常见函数的导数.ppt
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3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
【课件】5.2.1 基本初等函数的导数 5.2.2 导数的四则运算法则人教A版选择性必修第二册
31
[思路探究] (1)先求导，列方程求解． (2)先求导，由条件可知 1，2 是导函数的两个零点．
32
(1)B (2)f (x)＝2x3－9x2＋12x [(1)∵f (x)＝x2a＋x 3，∴f ′(x)＝ ax2＋x2＋3－322ax2＝3xa2－＋a3x22.∵f ′(1)＝12，∴3a4－2 a＝12，
(2)积的导数
①[f (x)g(x)]′＝__f_′_(x_)_g_(x_)_＋__f _(x_)_g_′(_x_)； ②[cf (x)]′＝_c_f _′(_x_) ．
10
(3)商的导数
gfxx′＝
f′xgx－fxg′x [gx]2
(g(x)≠0)．
11
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
解得 a＝4.故选 B.
33
(2)因为 f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，
3a＋2b＋c＝0，
f (1)＝5，所以12a＋4b＋c＝0， a＋b＋c＝5，
a＝2，
解得b＝－9， c＝12.
故函数 f (x)的解析式是 f (x)＝2x3－9x2＋12x.]
34
15
4．设函数 f (x)在(0，＋∞)内可导，且 f (ex)＝x＋ex，则 f ′(1)＝ ________.
2 [法一：令 ex＝t(t＞0)，则 x＝ln t．∵f (ex)＝x＋ex，∴f (t)＝ln t＋t，∴f ′(t)＝1t ＋1，∴f ′(1)＝1＋1＝2.
法二：对函数两边同时求导，得 f ′(ex)＝1＋ex，令 x＝0，得 f ′(e0) ＝f ′(1)＝1＋e0＝2.]
三次函数求导问题 由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次函数 的图象和性质结合起来就很容易理解了.这类题目比较受学生的青 睐，解题时应回顾二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项 系数对图象的影响等.
导数的运算法则PPT教学课件
• 能利用给出的基本初等函数的导数公式表 和导数的四则运算法则求简单函数的导数
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
最新人教版高中数学选修1.2.2-基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (2)ppt课件
c(x)=5284/(100-x) (80<x<100)．
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变 化率：
（１）９０％；（２）９８％。
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函
数的导数．
c( x)
5284 100 x
5284
100 x2
c90
5284
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x); 例1: 求下列函数的导数(1)y=x3+sinx
(2)y=x4y-x'2-x+33.x 2 cos x
y' 4x3 2x 1
法则2:
f (x) g(x)' f ' (x) g(x) f (x) g '(x)
②y＝ln3 ex＋2 ④y＝sin(x2＋1) ⑥y＝4 3－lnx
[解析] ①y＝au，u＝3x＋2
③y＝log2u，u＝x2－2x＋3 ④y＝sinu，u＝x2＋1 ⑤y＝eu，u＝x2－2
[例 2] 求下列函数的导数 (1)y＝(3x－2)2 (2)y＝ln(6x＋4) (3)y＝e2x＋1 (4)y＝ 2x－1 (5)y＝sin3x－4π (6)y＝cos2x
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点 P6π，1处的切线的斜率
k＝
＝24sin26π·cos6π＝3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3 3x－π6，即 6 3x－2y－ 3π＋2＝0.
练习
一、选择题
1．y＝12(ex＋e－x)的导数是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变 化率：
（１）９０％；（２）９８％。
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函
数的导数．
c( x)
5284 100 x
5284
100 x2
c90
5284
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x); 例1: 求下列函数的导数(1)y=x3+sinx
(2)y=x4y-x'2-x+33.x 2 cos x
y' 4x3 2x 1
法则2:
f (x) g(x)' f ' (x) g(x) f (x) g '(x)
②y＝ln3 ex＋2 ④y＝sin(x2＋1) ⑥y＝4 3－lnx
[解析] ①y＝au，u＝3x＋2
③y＝log2u，u＝x2－2x＋3 ④y＝sinu，u＝x2＋1 ⑤y＝eu，u＝x2－2
[例 2] 求下列函数的导数 (1)y＝(3x－2)2 (2)y＝ln(6x＋4) (3)y＝e2x＋1 (4)y＝ 2x－1 (5)y＝sin3x－4π (6)y＝cos2x
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点 P6π，1处的切线的斜率
k＝
＝24sin26π·cos6π＝3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3 3x－π6，即 6 3x－2y－ 3π＋2＝0.
