2016线代B期末复习题1详解

线性代数B 复习资料（2016）

(一)单项选择题

1．若A ，B 为n 阶可逆方阵，且AB=BA ，则下列等式不成立的是（ B ） (A) 1

1

--=AB A B (B ) 11--=BA AB (C) B A BA 11--= (D)1

111----=A B B A

2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．设A ，B 均为n 阶矩阵，且满足等式AB ＝Ｏ，则必有（ A ） （A ），0=A 或0=B （B ）A= O , 或B=O （C ）A+B=O （D ）O B A =+

4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)

(A) A 的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合 (B) A 的各行向量中至少有一个为零向量

(C )A 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D)A 的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 5．已知向量组4321,,,αααα线性无关则向量组 ( C ) (A) 14433221,,,αααααααα++++线性无关 (B) 14433221,,,αααααααα----线性无关

(C ) 14433221,,,αααααααα-+++线性无关 (D)

14433221,,,αααααααα--++线性无关

6．设n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX=0有非零解的充分必要条件是（ B ）

(A) r=n (B ) rn 7．n 元线性方程组AX=b ，r （A ，b ）

8. 设的，再交换阵列加到第一列，得到矩的第阶矩阵，将为B B A A 23第二行与第三行

得单位矩阵，记___01010000110001100121

=???

?

?

??=????? ??=A P P ，则，；( B ) ()

()

()

()

1

1

1221

21

12A PP P P C B P P D P P --，

9．下列命题正确的是( D )

(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关 (B) 线性相关的向量组中必有零向量

(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D ) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关 10．设向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则 ( D ) (A) 必定r

(B) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关 (C) 向量组中任意r 个向量线性无关 (D ) 向量组任意r+1个向量线性相关

11．A 是m ×n 矩阵, r(A)=r 则A 中必( B )

(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r 阶子式不为零 (B )有不等于零的r 阶子式所有r+1阶子式全为零 (C)有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1阶子式 (D)任何r 阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 12．能表成向量()1,0,0,01=α,()1,1,1,02=α,()1,1,1,13=α的线性组合

的向量是（ B ） (A) ()1,1,0,

0 (B )()0,1,1,2 (C)()1,0,1,3,2- (D)()0,0,0,0,0

13．向量组()4,2,1,11-=α,()2,1,3,02=α,()14,7,033=α

()0,2,1,14-=α的秩为 ( C )

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

14．设A 为n 阶方阵,且0=A ，则 ( C )

(A) A 中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (B) A 必有两行（列）对应元素乘比例

(C ) A 中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D) A 中至少有一行（列）向量为零向量

15．向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是( C ) (A) s ααα,,,21 中有一零向量

(B) s ααα,,,21 中任意两个向量的分量成比例 (C )

s ααα,,,21 中有一向量是其余向量的线性组合

(D)

s ααα,,,21 中任意一个向量均是其余向量的线性组合

16．若向量β可由向量组s ααα,,,21 线性表出,则( C )

(A) 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使等式s s k k k αααβ+++= 2211成立 (B) 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 ,使等式s s k k k αααβ+++= 2211成立 (C )向量s αααβ,,,,21 线性相关 (D) 对β的线性表示不唯一

17．对于n 元方程组，正确的命题是（ D ） (A)如AX=0只有零解, 则AX=b 有唯一解 (B)AX=0有非零解, 则AX=b 有无穷解 (C)AX=B 有唯一解的充要条件是0≠A

(D )如AX=b 有两个不同的解, 则AX=b 有无穷多解

18．设矩阵n m A ?的秩为r(A)=m

(C )A 通过初等变换, 必可化为(m I ,0)的形式 (D) 若矩阵B 满足0BA =,则0B =.

19．已知321,,ααα是齐次线性方程组AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是（ B ） (A) 332211αααk k k ++ (B ) 133221,,αααααα+++ (C)

,,3221αααα--

(D),,,233211αααααα-+-

20. 已知12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个不同的解，12,αα是导出组0AX =的基

本解系，12,k k 为任意常数，则AX b =的通解是（ B ） (A) 12

11212()2

k k ββααα-+++ (B ) 12

11212()2

k k ββααα++-+ (C) 12

11212()2

k k ββαββ-+++ (D) 12

11212()2

k k ββαββ++-+

21．向量组r ααα,,,21 线性无关，且可由向量组s βββ,,,21 线性表示，则 r(r ααα,,,21 )必( D )r(s βββ,,,21 )

(A)大于等于 (B)大于 (C)小于 (D )小于等于

22．设n 元齐次线性方程组AX=0的通解为k （1，2，…，n ）T

，那么矩阵A 的秩为（ B ） (A) r(A)=1 (B ) r(A)=n-1 (C) r(A)=n (D)以上都不是

23．设矩阵A =11112

1233λ?? ? ? ?+??与矩阵?? ?

=- ? ???

