)]＝8＋4＝12(人)． 两科均未取得优秀的有 card[∁U(A∪B)]＝card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)＝26－20 －12＋8＝2(人)．
三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．[好题共享——选自苏教版新教材]我们知道，如果集合 A⊆S，那么 S
的子集 A 的补集为∁SA＝{x|x∈S，且 x∉A}．类似地，对于集合 A，B， 我们把集合{x|x∈A，且 x∉B}叫做集合 A 与 B 的差集，记作 A－B.例 如，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，则有 A－B＝{1,2,3}，B－A＝{6,7,8}． 据此，试回答下列问题： (1)S 是高一(1)班全体同学的集合，A 是高一(1)班全体女同学的集合， 求 S－A 及∁SA； (2)在下列各图中用阴影表示集合 A－B；
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，先把已知集合及全集分 别表示在数轴上，再根据补集的定义求解，这样处理比较直观，解答过 程中注意端点值能否取到．
[对点练清] 若集合 A＝{x|－3≤x＜1}，当 U 分别取下列集合时，求∁UA. (1)U＝R ； (2)U＝{x|x≤5}； (3)U＝{x|－5≤x≤1}．
图形语言
3．补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝_U__. (2)A∩(∁UA)＝_∅_. (3)∁UU＝_∅_，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝_A_. (4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)． (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)全集一定含有任何元素．
[解] (1)由 A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|0＜x＋1≤4}＝{x|－1＜x≤3}， P＝{x|x≤0 或 x≥5}，
将集合 A，B，P 分别表示在数轴上，如图所示．
∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}． ∁UB＝{x|x≤－1 或 x＞3}． (2)(A∩B)∪(∁UP)＝{x|－1＜x＜2}∪{x|0＜x＜5}＝{x|－1＜x＜5}．
(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有 定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的 范围．
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求 集合 A 的补集的前提是 A 为全集 U 的子集，随着所选全集的不同，得到 的补集也是不同的．
(3)符号∁UA 有三层意思： ①A 是 U 的子集，即 A⊆U； ②∁UA 表示一个集合，且(∁UA)⊆U； ③∁UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U， 且 x∉A}． (4)若 x∈U，则 x∈A 或 x∈∁UA，二者必居其一．
数范围内解不等式，全集为实数集 R ；在整数范围内解不等式，全集为
整数集 Z .
2．补集
对于一个集合 A，由全集 U 中_不__属__于_集合 A 的所有元
文字语言 素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称 为集合 A 的补集，记作__∁_U_A____
符号语言
∁UA＝__{x_|_x_∈__U_，__且___x_∉_A_}__
[对点练清] 1．[变设问]在本例的条件下，求(∁UA)∩(∁UP)．
解：∁UA＝{x|x＜－4 或 x≥2}，∁UP＝{x|0＜x＜5}，画出数轴，如图．
观察数轴可知，(∁UA)∩(∁UP)＝{x|2≤x＜5}． 2．[变条件]将本例中的集合 P＝{x|x≤0 或 x≥5}改为 P＝{x|x≤5}．且全
(1)若(∁UA)∩B＝∅，求实数 m 的取值范围； (2)若(∁UA)∩B≠∅，求实数 m 的取值范围． [解] (1)由已知 A＝{x|x≥－m}， 得∁UA＝{x|x＜－m}， 因为 B＝{x|－2＜x＜4}，(∁UA)∩B＝∅， 在数轴上表示，如图，
所以－m≤－2，即 m≥2， 所以 m 的取值范围是{m|m≥2}． (2)由已知得 A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x＜－m}， 又(∁UA)∩B≠∅，所以－m＞－2，解得 m＜2. 所以法技巧] 解决集合运算问题的方法
(1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如 下口诀进行：
交集元素仔细找，属于 A 且属于 B； 并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一； 全集 U 是大范围，去掉 U 中 A 元素，剩余元素成补集． (2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁ UA)∩B 时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出 A∪B，再求 补集． (3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别 得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)， 则可运用数轴求解．
解：因为 A＝{x|－5＜x＜4}，B＝{x|x＜－6 或 x＞1}， 所以 A∩B＝{x|1＜x＜4}． 又∁UA＝{x|x≤－5 或 x≥4}，∁UB＝{x|－6≤x≤1}， 所以(∁UA)∩(∁UB)＝{x|－6≤x≤－5}． 而 C＝{x|x＜m}，因为当 C⊇(A∩B)时，m≥4， 当 C⊇(∁UA)∩(∁UB)时，m＞－5，所以 m≥4. 即实数 m 的取值范围为{m|m≥4}．
法二：可用 Venn 图表示：
则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}． [答案] (1)C (2){－5，－4,3,4} {－5，－4,5}
[方法技巧] 求解补集的方法
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，再 结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借 助 Venn 图来求解．这样处理起来比较直观、形象且解答时不易出错．
由 Venn 图知，既不会讲英语又不会讲日语的学生 有：36－14－10－6＝6(人)．
(2)求集合的交集、并集、补集的一般方法是定义法． 同时要注意以下两点： ①当集合是用列举法表示时，可借助 Venn 图． ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴．
[学透用活] [典例 2] 已知全集 U＝R ，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|0＜x＋1≤4}， P＝{x|x≤0 或 x≥5}． (1)求 A∩B，∁UB； (2)(A∩B)∪(∁UP)．
题型二 集合的交、并、补集的综合运算 [探究发现] 某校国际班有 36 名学生，会讲英语的有 24 人，会讲日语的有 16 人，
既会讲英语又会讲日语的有 10 人． 问题：(1)如何求既不会讲英语又不会讲日语的人数？ (2)求集合的交集、并集、补集的一般方法是什么？有哪些注意点？
提示：(1)设 U＝{该班 36 名学生}，A＝{会讲英语的学生}，B＝{会 讲日语的学生}．
解：(1)把集合 A 表示在数轴上，如图所示，