方波信号展开为傅里叶级数

【例4.2-1】将下图所示方波信号展开为傅里叶级数。

解：按题意方波信号在一个周期内的解析式为

()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤--=2

02022T t E

t T E t f 分别求得傅里叶系数： cos 22cos 22200020⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-T T n tdt n E T tdt n E T a ωω ()()[]0sin sin n E 20000

0=+-=-T T t n t n T ωωω

⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-200020sin 22sin 22T T n tdt n E T tdt n E T b ωω ()()[]200020

0cos cos n E T T t n t n T ωωω-+=-

()[]ππn n

E cos 222-= 即： ⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数为奇数n n n E b n 02π

故得信号的傅里叶级数展开式为

()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++= t n n t t t E t f 0000sin 15sin 513sin 31sin 2ωωωωπ 它只含有一、三、五、……等奇次谐波分量。

【例

解:

首先将图示信号分解为奇、偶函数，如下图(a)、(b)所示。

(a)

从图(a)可见为一个半波反对称偶函数。在这种情况下，其傅里级数展开式 中将只含有余弦项，且只含奇次谐波分量而不含偶次谐波分量，即有：

06420321======== b b b b a a a

()⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++++=

t n n t t t t f ev 020002cos 15cos 2513cos 91cos 8ωωωωπ

从图(b) 可见为一个半波反对称奇函数。在这种情况下，其傅里级数展开式 中将只含有正弦项，且只含奇次谐波分量而不含偶次谐波分量，即有：

03210420======== b b b b a a a

()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++= t n n t t t t f od 0000sin 15sin 513sin 31sin 4ωωωωπ

)()()(t f t f t f od ev +=∴

⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++= t n n t t t 020002cos 15cos 2513cos 91cos 8ωωωωπ ⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++++ t n n t t t 0000sin 15sin 513sin 31sin 4ωωωωπ

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