因式分解与提取公因式

年级

八年级 课题 14.3.1因式分解与提取公因式法 课型 新授 教学媒体

多 媒 体 教

学

目

标 知识 技能 1、了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形； 2、会确定多项式中各项的公因式，会用提取公因式法分解多项式的因式。 过程 方法 通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想，通过对公因式是多项式的因式分解的学习，培养换元的意识。 情感 态度 在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数

学的信心。

教学重点 因式分解的概念、提取公因式法。

教学难点

因式分解的概念和多项式中公因式的确定以及提公因式的具体方法。 教 学 过 程 设 计

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图

一、情境引入

1.630能被哪些数整除，说说你是怎样想的？

2.当a=101，b=99时，求a 2-b 2的值。 对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2虽然可以直接把a=101，b=99代入进行计算，但如果应用平方差公式先把a 2-b 2变形成（a+b ）（a-b ）的形式再代入进行计算，将会使计算过程变得简洁。

二、探究新知 一、分解因式（因式分解）的概念. 1．计算： （1）计算下列各式： ①3x （x －1）=__________;

②（m +4）（m －4）=__________;

③m （a +b +c ）=__________; ④（y －3）2=__________; （2）根据上面的算式填空： ①3x 2－3x =（ ）（ ）; ②m 2－16=（ ）（ ）; ③ma +mb +mc =（ ）（ ）; ④y 2－6y +9=（ ）2.

问题：能分析一下两个题中的形式变换吗？ 在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是

整式乘积的形式.

教师提出问题,学生认真思考大胆回答。

学生练习，并演板。 教师让学生回答问题，然后订正。

教师概括总结，学生消化吸收。 通过对上面2个 解决方法和过程 的讨论，使学生 感知到把一个数

进行质因数分解 和把一个多因式 变为几个整式的 乘积是对数和式 的一种恒等变形，能使演算简便。

利用书上的因式 分解和整式乘法 的关系图，说明 因式分解和整式 乘法是对一个多 项式的两种不同 的变形，并强调 它们的特点。

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图

在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解. 2.定义--因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。 3．例1.判断下列各式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解? （1）6＝2×3 （2）a （b ＋c ）＝ab ＋ac （3）a 2－2a ＋1＝a （a －2）＋1 （4）a 2－2a ＝a （a －2） （5）a ＋1＝a （1＋1/a ） 二.提公因式法. 1.公因式 多项式ma ＋mb ＋mc 中，各项都有一个公共的因式m ，称为该多项式的公因式。 一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。 例2.指出下列各多项式的公因式 （1）8a 3b 2＋12ab 3c （2）8m 2n ＋2mn （3）－6abc ＋3ab 2－9a 2b 分析：先要求学生思考这个问题的最后结果该是怎样的，然后仿照课本进行分析，注意讲清确定公因式的具体步骤，从数、字母和字母的次数3个方面进行分析；解完后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果（1）中提出公因式4ab ，另一个因式是否还有公因式?从而把提公因式的“提”的具体含意深刻化，这是提公因式法的正确性的重要保证． 通过以上各题，你对确定多项式的公因式有什么方法？（学生归纳、总结） 2．提公因式法 定义：由m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc ，得到ma ＋mb ＋mc ＋=m(a ＋b c),其中，一个因式是公因式m ，另一个因式（a ＋b ＋c ）是ma ＋mb ＋mc 除以m 所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 例3.把（1）2a 2b －4ab 2 (2)8a 3b 2＋12ab 3c 分解因式 解：（1）2a 2b －4ab 2 ＝2ab ·a －2ab ·2b ＝2ab （a －2b ） （2）8a 3b 2＋12ab 3c ＝4ab 2·2a 2＋4ab 2·3bc ＝4ab 2（2a 2＋3bc ） 部分学生回答，完成后，师生纠错。 让学生体验： ma+mb+mc=m(a+b+c )从左到右是怎样得到的，你能对ax+2ay 进行类似的变形吗? 例2是确定公因式和如何提公因式分解因式方法的具体化，所以教师要细致地讲解。 学生总结确定多项式的公因式的方法。 学生讨论：怎样检查因式分解是否正确？提公因式后的另一个公因式的项数和原多项式的项数有什么关系？

要在学生充分

理解化成整式的积的形式的基础上进行探究，要注意突出

写成整式的积

的形式的具体

含义，使学生联

想到可以运用整式的乘法来

达到这个目的，

为因式分解概

念的建立埋下了伏笔。

要让学生清楚地知道具体的

方法和步骤．

让学生明白如何正确应用提公因式的方法和操作程序。

教学程序及教学内容

师生行为 设计意图 例4.把下列各式因式分解. （1）-3x 2-6xy+18x=-3x(x+2y-6) （2）12（y-x ）2-18（x-y ）3 解：12（y-x ）2-18（x-y ）3 =12（x-y ）2-18（x-y ）3 =6（x-y ）2[2-3（x-y ）] =6（x-y ）2（2-3x+3y ） 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。 三、课堂训练 1．基础练习： 分解因式： （1）m 2(a －2)＋m(2－a) （2）m －n －mn ＋1 （3）a 2n －a n （4）（3a －4b ）（7a －8b ）＋（11a －12b ）（8b －7a ） 2．提高：分解因式：412132q p p ()()-+- 四、小结归纳 学生谈本节课收获 1.举一个例子说说什么是因式分解。 2.什么是多项式的公因式？确定公因式该从哪几个方面进行考虑？ 3.说说提公因式法的一般步骤。（1、确定提取的公因式；2、用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式；3、把多项式写成这两个因式的积的形式） 五、作业设计 P115 1 、2、3 学生板演，教师讲解。学生要明白每一步的做题依据。 学生独立完成各题，巩固所学内容。教师加以辅导。 教师总结记忆用提公因式法分解因式的技巧： 1.各项有“公”先提“公”， 2.首项有负常提负． 3.某项提出莫漏1． 4.括号里面分到

“底”．

学生明白（1）

若多项式的第

一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

对因式分解概

念的理解是本

课的重点，公因式的确定和提

公因式的具体

方法是本课的关键，所以对知

识的小结可从这些问题入手带领学生做深

入的思考．