231121112B 等价，则λ=（ D ） A.2 B. 1 C.0 D .-1

24．设n 维向量组r ααα,,,21 (Ⅰ)中每一个向量都可由向量组s βββ,,,21 (Ⅱ)线性表出,且有r>s, 则( D )

(A) (Ⅱ)线性无关 (B) (Ⅱ)线性相关 (C) (Ⅰ)线性无关 (D ) (Ⅰ)线性相关

25．设n ααα,,,21 是n 个m 维向量，且n>m, 则此向量组n ααα,,,21 必定( A ) (A ) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 含有零向量 (D) 有两个向量相等 26．矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r

(A)A 中任何r+1列线性相关 (B) A 中任何r 列线性相关

(C) A 中有r 列线性无关 (D ) A 中线性无关的列向量最多有r 个 27．若m ×n 阶矩阵A 中的n 个列线性无关 则A 的秩（ C ） (A)大于m (B)大于n (C )等于n (D) 等于m

28．若矩阵A 中有一个r 阶子式D ≠0，且A 中有一个含D 的r+1阶子式等于零，则一定有R （A ）（ A ）

(A ) ≥r (B)＜r (C)=r (D) =r+1 29．要断言矩阵A 的秩为r ，只须条件（ D ）满足即可 (A) A 中有r 阶子式不等于零 (B) A 中任何r+1阶子式等于零

(C) A 中不等于零的子式的阶数小于等于r (D ) A 中不等于零的子式的最高阶数等于r

30．R(A)=n 是n 元线性方程组AX=b 有唯一解( C )

(A)充分必要条件 (B) 充分条件 (C ) 必要条件 (D) 无关的条件 31．矩阵A=?

??

?

??--1111的特征值为0,2, 则3A 的特征值为( B ) (A) 2,2; (B ) 0,6; (C) 0,0; (D) 2,6;

32．A=???

? ??--1111， 则2

22A A I +--的特征值为（ B ）

(A) 2,2; (B ) –2,-2; (C) 0,0; (D) –4,-4;

33．A 满足关系式O E A A =+-22

，则A 的特征值是 ( C ) (A) λ=2 (B) λ= －1 (C ) λ= 1 (D) λ= －2是

34．已知－2是A=???

?

? ??----b x 2222

220的特征值，其中b ≠0的任意常数，则x=（ D ） (A) 2 (B) 4 (C) －2 (D ) －4

35．已知矩阵A=???

?

? ??----x 44174

147有特征值12,3321===λλλ，则x=（ D ） (A) 2 (B) － 4 (C) －2 (D ) 4

（提示：用特征值的和等于迹的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题16） 36. 设A 为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（ D ） (A) E-A (B) E+A (C) 2E-A (D ) 2E+A

（二）计算题与填空题

1．0653

=+-I A A ，则=-1

A

________ 。 （()

I A 56

12

--

）

2．设A 是43?矩阵,(),2=A R ???

?

? ??----=111211

120B ,则()=BA R ________ (2) 3. 设A 为3阶矩阵，且||2A =, 则行列式1

|3|A A

*

--=____ （-1/2）

4，矩阵1

1111

121111

11

x A x x ?? ?

?

= ? ???

的秩最大为___ _，最小为 。（4,2） 5．设()()(),112,231,5121T

T T k

-=-==ααβ=k （ ）时β可被向量

组21,αα线性表出。 （-8）

6.

??????- ? ? ?= ? ? ? ? ? ???????

35

100111100011312011001111001?

? ? ? ??

? ?? ? ? ???

1146425116

7. 已知线性方程组 1231111120122x a x a x ?????? ? ? ?

= ? ? ? ? ? ?????

??，当a = 时方程组无解，当a =

时方程组有无穷多解。 （2，0）.

8. 如果 |3|0A E +=，则矩阵A 一定有特征值 。 （3-） 9．设()()()().111,111,111,22

1321T

T T T -=-==-=αααβ则β是否为

向量组321,,ααα的线性组合？ （是）

10． 确定b a ,为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解.

??????

?=+++=+-+-=+--=+--b

x x x x x ax x x x x x x x x x x 432143214

32143217107141253032. 答： 当4,1=-=b a 时，解为

?

?????? ??-+??????? ??-+???

????

?

??2017023100212121c c ，其中

21,c c 为任意非零常数; 当4,1=-≠b a 时，解为

?

?????? ??-+???

????

?

??2017002121k ，其中k 为任意常数; 方程组不存在唯一解.

11．求下列矩阵的特征值与特征向量.

（1）????? ??--102010201

(2) ????

?

??-----112202213.

答案： (1)

1231,1,3λλλ==-=，

对应于11=λ的全部特征向量是()10,1,0T

k ，01≠k ；

对应于12-=λ的全部特征向量是()21,0,1T

k ，02≠k ； 对应于33=λ的全部特征向量是()31,0,1T

k -，03≠k . (2) 1230,1,λλλ===

对应于01=λ的全部特征向量是???

?

? ??1111k ，1k 为非零常数；

对应于132==λλ的全部特征向量为

???

?

? ??-+????? ??12002132k k ，23,k k 是不同时为零的常数。 12.三阶矩阵A 的特征值为3,2,1321===λλλ,则()--=++1

*122;,,,A A

A A A A A

的特征值

为( ). (6; ;31,21,

1 ;2,3,6 2,11

4,9;23

2,6,12.) 13. 设矩阵????? ??=k k A 1012101有一个特征向量为???

?

?

??-121，求k 及A 的三个特征值.

答案：3=k ，A 的三个特征值为1,3,4. 14．已知向量组

()()()()()T T T T T a 7,4,0,3,6,,1,1,8,3,2,1,7,5,1,1,1,2,1,254321=-=-=--==ααααα

的秩为3，求a 及该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。 答案：421,,,2ααα=a 为一个极大无关组，31240,αααα=

++

51240,αααα=++

15． 设向量组()()()k k k ,1,1,1,2,1,1,,1321-=+=-=ααα，

(1) k 为何值时，21,αα线性相关？线性无关？ (2) k 为何值时，321,,ααα线性相关？线性无关？

(3) 当321,,ααα线性相关时，将3α表示为21,αα的线性组合. 答案：(1) 2-=k 时线性相关，2-≠k 时线性无关；

(2) 2,1--=k 或2时线性相关；1-≠k 且2-≠k 且2≠k 时线性无关； (3) 当1-=k 时，2130ααα?+=；当2=k 时， 2134

345ααα+

-=. 16．矩阵

A =

???

?

? ??323513123的迹为 。

（7） 定义：对于n 阶方阵()ij A a =，矩对角线元素之和称为方阵A 的迹，记为trA ，即

nn a a a trA +++= 2211，

定义 2.15 如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ， 则称矩阵A 与B 等价，记作

B A →

17已知

123(1,4,0,2),(2,7,1,3),(0,1,1,),(3,10,,4)T T T T a b αααβ===-=,

问

（1）,a b 取何值时,β不能由123,,ααα线性表示?

（2）,a b 取何值时,β可由123,,ααα线性表示?并写出此表示式.

解

1231

20312034

71100112(,,|)01100102

340002

r b a a

b αααβ???? ? ?--

?

?=??→ ? ?-- ? ?-????

(1)当2b ≠时,123123(,,)(,,|)R R ααααααβ≠?β不能由123,,ααα线性表示;

(2)当2b =时,

1231

20312034

7110011

2(,,|)01100102

340000r b a a

αααβ????

?

?--

? ?

=??→

? ?-- ? ?????

,则 123123(,,)(,,|)R R ααααααβ=,β可由123,,ααα线性表示;

①若1a =,12310210112(,,|)00000

00

0r

αααβ-?? ?-

???→ ? ???

,得

123(21)(2),k k k k βααα=-++++为任意常数;

②若1a ≠,12310010102(,,|)00100

00

0r

αααβ-?? ?

?

??→ ? ???

,得122βαα=-+.

（三）证明题：

1. 设A 为n m ?矩阵，B 为s n ?矩阵，且0=AB ，证明()()n B r A r ≤+.

证 设12(,,

,)s B βββ=，则12(,,,)s AB A A A βββ=，由0AB =得

0,1,2,

,i A i s β==，所以矩阵B 的列向量都是方程组0=Ax 的解.

设()r A r =，如0=r ，则结论显然成立. 如n r

=，则方程组0=Ax 仅有零解，故

0=B ，从而有()()n B r A r =+.

如n r <<0，则方程组0=Ax 的基础解系中有r n -个线性无关解向量.由于B 的列都能由基础解系线性表示，由定理3.12知，()r n B r -≤，所以()()n r n r B r A r =-+≤+. 2. 证明：如果方阵A 不可逆，则*||0A =。

证：如果0A =，则显然*0A =，此时*||0A =。

如果0A ≠，则()1r A ≥。因为A 不可逆，则||0A =，从而*

||0AA A E ==。由上

题结果知，*()()r A r A n +≤。所以*()()1r A n r A n ≤-≤-，所以*||0A =。

3 对于矩阵,A B ，证明：(,)()()r A B r A r B ≤+.

证 将矩阵,A B 按列分块，),,,(21s A ααα =，),,,(21t B βββ =， 则

1212),(,)(,,,,,,s t B A αααβββ=，设r B A r r B r r A r ===),(,)(,)(21，不妨设向量

组s ααα,,,21 的一个极大无关组为1,,,21r ααα ，向量组t βββ,,,21 的一个极大无关组

为2,,,21r βββ ，向量组1212,,,

,,,,s t αααβββ的一个极大无关组为

)(,,,,,,,321213

3

r r r r r ≤-βββααα ，显然3132,r r r r r ≤-≤，所以

2133)(r r r r r r +≤-+=， 即)()(),(B r A r B A r +≤.