练习
一、选择题
1．y＝12(ex＋e－x)的导数是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
高中数学选择性必修二 课件 5 2 1基本初等函数的导数 5 2 2导数的四则运算法则课件(共张)
[跟进训练] 3．如图中有一个图象是函数 f (x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R， 且 a≠0)的导函数的图象，则 f (－1)＝( )
(1)
(2)
(3)
A．13 B．－13 C．73 D．－13或53
B [f ′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，图(1)与图(2) 中，导函数的图象的对称轴都是 y 轴，此时 a＝0，与题设不符合， 故图(3)中的图象是函数 f (x)的导函数的图象．由图(3)知 f ′(0)＝0，由 根与系数的关系得－ a＋a＋ 11a－－1a＝－01，＞0， 解得 a＝－1.故 f (x)＝13x3 －x2＋1，所以 f (－1)＝－13.]
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二 是注意函数符号的变化.
1．给出下列命题：
①y＝ln 2，则 y′＝12；
②y＝x12，则 y′|x＝3＝－227；
③y＝2x，则 y′＝2xln 2； ④y＝log2x，则 y′＝xln1 2.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3
合作 探究 释疑 难
利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数．
(1)y＝cos
π6；(2)y＝x15；(3)y＝
x2 ； x
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cosπ2－x.
[解] (1)∵y＝cos π6＝ 23，∴y′＝0. (2)∵y＝x15＝x－5，∴y′＝－5x－6. (3)∵y＝ x2x＝x12＝x32，∴y′＝32x12.
【例 2】 求下列函数的导数： (1)y＝x3＋sin x；(2)y＝3x2＋xcos x；(3)y＝xx＋ －11. [解] (1)y′＝(x3＋sin x)′＝(x3)′＋(sin x)′＝3x2＋cos x. (2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝(3x2)′＋(xcos x)′ ＝3×2x＋x′cos x＋x(cos x)′ ＝6x＋cos x－xsin x. (3)y′＝xx＋ －11′＝x＋1′x－1x－－1x2＋1x－1′＝－x－212.
3.2.1几个幂函数的导数_课件-湘教版数学选修1-1
(3)(x2)′＝2x y′＝2x表示函数y＝x2图象上点(x，y)处切线的斜率为2x，说 明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为 函数在一点的瞬时变化率来看，y′＝2x表明：当x＜0时，随着x 的增加，y＝x2减少得越来越慢；当x＞0时，随着x的增加，y＝x2 增加得越来越快． 若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y′＝2x可以解释为某 物体作变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.
点评 对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式
为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝
1 x4
可以写成
等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求 导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
1．求曲线y＝31x2在点P27，19处的切线斜率．
题型二 可化为基本初等函数的求导 【例2】 求下列函数的导数： (1)y＝log4x3－log4x2； (2)y＝2x2x＋1－2x； (3)y＝－2sin2x(2sin24x－1)．
自主探究 求函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的导数．
提示 f′(x)＝(sin x)′＝cos x，g′(x)＝(cos x)′＝－sin x. 要注意在这两个函数的导数公式中符号的区别． 另外可以发现，若令f1(x)＝sin x，fk＋1(x)＝[fk(x)]′(k∈N＋)， 则f2(x)＝cos x，f3(x)＝－sin x，f4(x)＝－cos x，f5(x)＝sin x，于是 函数fk(x)(k∈N＋)的结果具有周期性(周期为4)．
几个幂函数的导数 一些初等函数的导数表
1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数 的方法．
2．掌握常见函数的导数公式． 3．灵活运用公式求某些函数的导数．
第一部分 第3章 3.2 3.2.1 常见函数的导数
6．若曲线
y＝x
1 2
在点(a，a
1 2
)处的切线与两坐标轴围成的三
角形的面积为 18，求 a 的值．
解：y′＝－12x
3 2
(x>0)，故在点(a，
a
1 2
)处的切线的斜率
k＝－12a
3 2
，
所以切线方程为
y－a
1 2
＝－12a
3 2
(x－a)，
易得切线在
x
轴，y
轴上的截距分别为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)∵2－x＝12x，
∴f′(x)＝12x′＝12xln12＝－12xln 2.
(3)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝x·l1n 2. (4)∵y＝－2sinx21－2cos2x4 ＝2sinx22cos2x4－1 ＝2sinx2cosx2＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x.
