中考中考数学复习方案 19 等腰三角形

解 析 (1)利用△BDC≌△CEB 证明 ∠DCB＝∠EBC；(2)连接AO，通过HL证明 △ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO， 利用角平分线上的点到角两边的距离相等， 证明结论．
解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°. 又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)． ∴∠EBC＝∠DCB, ∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形．
定理2
等腰三角形顶角的平分线、底边上的__中__线____ 和底边上的高互相重合，简称“三线合一”
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第19课时┃ 反比例函数
(1)等腰三角形两腰上的高相等
(2)等腰三角形两腰上的中线相等
(3)等腰三角形两底角的平分线相等
(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 拓展
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第19课时┃ 反比例函数
方法点析 (1)等腰三角形的性质揭示了三角形中边与角的转化关系，
由两边相等转化为两角相等，是证明两角相等的常用方法； (2)等腰三角形“三线合一”是证明两条线段相等、两个角
相等以及两条直线互相垂直的重要依据．
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探究一 等腰三角形的性质的运用 命题角度： 1. 等腰三角形的性质； 2. 等腰三角形“三线合一”的性 质． 例1 [2013·温州 ]如图19－1，在等腰三角形ABC中，AB＝ AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点 E，EF⊥AB，垂足为F. 求证：EF＝ED.
①∵AB＝AC＝2，AO⊥BC，∠BAC＝120°， ∴OB＝OC，∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝60°，
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第19课时┃ 反比例函数
∴取A(1，0)关于y轴的对称点P(－1，0)，则PB＝AB， PC＝AC，∠BPA＝∠BAP＝60°，
∴PB＝AB＝PC＝AC， ∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形． ②∵P(3，0)，A(1，0)， ∴BA＝AP＝AC＝2. 又∵∠BAP＝∠CAP， ∴△BAP≌△CAP. ∴BP＝CP. ∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．
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命题角度： 1．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底边之分，
角有底角和顶角之分； 2．遇到等腰三角形的高线问题要考虑高在形内和形外两
种情况．
例3 [2013·毕节 ] 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为
8，则这个等腰三角形的周长为( C )
A．16 B．20或16 C．20
D．12
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(2)遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，
角有底角和顶角之分；
(3)遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况．
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第19课时┃ 反比例函数
中考预测
等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是 ( B)
A．80°
B．80°或20°
C．80°或50° D．20°
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第19课时┃ 反比例函数
方法点析 等边三角形中隐含着三边相等和三个角都是60°等条
件，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全 等．
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第19课时┃ 反比例函数
探究五 等腰三角形的创新应用 命题角度： 等腰三角形性质“等边对等角”与“等腰三角形的三线 合 一”的运用． 例5 如图19－4，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝ 120°，点A的坐标是(1，0)，点B、C在y轴上，在x轴上是 否存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形？ 如果存在，请写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
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第19课时┃ 反比例函数
方法点析 要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等
，而得到两边相等的方法主要有：(1)通过等角对等边得 两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直 平分线的性质得两边相等．
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第19课时┃ 反比例函数
探究三 等腰三角形的多解问题
(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰 上的高
(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于 一腰上的高
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第19课时┃ 反比例函数
考点2 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 定理
的边也相等(简写成：_等__角__对__等__边___) (1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰 三角形
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第19课时┃ 反比例函数
解 析 根据等腰三角形三线合一，确定 AD⊥BC.又因为EF⊥AB，然后根据角平分线上的 点到角的两边的距离相等可证明结论．
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC. ∵BG平分∠ABC，EF⊥AB， ∴EF＝ED.
图19－1
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第19课时┃ 反比例函数
解 析 先由等腰三角形三线合一的性
质得出OB＝OC，∠OAB＝∠OAC＝60°，
再取∠BPA＝BAP＝60°，所以PB＝AB＝
PC＝AC，从而根据等腰三角形的定义得出
△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．
图19－4
解：在x轴上存在点P(－1，0)，P(3，0)使△PAB、 △PBC、△PAC都是等腰三角形．理由如下：
(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角 拓展
形是等腰三角形
(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三 角形是等腰三角形
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考点3 等边三角形
定义 三边相等的三角形是等边三角形
等边三角形的各角都__相__等__，并且每一个角都等于 性质 ___6_0_°_
探究二 等腰三角形的判定
命题角度： 等腰三角形的判定．
例2 [2011·扬州 ] 已知：如图19－2，锐角△ABC的两条高 BD、CE相交于点O，且OB＝OC. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上， 并说明理由．
图19－2
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等腰三角形中的角度计算 教材母题
如图19－5，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝ 26°.求∠B与∠C的度数．
解 析 由题意，在△ABC中， AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，根据 等腰三角形的性质可以求出底角，再 根据三角形内角与外角的关系即可求 出内角∠C.
等边三角形是轴对称图形，有___3___条对称轴
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形 判定
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
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考点4 线段的垂直平分线
经过线段的中点且与这条线段垂直的直线叫做这条线段的 定义
垂直平分线 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 性质 ___相_等____ 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 判定 _垂__直__平__分__线__上 实质 线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点___距__离__相_等___ 构成 的所有点的集合
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探究四 等边三角形的判定与性质 命题角度： 等边三角形的判定与性质的综合． 例4 如图19－3，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、 AC上的点，且CD＝AE，AD与BE 相交于点P.
(1)求证：∠ABE＝∠CAD； (2)若BH⊥AD于点H，求证：PB＝2PH.
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第19课时┃ 反比例函数
(2)点O在∠BAC的平分线上．理由如下： 连接AO. ∵△BDC≌△CEB， ∴DB＝EC. ∵OB＝OC，∴ OD＝OE. 又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO(HL)． ∴∠DAO＝∠EAO. ∴点O是在∠BAC的平分线上．
图19－3
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解 析 (1)欲证∠ABE＝∠CAD，可以通过证明 △ABE≌△CAD得出；
(2)欲证PB＝2PH，因为BH⊥AD于点H，在Rt△PBH中根 据含30°的直角三角形的性质由∠BPH＝60°即可得到答案．
证明：(1)∵等边△ABC，∴AC＝AB，∠C＝∠CAB. ∵CD＝AE，∴△CAD≌△ABE. ∴∠CAD＝∠ABE. (2)∵∠BPH＝∠BAD＋∠ABP＝∠BAD＋∠CAD＝60°， 且BH⊥AD于点H，∴∠EBH＝30°. ∴在Rt△PBH中，PB＝2PH.
第19课时 等腰三角形
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考点1 等腰三角形的概念与性质
定义 有_两__边_相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰， 第三边为底 轴对 称性 等腰三角形是轴对称图形，有__1__条对称轴
等腰三角形的两个底角相等(简称为： 性质 定理1 ___等__边__对__等__角_____)
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图19－5
第19课时┃ 反比例函数
解 在△ABD 中，AB＝AD，
∴ ∠B＝ ∠ADB ＝(180°－ 26°)×1＝77°. 2
又∵在△ADC 中，AD＝DC，
∴ ∠C＝ 1∠ADB ＝77°×1＝38.5°.
2
2
[点析] (1)利用三角形的内角和定理求角的度数是一种
常用的方法；
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第19课时┃ 反比例函数
解 析 因为已知长度为4和8两边，没有明确哪 条边是底边哪条边是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
①当4为底时，其他两边长都为8，长为4、8、8的三条线段 可以构成三角形，周长为20；
②当4为腰时，其他两边长分别为4和8， ∵4＋4＝8， ∴不能构成三角形，故舍去．∴答案只有20. [点析] 因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶 角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况， 故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免 漏解情况．