《线性代数》作业参考答案

1 4 3
A 1
A A
(1)A
1
1
5 6
3 4
6．解：计算 A 的特征多项式：
1 a 3 f () E A 1 4 3 ( 2)(2 8 10 a)
1 2 5
由题设 f () =0 有重根，故分两种情况：
（1） 2 是重根，则 g() 2 8 10 a 含有 ( 2) 因子， g(2) 0 f () ( 2)2( 6) 得 a=2,此时可得出 R(2E A) 1 ，
3
0 0 1
0 2 1 记 B 0 1 3 既有 AP PB
0 2 1
故此时，A 不能与对角矩阵相似。
11 10
0 1 1
0 0 1 1
7．解： D
1 0 1 4
0 1 0 1
1 11
01 11
2 1 1 8．解： A 2 1 0 3 ，求 A 的伴随矩阵 A 的元素。
1 1 1
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A11 1 A2 2
A13 3
A21 0
A22 3
A23 3
A1
1 A
A
A
A11 A12
A13
A21 A22 A23
A31 4 3 2 A32 8 6 5 A33 7 5 4
1 3．解：（1）令 1 0
2
2 2 1 ，则 B (1, 2 ) ，由题设 AB 0 ，既有
0
A1 0, A2 0 ，这表示 1, 2 是 A 的属于特征值 0 的特征向量。取 3 (1,1,1)T ; 由题设 A 的每行元素之和为 3，则 A3 33 即 3是A 的特征值为 3 的特征向量，又
பைடு நூலகம்左乘 A 得，
(0 1 nr )b 0, 有 0 1 nr 0, 于 是 11 22 nr nr 0, 可 得 0 ,1,2 ,,nr 线性无关。 5．显然 k00 k11 k22 knrnr 是解；另一方面，设 为任一
0 k11 k2 2 knr nr [1 (k1 knr )]0 k11 k22 knrnr
10．2，-2
11．k= 5 7
12． a1 a2 a3 a4 0
0 0 0 1
4
13. -9 ； 14. 3 ；
15.
A 1
1 0
0 1
2 0
0 3
2
1
0 0
0
3
2 1 2 16. 81； 17. 299 4 2 4 ； 18. 2；
2 1 2
三、证明题
1．证：由题设 A 是三阶方阵， A 1 ， 4
1 21 0 1 1 1 0 ，故 1，2，3 线性无关。这表示 3 阶方阵有 3 个线性无关的特征向量， 2 0 1
所以 A 能与对角矩阵相似。
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0 0 0
（2）由（1） 令 P (1, 2 , 3 ) ， P 可逆，且 P 1 AP 0 0 0
0 0 3
0 0 0 1 2 10 0 0 1 2 1 6 12 3
四、计算题
1．解： A 3B 1 31,4 2 ,4 n
4n1 1 31, 2 , n 4n1 (`1, 2 , n 3 1, 2 n ) = 4n1(1 9) 2n1 。
1 2 3 2．解： A 3 2 4 1，
2 1 0
A 的代数余子式：
A11 4, A12 8, A13 7, A21 3, A22 6, A23 5, A32 5, A33 4
A31 1
A32 2
A 1
A A
1 A 3
1 3
A11 A12 A13
9．（1）证：令 P (1,2 ,3 )
A33 0
1 0 1
A21 A22 A23
A31 A32 A33
3 2
3 1
3
1
2 3
1 0
则 AP (0 21 2
1 32 3 )
0 2 1
= 1, 2 ,3 0 1
《线性代数》作业参考答案
一、选择题 1．D 2．B 7．B 8．B
二、填空题 1．相等
3．A 9 ．A
4．D 10．C
5．B 11．D
6．C 12．B
2．
C
k m
C
k n
;
3．n 个线性无关的特征向量；
4．不变
5．t=-3
6． P1 AP B
n ( n 1)
7． (1) 2 12 n
8． k 1 9． 1且 2
(2A)1 A 1 A1 A A1 1 A1 ( 1 )3 A1 ( 1 )3 1 ( 1 )2 A 2 。
2
4
4
4A4
2．证：由 A2 3A 4E 0 ，即： A2 3A 4E
A(A 3E) 4E 3．证：由题设： AAT AT A E
A(1 A 3 E) E 44
A P0
0
0
P
1
0
1 10 0 0 2
3
1 6 12 3
0 0 3
2 0 10 0 3 2 4 1 6 12 3
4．解： D an (1)n1bn （按第一列展开）
2 23 5．解： A 1 1 0 1
1 2 1
求伴随矩阵 A A 的代数余子式： A11 1, A12 1, A13 1, A21 4, A22 5, A23 6, A31 3, A32 3, A33 4
BBT BT B E
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即 A 可逆，且 A1 1 A 3 E 。 44
所以 A B BBT A BAT A B(BT AT )A B (B A)T A A 2 A B
即： (1 A 2 ) A B 0 只有 A B 0 证毕。
4．因 A 0 b, A i 0,i 1,2,, n r ，则 Ai b, 因此0 ,1,2 ,,nr 是方程组(*)的线性无关解。 设 00 11 22 nr nr 0, 则 (0 1 nr )0 1 1 2 2 nr nr 0, 两 边
所以属于 ( 2) 的特征向量的重数 3-1=2, 加之特征根 6 的特征向量，
A 有 3 个线性无关的特征向量，故此时 A 能与对角矩阵相似。
（2） 2 不是重根，则 2 8 10 a 是完全平方项，由此得 a=6, 此时 f () ( 2)( 4)2 即对应 4 的无关向量个数为 3-2=1，