[一点通] (1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况： ①求曲线在点 P 处的切线方程，P 为切点，在曲线上； ②求过点 P 与曲线相切的直线方程，P 不一定为切点，不一定 在曲线上． (2)求曲线上某点(x0，y0)处的切线方程的步骤： ①求出 f′(x0)，即切线斜率； ②写出切线的点斜式方程； ③化简切线方程． (3)求过点 P 与曲线相切的直线方程的步骤： ①设出切点坐标为(x0，y0)； ②写出切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0)； ③代入点 P 的坐标，求出方程．
2．基本初等函数的求导公式 (1)(xα)′＝__α_x_α_－_1 (α 为常数)； (2)(ax)′＝_a_x_l_n_a_ (a＞0，且 a≠1)； (3)(logax)′＝_1x_l_o_g_ae_＝xln1 a(a＞0，且 a≠1)； (4)(ex)′＝_e_x_；
《高中数学导数讲解》课件
积分
导数是积分的基础，通过 求导可以推导出原函数的 表达式。
微分方程
导数在解决微分方程问题 中起到关键作用，如物理 中的动力学问题。
THANKS
感谢观看
பைடு நூலகம்
高中数学导数讲解
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的实际应用 • 导数的扩展知识
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处 的导数定义为$f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$，其中$Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)$ 。导数表示函数在点$x_0$处的切线斜率。
01
02
03
起源
导数最初由牛顿和莱布尼 茨在17世纪分别独立发现 ，为微积分学奠定了基础 。
早期发展
18世纪，欧拉、拉格朗日 等数学家进一步发展了导 数理论，将其应用于函数 研究。
现代应用
随着数学的发展，导数在 物理、工程、经济等领域 得到广泛应用，成为解决 实际问题的重要工具。
导数的其他性质
导数的几何意义
详细描述
在物理中，导数具有实际意义。例如，物体运动的瞬时速度 可以由速度函数的导数表示，物质扩散的瞬时速度可以由扩 散函数的导数表示。导数可以描述物体或物质在极短时间内 速度或加速度的变化。
02
导数的计算
切线斜率与导数
切线斜率
导数描述了函数在某一点的切线斜率 ，即函数在该点的变化率。
人教新课标版数学高二课件 3.2 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
x＝
1x＝x
1 2
，
∴y′＝
1
x
3 2
.
2
解答
(2)y＝2cos22x－1. 解 ∵y＝2cos22x－1＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
解答
类型二 导数公式的应用 命题角度1 求切线方程 例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，请说明理由.
解答
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用 (1)切点处的导数是切线的斜率. (2)切点在切线上. (3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练2 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一 个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为 k1＝ y' |xx0 ＝cos x0，k2＝ y' |xx0 ＝－sin x0. 要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的. 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
f′(x)＝_α_x_α－__1
f(x)＝sin x
f′(x)＝_c_o_s _x_
f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝－__s_i_n_x_
f′(x)＝ axln a(a>0)
f′(x)＝_ex_ 1 f′(x)＝_x_ln__a_(a>0，且a≠1)
解答
常见函数的导数
3 (������)′= ������ 4 (������2)′= ������������ 5 (������3)′= ������������������
6
(1)′=
������
−
������ ������������
(������−1)′= − ������−2
7 ( ������)′= ������
(������������)′= ������������ ln ������ (������������)′= ������������
（ ������ >0且≠1） 指数函数
(log������ ������)′=
(ln ������)′=
1 ������
1 ������
log������
������
=
������−0 1−0
,即
2x-y-1=0
当������0=-1，切线过两点(-1,1)和(0,-1),由两点式方程得切线方程为���1���++11
=
������−0 −1−0
,即
2x+y+1=0
总结回顾 7个基本初等函数求导公式
(������������)′= ������������������−������ （ ������ 为常数） 幂函数
������′ ������ = ������������
2 ������ ������ = ������������ + ������ （k,b为常数）
������′ ������ = ������
4 ������ ������ = ������3
������′ ������ = ������������������
5.2.1基本初等函数的导数课件(人教版)
2. 若f ( x) x,则f ( x) 1；
3. 若f ( x) x2 ,则f ( x) 2x；
4. 若f ( x) x3 ,则f ( x) 3x2；
5. 若f
x
1 x
,则f
x
1； x2
6. 若f x x ,则f x 1 .
