高二基本不等式学生版

复习专题 基本不等式
常用的几个重要不等式：
(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)；(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(3)⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b
2
2(a ，b ∈R )；(4)
b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 判断注意： 正，定，等
考向一 利用基本不等式求最值
角度1 利用配凑法求最值
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：1拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.
2代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. 3拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
例1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )
A.13
B.12
C.34
D.2
3 (2)设x >0，则函数y ＝x ＋
22x ＋1
－3
2的最小值为________． （3）．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋1
8b 的最小值为________．
（4）已知x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，则8
(x ＋2)(y ＋4)
的最小值为________．
（5）(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A.9 B.9
2 C.
3 D.322
角度2 利用常数代换法求最值
常数代换法求最值的步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： 1根据已知条件或其变形确定定值常数. 2把确定的定值常数变形为1.
3把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式. 4利用基本不等式求解最值.
例2（1）(2019·山西模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4
b 的最小值是( ) A.72 B.4 C.9
2 D.5
(2)(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( )
A ．[6，＋∞)
B ．[10，＋∞)
C ．[12，＋∞)
D ．[16，＋∞)
(3)(2017·山东高考)若直线x a ＋y
b ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．
（4）.(2019·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．
角度3 利用消元法求最值
通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则ac b 2的最大值为( ) A ．8 B ．2 C ．18 D ．1
6
(2)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________．
（3）.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b ＋3b
a 的最小值为________．
考向二 求参数值或取值范围
1要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活的进行转化. 2利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或范围.
例4 (1)(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
(2)(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6
D ．8
（3）.设a >0，b >0且不等式1a ＋1b ＋k
a ＋
b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )
A ．0
B ．4
C ．－4
D ．－2
（4）(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋3
2＋y
＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16
考向三 基本不等式的实际应用
有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 3解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
4在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
例5(2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．
(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？
(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？
例6.某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件
与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－
k
m＋1
(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只
能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
难点：两次利用基本不等式求值
利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．
例7(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则a 4＋4b4＋1
ab的最小值为________．
例8.已知a>b>0，求a2＋
16
b(a－b)
的最小值．
专题 基本不等式 答案
例1（1）答案 B 解析 ∵0<x <1，∴x ·(3－3x )＝13·3x ·(3－3x )≤13⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝3
4，当3x ＝3－3x ，即x ＝1
2时，x (3－3x )取得最大值．故选B.
（2）答案 0解析 y ＝x ＋
22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1
x ＋12
－2≥2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12·
1
x ＋12
－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12
，即x ＝1
2时等号成立．所以函数的最小值为0.
（3）答案 1
4解析 由a －3b ＋6＝0可得a －3b ＝－6， 又∵2a
＋1
8b ≥2
2a
8b ＝2
2a －3b ＝2
2－6＝14(当且仅当a ＝－3，b ＝1时取等号)，最小值为14.
（4）答案 1
2解析 ∵x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，∴x ＋2＋y ＋4＝8，∴8≥2(x ＋2)(y ＋4)，
即
1(x ＋2)(y ＋4)≥116，当且仅当x ＝2，y ＝0时取等号，则8(x ＋2)(y ＋4)≥816＝1
2.
（5）答案 B 解析 当a ＝－6或a ＝3时，
(3－a )(a ＋6)＝0；当－6<a <3时，
(3－a )(a ＋6)
≤3－a ＋a ＋62＝92，当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32
时取等号．
例2（1）答案 C 解析 y ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a b ＋b a ≥92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立.
（2）答案 D 解析 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2
θ＋cos 2
θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θ
cos 2θ≥10＋2
cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π
6时等号成立．
（3）答案 8解析 ∵直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，∴1a ＋2
b ＝1， ∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a ≥4＋2
4a b ·b
a
＝8， 当且仅当b a ＝4a
b ，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8.
（4）答案 5解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫
15y ＋35x
＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥13
5＋2
3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号
例3（1）答案 C 解析 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac
b 2
＝
ac (2a ＋c )2＝ac 4a 2＋4ac ＋c
2＝1
4a c ＋c a ＋4≤12
4a c ·c a ＋4
＝1
8，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C.
（2）答案 3解析 由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3－x 2
2x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋3
2x
≥3x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.
（3）答案 6解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝a a －1
>0，所
以a >1，所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4
a －1
＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，最小值是6.
例4（1）答案 B 解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2
，当且仅当a ·
x y ＝y x ，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B.
（2）答案 C 解析 解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22
，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.
解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)·(xy －3)≤0， ∴0<xy ≤3，∴x ＋3y ＝9－xy ≥6.故选C.
（3）答案 C 解析 由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2
ab ，又(a ＋b )2
ab ＝a b ＋b a ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，
所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2
ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.
（4）答案 D 解析
32＋x ＋32＋y
＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，xy 最小值为16.
例5解 (1)设第n 年获取利润为y 万元．
n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n (n －1)2
×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *
)． 令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0，解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －(81＋n 2)n ＝30－81n －n ＝30－
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
81n ＋n ≤30－281
n ·
n ＝12(当且仅
当81
n ＝n ，即 n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．
方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)，
当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.
例6.解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－
2
m ＋1
， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x (元)，∴2018年的利润y ＝1.5x ×8＋16x
x －8－16x －m ＝4＋8x －m ＝4＋8⎝
⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16
m ＋1
＋(m ＋1)≥216＝8，∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当
16
m ＋1
＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． 例7答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ，由于ab >0，∴4ab ＋
1ab ≥24ab ·
1
ab ＝4
⎝ ⎛⎭⎪⎫
当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立，故当且仅当⎩⎨⎧
a 2＝2
b 2
，4ab ＝1ab
时，a 4＋4b 4＋1ab
的最小值为4.
例8解 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴b (a －b )≤⎣⎢
⎡⎦⎥⎤b ＋(a －b )22＝a 2
4. ∴a 2＋
16b (a －b )
≥a 2＋64
a 2≥2
a 2·
64a 2＝16.
当a 2＝64
a 2且
b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．∴a 2＋
16
b (a －b )
的最小值为16.。