高考数学复习课题：复数的有关概念.doc

第84课时课题：衣敷的帘采概念

一.教学目标：

1.使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念.掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；

2.常握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；

3.掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法.

4.通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力.

5.通过数的概念的发展，复数、复平而内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育.

二.教学重点：复数三角形式表示法及复数的运算法则，复数与实数的区别和联系。

三.教学过程：

（一）主要知识：

1.数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共辘复数、模）；

2.复数的代数表示与向量表示；

3.复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；

4.复数集屮解实系数方程（包括•一元二次方程、二项方程）。

复数在过去儿年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。

从近儿年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的儿何表示及复向暈的运算。主要考点为复数的模与辐角主值，共觇复数的概念和应用。若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及儿个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。有关复数n次乘方、求辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。

复数的运算是高考中复数部分的热点问题。主要考查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。

基于上述情况，我们在学习“复数” 一章内容时，要注意以下几点：

（1）复数的概念几乎都是解题的手段。因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复数概念上下功夫。除去复数相等、模、辐角、共轨

等外，还聲注盍一埜重更而常不弓jn.若有讥丄

X

<4性就是说卄去吐丽且1R快刽甥到”右“丘^片磁圧

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复数的三角形式和代数式，提供了将“复数问题实数化”的手段。

复数的儿何意义也是解题的一个重要手段。

（2）对于涉及知识点多，与方程、三角、解析几何等知识综合运用的思想方法较多的题型，以及复数本身的综合

题，一直成为学生的难点，应掌握规律及典型题型的技巧解法，并加以强化训练

以突破此难点；

(3) 重视以下知识盲点：

① 不能正确理解复数的几何意义，常常搞错向量旋转的方向； ② 忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数；

③ 盲目地将实数范围内数与形的一些结论，不加怀疑地引用到复数范围屮来；

④ 容易混淆复数的有关概念，如纯虚数与虚数的区别问题，实轴与虚轴的交集问题，复数辐角 主值的范围问题等。 (二)

知识点详析

1. 知识体系表解

/复数的相等

复数的辐角 共辘复数

'复数的模

2. 复数的有关概念和性质:

(1) i 称为虚数单位，规定z 2 =-1 ,形如a+bi 的数称为复数，其中a, bWR.

(2) 复数的分类(下面的a, b 均为实数)

〔分类

，实数 '虑数纯虚数 表示法

代数形式

三角形式

实数

虚数单

位i

'代数形式表示的复数的运算: 复数的」

运算1

加.減、乘5除 三角形式表示的复数的运算: X 乘S 除、乘方、开方

复平面， 表示法\向量

r 加法运算的几何意义 _

减法运算的几何意义

复数的运算 < 乘法运算的几何意义

除法运算的几何意义 In 次方根的几何意义

应用

•复数集中的方程

a 4-bi a = Q)

G>=m

(3)复数的相等设复数Z] =a A +bj, z2 =a2 +b2i(a^b^a2,b2G R),那么z} = z2的充要条件是:

特耳!■ s = a+bt ^>a = b = O.

(4)复数的几何表示复数z=a+bi (a, bWR)可用平面直角坐标系内点Z(a, b)来表示.这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴.这样，全体复数集C与复平面上全体点集是——对应的.

何共规賈SU •滿帧SU P F的彌劇氐记利那血验劝it复平画上的克关于卿I)捋・且

(Dx + z = 2a> e-c = 2bi v a = a a 4-b11 ®z=iOz€ R.

(6)則ft的模与砂的向■聽示称=

记为|环复数的模启旳实数.特別牛00尸0・

复数z=a+bi(Q,bw/?)・在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a, b)

为终戌的向量&耒农示. 層5对面内所有臥澤点尢起克的侨有

向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O,看成零向量).

(7)复数与实数不同处

①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小.

②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方.而复数对四则运算和开方均通行无阻.

3.有关计算：

⑴7〃(〃AT)怎样计算？(先求n被4除所得的余数，严U (kwN丘N))

⑵吩-”乎、叱弓-爭是1的两个虚立方根,并且:

69, = CO2 (02= 0)} © + g = —1

⑶ 复数集内的三角形不等式是：llzj-^l < |z, ±z2| < |z,| + |z2| ,其中左边在复数Z" Z?

对应的向量共线月.反向(同向)时取等号,右边在复数勺、Z\对应的向量共线月.同向(反向)时取等号。

(4)棣莫佛定理是:[r(cos& + Zsin&)]" = r n(cosnO+ ismn0)(ne Z)