2x
推广: 若y f ( x) x，则 y x1
O
x
从物理的角度理解：
若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某物体做瞬 时速度为1的匀速运动.
探究
在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x, y=3x, y=4x的图象,并根 据导数定义,求它们的导数.
(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?
y y=4x y=3x
(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪 一个增加得最慢?
基本初等函数的导数公式
1. 若f ( x) c,则f ( x) 0
2. 若f ( x) xn ,则f ( x) nxn1(n R)
3. 若f ( x) sin x,则f ( x) cos x
4. 若f ( x) cos x,则f ( x) sin x
5. 若f ( x) a x ,则f ( x) a x ln a
某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.
4. 函数y f ( x) x3的导数
因为y f ( x x) f ( x) ( x x)3 x3
x
x
x
x3 3x2 x 3x (x)2 (x)3 x3 x
3x2 3x x (x)2,
所以y
lim
x0
y x
lim
x0
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导数运算法则PPT精品课件
B．长．长度不变，但顺序改变
精典例题
5.诱发突变与自然突变相比，正确的是 D
A．都是有利的 B．都是定向的 C．都是隐性突变 D．诱发突变率高
精典例题
4、人类能遗传给后代的基因突变常
发生在
C
A.减数第一次分裂
B.四分体时期
C.减数第一次分裂的间期
D.有丝分裂间期
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个
函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即:
f (x)
g
(
x)
f
(
x)
g
(x) f (
g(x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
y
1 x2 (1 x2 )2
;
(4) y 6x3 x ; 1 x2
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= 1 t 4
-4t3+16t2.
4
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
DNA分子中的碱基对发生变化 这种变化可否遗传? 如何遗传？
mRNA分子中的碱基发生变化 可以遗传
相应氨基酸的改变 相应蛋白质的改变
突变后的DNA分 子复制,通过减数 分裂形成带有突 变基因的生殖细 胞,并将突变基因 传给下一代.
常数与幂函数的导数、导数公式表PPT教学课件
3．指数函数的导数 (ax)′＝axlna，特别地(ex)′＝exlne＝ex. 4．对数函数的导数 f(x)＝logax 的导数 f′(x)＝xl1na. 特别地，自然对数函数 f(x)＝lnx 的导数为(lnx)′＝1x.
曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线斜率为( )
A．1
B．2
C．e [答案] A
以上几个常见幂函数的导数，由它们的形式可以推测出幂
函数的导数公式：(xn)′＝nxn－1(n∈Q)．
注意：(1)y＝xn 中，x 为自变量，n 为常数．
(2)公式中 n∈Q，对于 n∈R 公式也成立．
(3)特别注意 n 为负数或分数时，求导不要搞错，如(1x)′＝
－x12，(
x)′＝21
等． x
• 函数f(x)＝0的导数是( ) • A．0 B．1 • C．不存在 D．不确定 • [答案] A • [解析线方程．
[解析]
4
3
y′＝( x3)′＝(x4
)′＝34·x－14
＝
3
4
，
4x
∴经过点 A(16,8)的切线的斜率
k＝y′|x＝16＝
3
4
＝38，
4 16
∴曲线的切线方程为 y－8＝38(x－16)
即 3x－8y＋16＝0.
•导数公式的应用
求过曲线 y＝sinx 上的点 Pπ4， 22且与在这点处 的切线垂直的直线方程．
[答案]
－
3 2
[解析] ∵y′＝(cosx)′＝－sinx，
∴y′|x＝π3＝－sinπ3＝－
3 2.
基本初等函数的导数公式总结如下： (1)若 y＝C，则 y′＝0； (2)若 y＝xn(n∈N)，则 y′＝nxn－1； (3)若 y＝xu(x>0，μ∈Q，μ≠0)，则 y′＝μxμ－1； (4)若 y＝ax(a>0，a≠1)，则 y′＝axlna； (5)若 y＝ex，则 y′＝ex；
数学分析--导数 ppt课件
数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单 侧导数的概念。
定义 2 设函数 y f (x) 在点 x0 的某右邻域 (x0 ,x 0 δ)上有定义，若右
极限 或
l i m Δ y l i m f ( x0 Δ x ) f ( x0 ) (0＜ x ＜ )
Δ x Δx 0
理 5.1， f(x) x 在 x x 0 0 处不可导。
当 x0 0 时，由于 D(x) 为有界函数, 因此得到
f(0)
lim
f(x)
f(0)
li
mxD(x)
0.
