第八章方差分析与回归分析

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第八章方差分析与回归分析

§1单因素试验的方差分析

试验指标：研究对象的某种特征。 例各人的收入。

因素：与试验指标相关的条件。

例各人的学历，专业，工作经历等与工资有关的特征。

因素水平：因素所在的状态

例学历是因素，而高中，大学，研究生等，就是学历因素水平；数学，物理等就是专业的水平。

问题假设

1,,r A ；

2。各个总体的抽样过程是独立的。3）~i X 1原假设22,,,r μσ进行参数估计。注

121

0r

i

k δ

==∑各类样本均值

水平i A 的样本均值：1

1

i

n i ij

j i

X X

n ==

∑；

水平总样本均值：11111i n r r

ij i i i j i X X n X n n =====∑∑∑，1

r

i i n n ==∑；

偏差平方和与效应 组间偏差平方和：

2

221

1

()r

r

A i i i i i i S n X X n X nX ===-=-∑∑；（衡量由不同水平产生的差异）

组内偏差平方和：

2

2

211

1

1

()()i

i

n n r

r

E ij i ij i i i j i j S X X X n X =====-=-∑∑∑∑；

（衡量由随机因素在同一水平上产生的差异） 总偏差平方和：

2

2

211

1

()i

n r

r

T ij i ij i j i S X X n X nX ====-=-∑∑∑；

（综合衡量因素，水平之间，随机因素的差异） 定理1（总偏差平方和分解定理）T A E S S S =+。

即11

11

)()i

n r

i i j i j X X ====+-∑∑∑∑注定理2(E ES n =证1

)E i ES ===∑定理3

1）/E S 2）如还有，

2/~A S σ证1~(ij X N 1,

,i n ，且独立，所以由第五章定理2

1()~(i

n ij ij i i i i j X X X X n μμχσ=⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭∑∑利用2

χ可加性，即得2

2

21

/~()()E i i S n r n r σχχ=-=-，且i X 与E S 独立。

注意到1

1r

i i i X n X n ==∑，因此X 也与E S 独立，从而A S 也与E S 独立。

注这里只需方差假设相同，不需要假设均值相同。 2）

~(0,1)ij i

X N μσ

-，且独立，同样利用第五章定理2，

22,,1(

)~(1)ij i

i j i i j

i j X X n n μμχσ

σ

'''''----∑∑。

但在假设成立时，222,,,1

1(

)()ij i

i j i ij i j i j i j

X X X X n μμσ

σσ'''''---

=-∑∑∑，即得结论。且X 与T S 独立。 同时，2

22

1()()/~(1)r

i A i X X S r μμσχσ=⎛⎫---=- ⎪⎝⎭

∑。

注此处结论证明利用了i n 都相等，即利用：1,11

r k ij k i j

X X r n ==∑∑。但上述结论在组样本容量不同时，

直接利用正交变换仍可类似证明。

从统计角度看，如果假设0H 成立，那么

211

1

E A ES ES n r r σ==--，而在假设不成立时，11A ES r -定理1总体i X 2,

,,)r μσμδ+，其中所以i δ2

22

12

,()ln (,,

,,)ln(2)22ij i r i j

x n L μδμδδσπσσ--=--∑， 约束条件：

0i i

i

n δ

=∑。

求其最大值点得：

2

12

,()

ln (,,,,)202ij i r i j

x L μδμδδσμ

σ--∂

==∂∑

，

即：,0ij i i i j

i

x n n μδ--=∑∑；或，0nx n μ-=。

2

12

1

1()

[ln (,,,,)]2

02i

r

ij i r i i i i j n i

x L k n kn μδμδδσδδσ

=≤≤--∂

+=+=∂∑∑

，

（k 是拉格朗日乘子）

即20i i i i i i n x n n k n μδσ---=；或，20i i x k μδσ---=；

2212

2

4

,1ln (,,,,)()022r ij

i i j

n L x

μδδσμδσ

σ

σ

∂=-

+

--=∂∑，

即221()ij i

x σμδ=

--∑，或，22

221{22}ij i i i i i

x nx n x

n n σμδμδ=--++∑∑∑， μ--

i x x -。所以2ˆi

σ+∑同时，ˆˆ()2i i i i i i i i

i

x n x x n x δδ=--∑∑ 22()i i i i i

i i i

i

i

n n x x x n x nx =-=--=-+∑∑∑， 因此

}n

=

2第i

即可得到置信区间：

/2/2(((i i X t n r X t n r αα--+-。

但，必须注意，对整个问题而言，置信水平不再是1α-。记事件

/2/2{(((i i i i E X t n r X t n r ααμ=∈--+-。

则()1i P E α=-。但()1()1i i i

i

P E P E r α=-≥-。