-重积分习题课
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利用对称性
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
10
例 证明:
a dy
y em(ax) f (x)dx
a (a x)em(ax) f (x)dx
00
0
y
提示: 左端积分区域如图, 交换积分顺序即可证得.
a D yx
例
求 z ln( x2 y2 z2 1) dv, x2 y2 z2 1
D
(1) D为圆域
(2) D由直线
围成.
解: (1) 利用对称性.
I x2dxdy x ye x2 y2 dxdy
D
D
x2dxdy 0
D
y
D o 1x
2
d
1r 2 cos2 rd r
0
0
4
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
3. 掌握确定积分限的方法 图示法 列不等式法
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
2
二重积分的对称性：
设积分区域 D 可分成二个小区域D1 、D2 ， 且D1 、 D2 关于x 轴（或y 轴）对称，则
f (x, y) 为 y （或x ）的偶函数时，
f (x, y)d 2 f (x, y)d ；
面积为:
形心坐标
5xA3 yA
[5 (1) 3 2]A 9
1
x
A
D
xdxdy
1
y
A
D
ydxdy
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
14
例 计算二重积分 I ( x2 y2 2xy 2)dxdy,
D
其中D 为圆域
在第一象限部分.
例 计算三重积分
其中是由
xoy平面上曲线
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
所围成的闭区域.
xx
z
提示: 利用柱坐标 y r cos
o
z r sin
1 2
r
2
x
5
x5
y
: 0 r 10
0 2
原式
2
d
0
10 r3 dr
0
5
r2 dx
250
x
d y00
1
1
y
yx
o D2
D1
1
x
1 y x
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
13
例 计算二重积分 线
其中D 是由曲 所围成的平面域.
解: I 5 xdxdy 3 ydxdy
D
D
积分区域 (x 1)2 ( y 2)2 32
其形心坐标为: x 1 , y 2
zx
y
f (x, y, z)dv f (x, y, z)dv （ f (x, y, z)dv ）
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
4
例 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
提示: 利用极坐标
D
:
0
2
rR
D
D1
f (x, y) 为 y （或x ）的奇函数时，
f (x, y)d 0 。
D
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
3
三重积分的对称性：
若 可分成二个小区域 、 ，且 、
xy
z
关于
yz
面对称，而
f
(x,
y,
z)
是
x
的偶（奇）函数，则
解:
y
作辅助线 y x 将D分成 D1 , D2 两部分
1
yx
D1
D2
( y x)dxdy ( x y)dxdy 2 dxdy o
1x
D1
D2
D
2 ( 2 1)
3
2
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
12
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x,将D 分为 D1, D2 ,
利用对称性,得
I ( x2 x ye x2 y2 )dxdy ,
D
x2dxdy x ye x2 y2 dxdy
D
D1
x ye x2 y2 dxdy
D2
1 x2dx
2
D1 z
o x
y
原式 =
R 2
0
dz z2dxdy
D1 z
R
R 2
dz z2dxdy
D2 z
R
2 z2 (2Rz z2)dz
Rz2 (R2 z2)dz
0
R 2
59 R5
480
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
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D
D2
D1
4
dy
6
12 y
y2 (x y)d x
2
dy
4
4 y
y2
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
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二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或形心公式简化计算
分块积分法 3. 消去被积函数绝对值符号
2
cos
原式
y r R cos
o D Rx
2 R3
2 (1 sin3 ) d
30
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
5
例 计算积分
其中是两个球
(R > 0)的公共部分. 提示:由于被积函数缺 x , y ,
利用“先二后一”计算方便 .
D2z z R R
3
2
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
8
例. 计算积分
，其中D 由
所围成.
提示:如图所示 D D2 D1 ,
f (x, y) x y 在D2内有定义且
y
4
y2 2x
2 o
D1D 2
D
4
x
连续,所以
6
( x y)d (x y)d ( x y)d
一、重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
1
一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分区域多为坐标面(轴)围成； 被积函数用此坐标表示较简洁.
2. 选择易计算的积分次序 积分区域分块要少，累次积分易算为好.
o
其中是
x
由球面 x2 y2 z2 1 所围成的闭区域.
提示:被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数,利用 对称性可知原式为 0.
