基本不等式完整版(非常全面)94240
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基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
(1)若R b a ∈,,则ab b a 22
2
≥+
(2)若R b a ∈,,则2
2
2b a ab +≤
2、基本不等式一般形式(均值不等式)
若*
,R b a ∈,则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形 (1)若*
,R b a ∈,则
ab b
a ≥+2
(2)若*,R b a ∈,则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab
总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;
4、求最值的条件:“一正,二定,三相等”
5、常用结论 (1)若0x >,则1
2x x
+≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1
2x x
+
≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”)
(4)若R b a ∈,,则2
)2(2
22b a b a ab +≤
+≤ (5)若*
,R b a ∈,则22111
22b a b a ab b
a +≤+
≤≤+
(1)若,,,a b c d R ∈,则2
2
2
2
2
()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:
22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
(3)设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数,则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+
二、题型分析
题型一:利用基本不等式证明不等式
1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥
b
a 112+
2、已知
c
b a ,,为两两不相等的实数,求证:
ca bc ab c b a ++>++222
3、已知1a b c ++=,求证:222
13
a b c ++≥
4、已知,,a b c R
+
∈,且1a b c ++=,求证:
abc c b a 8)1)(1)(1(≥---
5、已知,,a b c R
+
∈,且1a b c ++=,求证:
1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
6、(2013年新课标Ⅱ卷数学(理)选修4—5:不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:
(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222
1a b c b c a
++≥.
7、(2013年江苏卷(数学)选修4—5:不等式选讲 已知0>≥b a ,求证:b a ab b a 2
2
3
3
22-≥- 题型二:利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域 (1)2
2
21
3x x y += (2))4(x x y -=
(3))0(1>+=x x x y (4))0(1
<+=x x
x y
题型三:利用不等式求最值 (一)(凑项)
1、已知2>x ,求函数4
24
42-+-=x x y 的最小值;
变式1:已知2>x ,求函数4
24
2-+=x x y 的最小值;
变式2:已知2 24 2-+=x x y 的最大值; 练习:1、已知54x >,求函数14245 y x x =-+-的最小值; 2、已知5 4x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值; 题型四:利用不等式求最值 (二)(凑系数) 1、当时,求(82)y x x =-的最大值; 变式1:当时,求4(82)y x x =-的最大值; 变式2:设2 3 0< 变式:若40< 3、求函数)2 5 21(2512<<-+-=x x x y 的最大值; (提示:平方,利用基本不等式) 变式:求函数)4 1143(41134<<-+-=x x x y 的最大值; 题型五:巧用“1”的代换求最值问题 1、已知12,0,=+>b a b a ,求t a b =+11 的最小值; 法一: 法二: 变式1:已知22,0,=+>b a b a ,求t a b =+11 的最小值; 变式2:已知28 ,0,1x y x y >+=,求xy 的最小值; 变式3:已知0,>y x ,且11 9x y +=,求x y +的最小值。 变式4:已知0,>y x ,且19 4x y +=,求x y +的最小值; 变式5: (1)若0,>y x 且12=+ y x ,求11x y +的最小值; (2)若+ ∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ,求y x + 的最小值; 变式6:已知正项等比数列{}n a 满足:5672a a a +=,若 存在两项n m a a ,,使得14a a a n m =,求n m 4 1+的最小值;