平行四边形1
平行四边形的概念和定义
平行四边形的概念和定义
平行四边形是一种特殊的四边形，它具有特定的几何属性和定义。
下面是平行四边形的概念和定义：
1.定义：平行四边形是一个四边形，其对边两两平行。
2.性质：
•对边平行性质：平行四边形的对边两两平行，即相对的两边是平行的。
•对角线性质：平行四边形的对角线相互平分，并且相交点将对角线分成相等的两部分。
•边长性质：平行四边形的相邻边长度相等，即相邻边是相等的。
•内角性质：平行四边形的内角相邻补角，即相邻内角的和为180度。
•对边长度比例：平行四边形的对边长度比例相等，即相对的两条边的长度比相等。
3.特殊情况：
•矩形是一种特殊的平行四边形，它的四个角都是直角，对边相等。
•正方形是一种特殊的矩形和平行四边形，它的四边长度相等，四个角都是直角。
•菱形是一种特殊的平行四边形，它的四条边长度相等，对角线互相垂直，且相互平分。
平行四边形是几何学中重要的概念，它的定义和性质可以用于解决各种几何问题和证明定理。
在实际应用中，平行四边形的概念也经常被用于建筑设计、工程测量、图形绘制等领域。
平行四边形的判定(1)
3
对角互相平分
两组对边相等
对角线互相平分 四边形是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形是平行四边形
性质：平行四边形的对角相等
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
平行四边形的两组对边分别平行
探究活动
发现：三角形一条边上的中 线的2倍小于另两条边的和。
任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较
5.5 平行四边形的判定（2）
序言
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这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你
发现了什么?再画几个三角形试一试，你发现的规律
仍然成立吗?试证明你的发现。见
平行四边形判定(1)
１
Ａ
AD= BC
Ｂ ∴…是平行四边形
定 对角线互相平分的四 Ｄ
Ｃ∵OA=OC,
理 边形是平行四边形 ２
O
OB=OD
Ａ Ｂ ∴…是平行四边形
推 两组对角分别相等的 Ｄ
论 四边形是平行四边形
Ａ
Ｃ∵∠A=∠C,
∠B=∠D
Ｂ
第二十六页，共27页。
谢谢大家
15.11.2022
生产计划部
第二十七页，共27页。
D
A
∵AB=CD
BC =AD
B
∴四边形ABCD是平行四边形
C
第五页，共27页。
通过以上活动你得到了什么结论？
A
D
B
C
命题1:两组对边相等的四边形是平行四边形
第六页，共27页。
已知：四边形ABCD, AB=CD，AD=BC 求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：
A
连结AC，
14
∵ AB=CD，AD=BC （已知）
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
第十五页，共27页。
已知:如图,四边形对角线相交于点o, 且OA=OC、OB=OD.
求证:四边形ABCD是平行四边形
证明：在△AOB和△COD中
∴
∠OOABA==OOOBCD=∠COD
△AOB ≌ △COD
(SAS)
∴AB=CD
A
你认为小丽的做法有根据吗？
第十四页，共27页。
已知：四边形ABCD, AC、BD交于点O
且OA=OC，OB=OD
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：∵ AO = CO ，BO = DO ，∠1 = ∠2
平行四边形的判定1
1、平行四边形的定义。 2、平行四边形有哪些性质？
平行四边形的性质： 平行四边形的对边平行 AB∥CD,AD∥BC ∴ 边 平行四边形的对边相等 ∴AB=CD,AD=BC 角 平行四边形的对角相等 平行四边形的邻角互补
对角线 平行四边形的对角线互
∵四边形ABCD 是平行四边形
A C , B D
（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm， DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．
2、如图，在平行四边形ABCD的一组对边 AD、BC上截取EF＝MN，连接EM、FN， EM和FN有怎样的关系？为什么？
练一练： P80第1、2、4题
B
A
E
F
D
M
N
C
第81面习题20.2
B C
求证:四边形ABCD是平行 ∴∠ACB=∠CAD 四边形
∴△ABC≌△CDA
平行四边形判定定理2: 两组对边分别相等的四 ∴四边形ABCD是平行四边形 边形是平行四边形
同理可得 AB ∥CD
∴AD∥BC
(两组对边分别平行的四边形 是平行四边形)
平行四边形判定定理2:
两组对边分别相等的 四边形是平行四边形
第10、11、15题。
几何语言:
∵ AB=CD
A
D C
，AD=BC
B
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明: 对角线互相平分的四 边形是平行四边形吗? △COD中 ∵在△AOC与 AO=CO 在四边形ABCD中,AC与BD BO=DO 互相平分, ∠AOB= ∠COD 求证:四边形ABCD是平行四 边形 AOB≌△COD ∴△
一组对边平行，另一组对边相等 的四边形一定是平行四边形吗？
平行四边形的性质1
学习目标
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
2.经历对平行四边形性质的证明过程渗透转
化思想；
学习重、难点
平行四边形对角线性质探究与应用
知识回顾
◆什么是平行四边形？ ◆ 平行四边形有哪些性质？
1.定义．两组对边分别平行的四 边形叫做平行四边形． 2.性质 平行四边形的对边平行且相等 平行四边形的对角相等 平行四边形的对角线互相平分
例题赏析
1 OB BD 3 2
例2：已知如图，O为平行四边形ABCD两条
对角线的交点，AC=24mm，BD=38mm， BC=28mm，求△OAD的周长。 解：∵AC=24mm，BD=38mm， ∴AO= AC/2=24/2=12(mm)
A D
DO=BD/2=38/2=19(mm)
作业布置
P121 习题A组1、2、3
A
老大 老二
●
D O
M 老三
老四
B
C
故四人的土地面积相同，老人分地合理
三角形中位线把三角形分成面积相等两部分
课堂小结
这节课你学到了什么 ： 1.平行四边形的性质 平行四边形的对边平行且相等 平行四边形的对角相等 平行四边形的对角形互相平分 2.学习方法 平行四边形 -------- 转化---------三角形
又∵AD=BC=28mm ∴△OAD的周长 =AO+OD+AD=12+19+28=59(mm)
B
O
C
课堂练习I
已知:如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过 点O的直线与AD,BC分别交于点E,F. 求证:OE=OF. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD,AD∥BC. ∴ ∠1=∠2. 在△BOF和△DOE中
第一课时平行四边形的性质1-八年级数学下册课件(人教版)
课堂练习
8.如图,在▱ABCD 中,∠B＝120°,DE⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 F,则∠ADE＝______3_0_°______,∠EDF＝_____6__0_°______, ∠FDC＝______3_0_°______.
课堂练习
9.如图,已知 BD 是△ABC 的角平分线,点 E,F 分别在边 AB,BC 上,ED∥CF,EF∥AC.求证:BE＝CF.
边形的周长为( B )
A.16
B.26
C.22
D.11
4.如图,在▱ABCD 中,AB⊥AC,若 AB＝3,AC＝4,则 AD 的长
为( A )
A.5
B.8
C.10
D.11
课堂练习
5.在▱ABCD 中,若∠A＋∠C＝100°,则∠B＝_____1_3_0_°______. 6.在▱ABCD 中,AB＝5,则 CD＝_______5_______. 7.▱ABCD 的周长为 28 cm,且 AB∶BC＝2∶5,那么 AB＝ ______4________ cm,AD＝______1_0_______ cm.
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4
即∠BAD＝∠DCB.
归纳小结
平行四边形的性质：
1.平行四边形对边相等。 2.平行四边形对角相等。
巩固练习
1.如图,在四边形 ABFE 中,点 C,D 分别在边 AE,BF 上,若 AB∥CD∥EF,AE∥BF,则图中的平行四边形共有____3______ 个.
证明:∵ED∥CF,EF∥AC, ∴四边形 EFCD 是平行四边形. ∴ED＝CF. ∵BD 是∠ABC 的平分线, ∴∠EBD＝∠DBC. ∵ED∥BC,∴∠EDB＝∠DBC. ∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝ED.∴BE＝CF.
平行四边形的性质(一)
平行四边形的性质（一）鲁教版五四制八年级上册第五章平行四边形第一节教学目标：1、知识目标：理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的边、角、对角线、对称性的性质，并能初步用其来解决实际问题.2、能力目标：通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法，锻炼学生缜密的逻辑思维能力，渗透“转化”的数学思想，进一步深入体验数学抽象、数学直观与逻辑推理等数学核心素养.3、情感目标：让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.教学重点：1平行四边形的性质思维导图2转化为三角形解决问题教学难点：理解并应用平行四边形的性质教学方法：启发学生独立思考，经历数学过程，通过合作交流，以及深度反思形成思维框架体系。
教学过程一、引入新课章起始课，简介本章内容，切入本节课题。
通过观察，让学生勾勒出发现的几何图形：平行四边形，然后举出一些生活中的实例。
从而引出平行四边形在日常生活中应用广泛，是一种美观实用的图形,因此我们有必要系统学习平行四边形.二、明确概念通过一些图片让学生自己归纳定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形引入概念，并给出其表示方法。
强调内涵：两边平行，缺一不可。
三、平行四边形的画法让学生自己在练习本上画出平行四边形，老师指导学生完成。
接着老师展示画平行四边形的步骤，并演示给学生看。
教师点播：这是简易画法，与所学的尺规作图不同。
用平移三角尺最为合理。
四、探究平行四边形的性质（一）引领问题1，对角线分成2个三角形，什么关系？有什么继续何验证？请操作检验，并给于说明。
引领问题3：对角线交点的一条直线又什么性质？你得到那些猜想结论？如何验证？独立思考，小组交流用一枚图钉在O点穿过，将平行四边形ABCD绕点O旋转180º，观察旋转后的平行四边形ABCD与纸上画的平行四边形EFGH是否重合。
让学生讨论，得出结论，教师总结：我们发现，旋转之后的两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心。
平行四边形性质(一)
4
B
小试牛刀
4、如图，已知点M、N分别是平行四边形 ABCD边AB、DC的中点. 求证：∠ADM=∠NBC. D N
C
B
A
M
小试牛刀 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC, AB=CD. ∠A= ∠C
D A C
B
试一试
证明: 连结BD
1 ∵四边形ABCD是平行四边形 3 ∴AD∥BC, AB∥DC 2 ∴ ∠1= ∠2, ∠3= ∠4 在ADB与CBD中, ∠1 = ∠2 DB = BD ∴ ADB≌ CBD (ASA) ∠3 = ∠4 ∴ AD=BC, AB=DC； ∠ABC=∠ADC ∠A=∠C, 4
1 1 AM AB, C
M
∵ M、N分别是AB、DC的中点
∴ AM=CN. 在ADM与CBN中 AD＝CB（已证） ∠A＝∠C（已证） AM ＝CN（已证）
∴ ADM≌CBN
∴ ∠DMA=∠NBC
(SAS)
挑战新高
A
D
1题图
1、 ABCD 中， C B 120° 已知∠C=∠B+∠D ，则∠A度数为____.
回顾与思考
本节课学习了哪些内容? 你有哪些收获?
一、平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
二、平行四边形的性质： 1. 平行四边形的对边平行且相等. 2. 平行四边形的对角相等，邻角互补.
3. 平行四边形的对角线互相平分.
思考题：
ABCD 中,已知AB=2AD ，延长AD至点F
平行四边形的性质课件第一节
已知： ABCD 求证：AB=CD，BC=DA；
∠B=∠D，∠A=∠C.
41 3
2
定理1：平行四边形的两组对边分别相等
定理2：平行四边形的两组对角分别相等
几何语言：
D
C
∵ 四边形ABCD是平行四边形
A
B
∴ AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等）
∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）
A 8cm
D
B
C
1.如图, ABCD的周长是28cm,△ABC的周长 是22cm,则AC的长cm D 8cm
A
D
A
D
B
C
B
C
2.如图,在 ABCD中,∠A:∠B=7:2,求∠C
的度数.
1.如图，在 ABCD中，若BE平分∠ABC，
则ED＝ 4cm ．
A 5cm
3
5cm 1
2
B
9cm
E 4cm D 5cm
C
Ａ Ｅ
Ｂ
Ｄ Ｃ
2.如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，点E为 垂足，如果∠A=125°，则∠BCE的度数为多少？
• 通过本节课的学习，你有什么收获？
１.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
２.平行四边形的性质：中心对称图形
对边平行
对边相等
对角相等
观察图形 A
D
的旋转：
O
B
C
4. ∠BAC旋转到什么位置？∠BCD旋转到 什么位置？说明什么？
5. ∠ABC旋转到什么位置？∠ADC旋转到什 么位置？说明什么？
6.以上两点说明了平行四边形的什么共同特 征？
平行四边形可能有如下性质：
平行四边形的定义及性质(一)PPT课件
7
3 ， ABCD的面
A
D
2020年10月2日
BE
C 6
演讲完毕，谢谢观看！
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平行四边形的定义及性质（一）
（随堂课件）
2020年10月2日
HnsongzhIana@
1
二、平行四边形
A
D
平行四边形
B
C
梯形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 “平行四边形”用“ ” “ ABCD”
2020年10月2日
2
（一）角：
A
D
平
1、相邻的两个角互补
行 四 边
2、∠A与∠C； ∠B与∠D 有 B 什么关系？
则：∠B= 130°，∠C= 50°，
D
C
ABCD的周长= 2（a+b）.
A
B
课 堂 练
2.如图： ABCD中∠A+∠C=200°. 则：∠A= 100°，∠B= 80° .
A B
D C
习 3.如图： ABCD的周长为36，AB=8，BC= 10 ；
当∠B=60°时AD、BC的距离AE 4 积 S ABCD = 40 3 .