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
11
例 计算二重积分 I ( x2 x ye x2 y2 )dxdy , 其中:
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
10
例 证明:
a dy
y em(ax) f (x)dx
a (a x)em(ax) f (x)dx
00
0
y
提示: 左端积分区域如图, 交换积分顺序即可证得.
a D yx
例
求 z ln( x2 y2 z2 1) dv, x2 y2 z2 1
D
(1) D为圆域
(2) D由直线
围成.
解: (1) 利用对称性.
I x2dxdy x ye x2 y2 dxdy
D
D
x2dxdy 0
D
y
D o 1x
2
d
1r 2 cos2 rd r
0
0
4
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
3. 掌握确定积分限的方法 图示法 列不等式法
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
2
二重积分的对称性：
设积分区域 D 可分成二个小区域D1 、D2 ， 且D1 、 D2 关于x 轴（或y 轴）对称，则
f (x, y) 为 y （或x ）的偶函数时，
f (x, y)d 2 f (x, y)d ；
面积为:
形心坐标
5xA3 yA
[5 (1) 3 2]A 9
1
x
A
D
xdxdy
1
y
A
D
ydxdy
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
14
例 计算二重积分 I ( x2 y2 2xy 2)dxdy,
D
其中D 为圆域
在第一象限部分.
例 计算三重积分
其中是由
xoy平面上曲线
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
所围成的闭区域.
xx
z
提示: 利用柱坐标 y r cos
o
z r sin
1 2
r
2
x
5
x5
y
: 0 r 10
0 2
原式
2
d
0
10 r3 dr
0
5
r2 dx
250
x
d y00
1
1
y
yx
o D2
D1
1
x
1 y x
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
13
例 计算二重积分 线
其中D 是由曲 所围成的平面域.
解: I 5 xdxdy 3 ydxdy
D
D
积分区域 (x 1)2 ( y 2)2 32
其形心坐标为: x 1 , y 2
zx
y
f (x, y, z)dv f (x, y, z)dv （ f (x, y, z)dv ）
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
4
例 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
提示: 利用极坐标
D
:
0
2
rR
D
D1
f (x, y) 为 y （或x ）的奇函数时，
f (x, y)d 0 。
D
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
3
三重积分的对称性：
若 可分成二个小区域 、 ，且 、
xy
z
关于
yz
面对称，而
f
(x,
y,
z)
是
x
的偶（奇）函数，则
解:
y
作辅助线 y x 将D分成 D1 , D2 两部分
1
yx
D1
D2
( y x)dxdy ( x y)dxdy 2 dxdy o
1x
D1
D2
D
2 ( 2 1)
3
2
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
12
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x,将D 分为 D1, D2 ,
利用对称性,得
I ( x2 x ye x2 y2 )dxdy ,
D
x2dxdy x ye x2 y2 dxdy
D
D1
x ye x2 y2 dxdy
D2
1 x2dx
2
D1 z
o x
y
原式 =
R 2
0
dz z2dxdy
D1 z
R
R 2
dz z2dxdy
D2 z
R
2 z2 (2Rz z2)dz
Rz2 (R2 z2)dz
0
R 2
59 R5
480
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D
D2
D1
4
dy
6
12 y
y2 (x y)d x
2
dy
4
4 y
y2
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
9
二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或形心公式简化计算
分块积分法 3. 消去被积函数绝对值符号
2
cos
原式
y r R cos
o D Rx
2 R3
2 (1 sin3 ) d
30
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
5
例 计算积分
其中是两个球
(R > 0)的公共部分. 提示:由于被积函数缺 x , y ,
利用“先二后一”计算方便 .
D2z z R R
3
2
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
8
例. 计算积分
，其中D 由
所围成.
提示:如图所示 D D2 D1 ,
f (x, y) x y 在D2内有定义且
y
4
y2 2x
2 o
D1D 2
D
4
x
连续,所以
6
( x y)d (x y)d ( x y)d
一、重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
1
一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分区域多为坐标面(轴)围成； 被积函数用此坐标表示较简洁.
2. 选择易计算的积分次序 积分区域分块要少，累次积分易算为好.
o
其中是
x
由球面 x2 y2 z2 1 所围成的闭区域.
提示:被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数,利用 对称性可知原式为 0.
2019年11月5日星期二 《高等数学》第十一章 习题课
11
例 计算二重积分 I ( x2 x ye x2 y2 )dxdy , 其中: