柱面

§3.3 柱面

设空间中一条曲线Γ和方向v，则平行于方向v，并与曲线Γ相交的一族直线构成的曲面称为柱面，这些直线都称为柱面的母线，曲线Γ称为柱面的准线，v称为母线的方向。

注1）柱面是一种特殊的曲面。对于一个柱面，它的准线不是唯一的，但是母线的方向是唯一的(注，平面除外)，与每一条母线都相交的曲线都可以作为柱面的准线。

2）柱面可视为空间中一条直线l当它沿着一条曲线Γ作平行(于方向v)移动时形成的轨迹(曲面)。

在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，设柱面S的准线Γ的方程为

母线的方向v = {l，m，n}，点P(x，y，z)在柱面S上的充分必要条件是在准线Γ上存在一点P0(x0，y0，z0)使得点P在通过点P0，并且方向为v的直线上，从而有

(t是参数)。因此，从上式中消去x0，y0，z0与t，可得方程

F(x,y,z)=0，

它就是以Γ为准线，母线的方向为v的柱面S的方程.

在特殊位置下的柱面是指准线在一个坐标平面上，并且母线平行于某个坐标轴的柱面。

设柱面的准线Γ：

母线平行于z轴，则该柱面的方程为：

f(x，y) = 0。

一个母线平行于z轴的柱面，分别是在Oxy坐标平面上的特殊柱面：

因为它们的方程都是二次的，所以又称为二次柱面。

注

一般地，在空间直角坐标系中，若一个柱面的母线平行于z轴(x轴,y轴)，则它的方程中不含变量z(不含变量x,不含变量y)；反之，一个三元方程中若不含变量z(不含变量x,不含变量y)，则它通常表示一个母线平行于z轴(x轴,y轴)的柱面。

以曲线Γ为准线，母线垂直于平面π的柱面称为曲线Γ在平面π上的投影柱面或射影柱面。

注1）若求曲线Γ:

在平面π：A x + B y + C z + D = 0上的投影柱面的方程，则把Γ视为柱面的准线，平面π的法向量n = {A，B，C}作为柱面的母线方向，即可求得。

2）若求曲线Γ:

在Oxy坐标平面上的投影柱面的方程，则从

中消去z所得到的方程F(x，y) = 0，它就是所求的投影柱面的方程。

3）对于没有给出准线方程和母线方向的柱面，可先确定它的准线方程和母线方向，然后根据一般位置下柱面方程的求法去求它的方程。若柱面是圆柱面，则可以根据圆柱面的特性，即圆柱面有一条对称轴，并且圆柱面上的每一点到对称轴的距离都相等，这个距离称为圆柱面的半径，用点到直线的距离公式求其方程。

§3.4 锥面

设空间中一条曲线Γ和不在曲线Γ上的一点A，则通过点A，并与曲线Γ相交的一族直线构成的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，曲线Γ称为锥面的准线，点A称为锥面的顶点.

注1）锥面可视为空间中一条直线l，当它通过一个定点A，并沿着一条曲线Γ移动时形成的轨迹(曲面).

2）一个锥面的准线不唯一，与每一条母线都相交的曲线都可以作为准线.锥面是常见的一种特殊的曲面，是以顶点作为对称中心的曲面.

在空间直角坐标系［O；i，j，k］中，设给定一个锥面S，其顶点为A(a，b，c)，准线Γ的方程为

则点P(x，y，z)在锥面S上的充分必要条件是点P在一条母线上，即在准线Γ上存在一点P0(x0，y0，z0)使得P点在直线AP0上，从而可得

其中t为参数与

从式(1)，(2)中消去x0，y0，z0，t，可得

H(x，y，z)=0

它就是所求锥面的方程.

一般地，以

为准线，顶点在坐标原点的锥面的方程是

f( kx/z，ky/z) = 0.

特别地，若曲线Γ是椭圆

则锥面的方程是：

.

这是一个二次方程，它表示的锥面称为二次锥面.

对于正整数n，若方程F(x，y，z)=0对于任意实数t满足

F(tx，ty，tz)=tn F(x，y，z)，

则称方程F(x，y，z)=0为n次齐次方程.

在空间直角坐标系中，关于x，y，z的齐次方程表示的曲面是以坐标原点为顶点的一个锥面.

注

一般地，关于x-a，y-b，z-c的齐次方程表示一个以点A(a，b，c)为顶点的锥面.

对于没有直接给出准线方程和顶点坐标的锥面，可先求出它们的准线方程和顶点坐标，然后求出锥面的方程.若锥面是圆锥面，则可以根据圆锥面的特性求其方程.由于圆锥面有一条对称轴l，圆锥面的每一条母线与对称轴l的夹角(锐角)都相等，这个锐角称为圆锥面的半顶角.因此，可以根据两条直线的夹角公式建立圆锥面的方程.