初等数学研究课件

例 证明不存在x∈N，使得x· 2=1成立. 证明：反证法
假使存在x∈N, 满足x· 2=1, 则 x+x=1 显然x≠0, 可设x=y+, 所以 y++y+=1 ((y+y)+)+=0+ (y+y)+=0 这与0不是任何自然数的后继相矛盾。
自然数的序关系
定义5 对给定的a, b∈N, 若存在x∈N，使得
意(a, b), (c, d)∈ Z×Z0, 如果ad＝bc, 则称(a, b)~(c, d). 定理1：关系“~” 是Z×Z上的一个等价关系， 即满足自反性、对称性和传递性。 定义2： Z×Z按等价关系“~”划分的等价类 （以[(a,b)]表示(a,b)所属的等价类）叫做有理数， 一切有理数组成的集合叫做有理数集，记为Q.
① (a-b)+b=a; ② a b a b 0
除零元之外其他自然数都没有负元，这说明在整
数集上减法不具有封闭性。
例 证明不存在x∈N，使得x+2=1成立.
证明：反证法
假使存在x∈N, 满足x+2=1, 则 (x+1)+=0+ x+1=0 (x+0)+=0 x+=0 这与0不是任何自然数的后继相矛盾。
b=a+x, 则称a≤b, 或 b≥a. 定理5 关系“≤”(≥)是自然数集上的全序关系， 即满足自反性、反对称性、传递性和强连接性。 定理6 （最小自然数原理） (N, ≤)是良序集，即 N的每一个非空子集都有最小数。
定理7 对任何a∈N, a≥0 定理8 若a, b, c∈N, 则
代数结构
定理3
自然数集关于加法和乘法都是一个可交 换的半群，0是其零元，1是其单位元。 0的负元 是0，1的逆元是1，除此之外其他自然数都没有 负元和逆元。
减法
加法的相消律保证我们可以定义加法的逆运算—
—减法。 定义3 设a，b∈N，若存在x∈N，使x+b=a，则 称x=a-b. 根据定义，有
该例题表明：每个不为0的自然数必为某个自然数的后继。
加法
定义1 自然数集N上的二元运算“+”称为加
法，满足条件： (1)对任何a∈N ， a+0=a (2)对任何a, b∈N a+b+=(a+b)+
例 证明 2+3=5
证明： 2+0=2 2+1=2+0+=(2+0)+=2+=3 2+2=2+1+=(2+1)+=3+=4 2+3=2+2+=(2+2)+=4+=5
定义2 自然数集N上的二元运算“•”称为乘法，
例 证明 a· 3=a+a+a
证明: a· 0=0 a· 1=a· 0+=(a· 0)+a=0+a=a+0=a a· 2=a· 1+=(a· 1)+a=a+a a· 3=a· 2+=(a· 2)+a=a+a+a
运算律
定理2 对任何a, b, c∈N 有 ①加法交换律 a+b=b+a ②加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) ③加法相消律 若 a+b=a+c, 则 b=c. 若 b+a=c+a, 则 b=c. ④乘法交换律 a· b=b· a ⑤乘法结合律 (a· b)· c=a· (b· c) ⑥乘法相消律 若 a≠0, a·b=a·c, 则 b=c. 若 a≠0, b·a=c·a, 则 b=c. ⑦乘法对加法分配律 a· (b+c)=a· b+a· c (a+b)· c=a· c+b· c
定义5 （整数乘法） 整数集Z上的二元运算加法
“•”规定如下：对于任意[(a,b)],[(c,d)]∈ Z, [(a, b)]•[(c, d)]=[(ac+bd, ad+bc)] 上述定义是合理的，可以证明Z中的乘法运算与 等价类代表的选取无关。即 若(a1, b1)~(a2, b2), (c1, d1)~(c2, d2), 则(a1c1+b1d1, a1d1+b1c1)~(a2c2+b2d2, a2d2+b2c2).
1.1 数系的扩充
“数系”的历史扩展与逻辑扩展过程不同 “数学史上这一系列事件的发生顺序是耐 人寻味的，数学家们并不是按照先整数、 分数，然后无理数、复数、代数学和微积 分的顺序，而是按照相反的顺序与它们打 交道的．看来，他们进行逻辑化的工作是 极不情愿的．” M.Kline 《数学——确定性的丧失》
定理4 整数集是一个交换环， [(a,a)]是其零元，
[(a+1,a)]是其单位元。 [(a,b)]的负元是[(b,a)],单位 元的逆元是自身，除此之外其他整数都没有逆元。
减法
加法的消去律保证我们可以定义加法的逆运算—
—减法。 定义6 设a，b∈Z，若存在x∈Z，使x+b=a，则 称x=a-b. 整数都有负元保证了整数集上减法的封闭性。
定义8
定理6 若a, b, c∈Z, 则
① 当a≤b时，a+c≤b+c ② 当a≤b, [(0,0)]≤c时，a·c≤b·c 所以，“≤” 是整数集上的大小关系。
整数集是自然数集的扩张
定理7
整数集Z是自然数集N的一个扩张，即存 在一个N到Z上的一个一一映射f，使得
（1）对于任意a, b∈ N, 都有 f(a+b)=f(a)+f(b) f(a· b)=f(a)· f(b) （2）对于任意a, b∈ N, 若a≤b, 则f(a)≤f(b).
数学教育研究表明，人们认识负数比起认识无
理数要容易些．但是，历史有独特的自身发展 逻辑． 事实上，当人们还普遍怀疑负整数也是一种数 时，人们就已经在研究正的有理数与无理数， 甚至已经开始使用复数了．
“数系”的历史扩展途径
“数系”的逻辑扩展途径
新数产生的原因
数是抽象思维的产物．真正与实体直接相关的、用日
除法
乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运算—
—除法。 定义4 设a，b∈N, b≠0, 若存在x∈N，使x· b=a， a 则称x= b . 根据定义，有
a a b 1
a ( )b a b
除单位元之外其他自然数都没有逆元，这说明在
b
自然数集上除法不具有封闭性。
“新数”为何最初不被承认？
不能够测量
并非非有不可 不能够理解 逻辑基础不清楚
“新数”为何最终获得承认？
“因为在数学中和在其他场合一样，成功 是最高法庭，任何人都得服从它的裁决.” D.Hilbert《论无限》
算法合理性是“新数”获得承认的主要原因
算术到代数的演进加速了数系的形成 广泛的应用促进广泛的承认 “理想数” 的思想
1.2.2从自然数到整数
定义1 N×N上的关系“~”规定如下：对于任
意(a, b), (c, d)∈ N×N, 如果a+d＝b+c, 则称(a, b)~(c, d). 定理1：关系“~” 是N×N上的一个等价关系， 即满足自反性、对称性和传递性。 定义2： N×N按等价关系“~”划分的等价类 （以[(a,b)]表示(a,b)所属的等价类）叫做整数， 一切整数组成的集合叫做整数集，记为Z.
定理3 对任何a, b, c∈Z 有 ①加法交换律 a+b=b+a ②加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) ③加法相消律 若 a+b=a+c, 则 b=c. 若 b+a=c+a, 则 b=c. ④乘法交换律 a· b=b· a ⑤乘法结合律 (a· b)· c=a· (b· c) ⑥乘法相消律 若 a≠[0,0], a·b=a·c, 则 b=c. 若 a≠[0,0], b·a=c·a, 则 b=c. ⑦乘法对加法分配律 a· (b+c)=a· b+a· c (a+b)· c=a· c+b· c
除法
乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运
算——除法。 定义7 设a，b∈Z, b≠[(0,0)], 若存在x∈Z，使 a x· b=a，则称x= b . 除单位元之外其他整数都没有逆元，这说明在 整数集上除法不具有封闭性。
整数集上的序关系
对于任意[(a, b)], [(c, d)]∈ Z, 如果 a+d≤b+c, 则称[(a, b)]≤[(c, d)]) 定理5 关系“≤” 是整数集上的全序关系，即满 足自反性、反对称性、传递性和强连接性。
定理2 设Z+={[(a,0)]|a∈N-{0}}
Z- ={[(0,a)]|a∈N-{0}} 则Z= Z+∪[(0,0)]∪Z-, 且Z+, [(0,0)], Z-两两不相交. 定义3 称Z+为正整数集，称Z-为负整数集。
整数集上的运算
定义4（整数加法） 整数集Z上的二元运算加法
“+”规定如下：对于任意[(a,b)],[(c,d)]∈ Z, [(a, b)]+[(c, d)]=[(a+c, b+d)] 上述定义是合理的，可以证明Z中的加法运算与 等价类代表的选取无关。即 若(a1, b1)~(a2, b2), (c1, d1)~(c2, d2), 则(a1+c1, b1+d1)~(a2+c2, b2+d2).
1.2 数系的构造理论
1.2.1自然数的定义
自然数严格的抽象定义是由peano公理给出的，它刻
画了自然数的本质属性，并导出了有关自然数的所有 运算和性质。 Peano公理陈述如下：
（1）0是自然数； （2）每个自然数都有一个后继，a的后继记为a+ ； （3）没有自然数的后继为0； （4）不同的自然数有不同的后继，即若a+= b+，则a= b； （5）（归纳公理）如果0有某个属性，而且若自然数a有该 属性则a+也有该属性，那么所有自然数都有该属性。
例 对任百度文库a∈N ，证明0+a=a+0.
证明：利用数学归纳法证明 当a=0时，结论显然成立。 假使a=n时，结论成立，即0+n=n+0 ，则当a=n+时 0+n+=(0+n)+=(n+0)+=n+= n++0 结论亦成立。
乘法
满足条件： (1)对任何a∈N ， a•0=0 (2)对任何a, b∈N a•b+=(a•b)+a
证明：构造f: N→Z如下
f(a)=[(a,0)] 即可满足定理要求。
因此，以后我们可以对a与[(a,0)]不加区别地使用，
从而有Z+=N-{0}. 因为[(0,a)]是[(a,0)]的负元，所以我们也用-a表示 [(0,a)].
1.2.3从整数到有理数
记Z0= Z+∪Z-.
定义1 Z×Z0上的关系“~”规定如下：对于任
有理数集上的运算
定义3（有理数加法）有理数集Q上的二元运算
加法“+”规定如下：对于任意[(a,b)],[(c,d)]∈ Q, [(a, b)]+[(c, d)]=[(ad+bc, bd)] 上述定义是合理的，可以证明Q中的加法运算与 等价类代表的选取无关。即 若(a1, b1)~(a2, b2), (c1, d1)~(c2, d2), 则(a1d1+b1c1, b1d1)~(a2d2+b2c2, b2d2).
常生活经验可以获得的数，只有自然数．其他的数， 都需要进行理性思考才能获得．
数的概念产生于对实物的计量．在漫长的史前时代，人类 已经认识了抽象的自然数． 随着人类文明的进步，数的概念从实体的测量发展为抽象 的存在，如从正方形对角线的测量得到脱离经验的“无理 数”． 接着是代数运算的需要，因减法、开方运算的需要产生了 负数、无理数和复数． 到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，人们为了追 求运算的无矛盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四 元数、八元数等等．
例
设m ∈N, m≠0, 那么，必有n ∈N使得 n+=m
证明 设集合A由所有这样的自然数组成：它是某个自然数的 后继. 设S={0}∪A. 显然, 0 ∈S. 若x ∈S, 由A的定义有x+ ∈A, 因而x+ ∈S . 由归纳公理知, S=N. 因此，若m ∈N, m≠0, 就必有m ∈A, 即存在n ∈N, 使得 n+=m.
① 当a≤b时，a+c≤b+c ② 当a≤b时，a·c≤b·c 所以，“≤”(≥) 是自然数集上的大小关系。
定义6 若a≤b, 且a≠b, 则称a<b, 或b>a.
定理9 “<”(>) 也是自然数集上的大小关系。 定理10（阿基米德性质） 对于任意a，b∈N，
a>0，总存在n∈N，使n•a>b.