x0 x 0
x 0
ppt课件
下页 18
（二）函数在一点的单侧导数
类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函
dx
dx
运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，相应于上述各种
表示导数的形式，f |x x 0 或
dy dx
|xx0
。
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下页 23
例 6 证明：
(i) ( xn ) nxn1, n 为正整数 ;
(ii) (sinx) cosx , (cosx) sinx
(iii)
y 1
－1/π
0
1/π
x
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下页 22
（三）导函数 若函数在区间 I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称 f
为 I 上的可导函数。此时对每一个χ∈I，都有 f 的一个导数 f '(x) （或单侧导数）与之
对应，这样就定义了一个在 I 上的函数，称为 f 在 I 上的导函数，也简称为导数，记作
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则-课件
＝－sin 2x.
题型三 求较复杂函数的导数 例3 求下列函数的导数：
(1)y＝2x2sin(2x＋5)； (2)y＝a3x·cos(2x＋1)． 【解】 (1)由于[sin(2x＋5)]′＝cos(2x＋5)·(2x＋5)′ ＝2cos(2x＋5)， ∴y′＝(2x2)′sin(2x＋5)＋2x2[sin(2x＋5)]′ ＝4xsin(2x＋5)＋4x2cos(2x＋5)．
所以 f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
12x20＋2x0＝3ln x0＋b. ∴
x0＋
2＝3 . x0
由
x0＋
2＝ 3 得， x0
x0＝
1，或
x0＝－ 3(舍去 )，
所以 b＝52.
(2)y＝f(x)(x＞ 0)， y＝ g(x)(x＞ 0)
在 且公f′共(x点)＝(xx0，＋y20a)处 ，的g′切(x线)＝相3x同a2，，
x .
(3)y′＝(ex)′ (x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)′
＝e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(4x3－ 6x－ 5)
＝e x(x4＋ 4x3－ 3x2－ 11x＋ 1)．
(4)y＝x－12sin x，
∴y′＝1－12cos x.
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：
的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切
线，用 t 表示 a，b，c.
解：∵函数 f(x)，g(x)的图象都过点 P(t,0)， ∴f(t)＝0，即 t3＋at＝0. ∵ t≠ 0，∴ a＝－ t2. 又 g(t)＝0，即 bt2＋c＝0，∴c＝ab. 又∵ f(x)， g(x)在点(t,0)处有 相同的切线， ∴ f′(t)＝ g′ (t)． 而 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx， ∴ 3t2＋ a＝ 2bt. 将 a＝－t2 代入上式得 b＝t. ∴ c＝ ab＝－ t3.
题型三 求较复杂函数的导数 例3 求下列函数的导数：
(1)y＝2x2sin(2x＋5)； (2)y＝a3x·cos(2x＋1)． 【解】 (1)由于[sin(2x＋5)]′＝cos(2x＋5)·(2x＋5)′ ＝2cos(2x＋5)， ∴y′＝(2x2)′sin(2x＋5)＋2x2[sin(2x＋5)]′ ＝4xsin(2x＋5)＋4x2cos(2x＋5)．
所以 f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
12x20＋2x0＝3ln x0＋b. ∴
x0＋
2＝3 . x0
由
x0＋
2＝ 3 得， x0
x0＝
1，或
x0＝－ 3(舍去 )，
所以 b＝52.
(2)y＝f(x)(x＞ 0)， y＝ g(x)(x＞ 0)
在 且公f′共(x点)＝(xx0，＋y20a)处 ，的g′切(x线)＝相3x同a2，，
x .
(3)y′＝(ex)′ (x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)′
＝e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(4x3－ 6x－ 5)
＝e x(x4＋ 4x3－ 3x2－ 11x＋ 1)．
(4)y＝x－12sin x，
∴y′＝1－12cos x.
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：
的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切
线，用 t 表示 a，b，c.
解：∵函数 f(x)，g(x)的图象都过点 P(t,0)， ∴f(t)＝0，即 t3＋at＝0. ∵ t≠ 0，∴ a＝－ t2. 又 g(t)＝0，即 bt2＋c＝0，∴c＝ab. 又∵ f(x)， g(x)在点(t,0)处有 相同的切线， ∴ f′(t)＝ g′ (t)． 而 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx， ∴ 3t2＋ a＝ 2bt. 将 a＝－t2 代入上式得 b＝t. ∴ c＝ ab＝－ t3.