2020年10月2日
4
A1 A2 A 3 A4 …
l1
平行四边形边长公式
平行四边形边长公式平行四边形是一种特殊的四边形，具有两组对边平行的性质。
在平行四边形中，我们可以通过已知的边长来计算其他参数。
本文将探讨平行四边形的边长公式及其应用。
1. 平行四边形的定义平行四边形是一种具有以下特征的四边形：- 两组对边平行：平行四边形的对边两两平行，分别称为底边和顶边、侧边和侧边。
- 对边相等：平行四边形的对边长度相等。
2. 平行四边形的边长公式对于平行四边形，可以通过已知的边长来计算其他参数。
以下是平行四边形的边长公式：- 周长公式：平行四边形的周长等于所有边长的和。
周长 = 边长1 + 边长2 + 边长3 + 边长4- 对角线公式：平行四边形的对角线相等，并且它们将平行四边形分成两个相等的三角形。
对角线1 = √(边长1^2 + 边长3^2)对角线2 = √(边长2^2 + 边长4^2)- 面积公式：平行四边形的面积等于底边长度乘以高。
面积 = 底边长度 ×高3. 平行四边形的应用平行四边形的边长公式在很多实际问题中都有应用。
以下是一些应用示例：示例一：计算周长已知平行四边形的边长分别为10cm、15cm、10cm和15cm，计算其周长。
周长 = 10cm + 15cm + 10cm + 15cm = 50cm示例二：计算对角线长度已知平行四边形的边长分别为8cm、6cm、8cm和6cm，计算其对角线长度。
对角线1 = √(8cm^2 + 8cm^2) ≈ 11.31cm对角线2 = √(6cm^2 + 6cm^2) ≈ 8.49cm示例三：计算面积已知平行四边形的底边长度为12cm，高为5cm，计算其面积。
面积 = 12cm × 5cm = 60cm^2通过以上示例，我们可以看到平行四边形的边长公式在几何学和实际问题中都有重要的应用。
熟练掌握这些公式可以帮助我们计算平行四边形的各项参数，进而解决与其相关的各种问题。
总结：本文讨论了平行四边形的边长公式及其应用。
平行四边形的判定(1)
D
B
E
C
4.如图， ABCD中 分别是对边BC BC和 4.如图，在□ABCD中，E、F分别是对边BC和 如图 AD上的两点 上的两点， AF=CE，连结AE AE、 AD上的两点，且AF=CE，连结AE、CF 求证：AC、EF互相平分 求证：AC、EF互相平分 F A
D
B
E
C
5.如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC， 5.如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC，∠A＝∠D， 如图 试说明： 试说明：BF∥CE
∵AD∥CB, ∴∠3=∠4, ∵AD=CB， ∵AD=CB，AC=CA,
B
A 1 4
D
3 2 C
ADC≌△ ∴△ADC≌△CBA ∴∠1=∠2 ，∴AB∥CD, ∴ 四边形ABCD为平行四边形. ABCD为平行四边形 ∴四边形ABCD为平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 平行且相等的四边形是平行四边形
A H E G F B C D
5.已知：AD为 ABC的角平分线，DE∥AB， AB上 5.已知：AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，在AB上 已知 的角平分线 截取BF AE， BF＝ 截取BF＝AE， A 求证：EF＝ 求证：EF＝BD 12 F 3 B D C E
6.如图， 6.如图，D、E、G分别是△ABC三边上的点，DG与 如图 分别是△ABC三边上的点，DG与 三边上的点 AC平行 平行， =CE，延长EG EG至 使得EF=2EG EF=2EG， AC平行，且DG =CE，延长EG至F点，使得EF=2EG， 连接CF 试说明CF DG互相平分 CF， CF与 互相平分。 连接CF，试说明CF与DG互相平分。
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第18章平行四边形及其性质（一）
一、重点、难点
1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
三、例题的意图分析
例1是教材P93的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证．
四、课堂引入
1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？
平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？
你能总结出平行四边形的定义吗？
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边
形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作
“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．
①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；
②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）．
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）
2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．
让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？
（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．
（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）
（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．
下面证明这个结论的正确性．
已知：如图ABCD，
求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．
分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．
（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）
证明：连接AC，
∵ AB∥CD，AD∥BC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．
又 AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA （ASA）．
∴ AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．
又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，
∴∠BAD＝∠BCD．
由此得到：
平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．
平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．
五、例习题分析
例1（教材P93例1）
例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，
求证：AF=CE．
分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．
证明略．
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．
①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；
②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）．
例1（教材P93例1）
例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．。