经典计量经济学模型(放宽基本假定的问题)
4.1 多重共线性(计量经济学)
放宽基本假定的模型
说明
• 经典多元线性模型在满足若干基本假定的条件下， 应用普通最小二乘法得到了无偏、有效且一致的 参数估计量。
• 在实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本 假定的情况并不多见。不满足基本假定的情况， 称为基本假定违背。
• 对截面数据模型来说，违背基本假定的情形主要 包括：
•逐步回归法（Stepwise forward Regression）
– 以Y为被解释变量，逐个引入解释变量，构成回归 模型，进行模型估计。
– 根据拟合优度的变化决定新引入的变量是否独立。 • 如果拟合优度变化显著，则说明新引入的变量是 一个独立解释变量；
• 如果拟合优度变化很不显著，则说明新引入的变 量与其它变量之间存在共线性关系。
§4.1 多重共线性 Multicollinearity
一、多重共线性 二、实际经济问题中的多重共线性 三、多重共线性的后果 四、多重共线性的检验 五、克服多重共线性的方法 六、案例
一、多重共线性的概念
1、多重共线性
Yi 0 1Xi1 2 Xi2 k Xik i i 1, 2, , n
实际上：正态性假设的违背
• 李子奈（2011）：计量经济学模型方法论 – 当存在模型关系误差时，如果解释变量是随机的，随 机误差项的正态性将得不到保证。 – 当模型遗漏了显著的变量，如果遗漏的变量是非正态 的随机变量，随机误差项将不具有正态性。 – 如果待估计的模型是原模型经过函数变换得到的，随 机误差项将不再服从正态分布。 – 当模型存在被解释变量的观测误差，如果观测误差相 对于随机误差项的标准差特别大、样本长度又特别小， 随机误差项的正态性假设会导致显著性水平产生一定 程度的扭曲。 – 当模型存在解释变量观测误差时，一般情况下，随机 误差项的正态性假设都是不能成立的；只有在回归函 数是线性的，且观测误差分布是正态的特殊情形下， 随机误差项的正态性才成立。
中国海洋大学计量经济学放宽基本假定的模型详解演示文稿
五、异方差修正
模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘法
（Weighted Least Squares, WLS）进行估计。
• 加权最小二乘法的基本思想：
加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个 新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估计其参 数。
第十三页，共151页。
在采用OLS方法时:
各项统计检验指标全面改善
第三十页，共151页。
§4.2 序列相关性 一、序列相关性概念 二、实际经济问题中的序列相关性 三、序列相关性的后果 四、序列相关性的检验 五、案例
第三十一页，共151页。
一、序列相关性概念
对于模型
Yi=0+1X1i+2X2i+…+kXki+i 随机项互不相关的基本假设表现为
想与骤（以二元为例）：
然后做辅助回归：
可以证明，在同方差假设下： R2为(*)的可决系数，h为(*)式解释变量的个数，
表示渐近服从某分布。 注意：辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著性，因此，辅助回 归方程中还可引入解释变量的更高次方。
如果存在异方差性，则表明确与解释变量的某种组合有显著的相关 性，这时往往显示出有较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。 当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多解释变量，从 而使自由度减少，有时可去掉交叉项。
第三十四页，共151页。
i是满足以下标准OLS假定的随机干扰项：
由于序列相关性经常出现在以时间序列为样 本的模型中，因此，本节将用下标t代表i。
第三十五页，共151页。
二、实际经济问题中的序列相关性
1.经济变量固有的惯性
大多数经济时间数据都有一个明显的特点:惯性，
计量经济学课件-4.1.第四章经典单方程计量经济学模型-PPT文档资料
基本假定违背：不满足基本假定的情况。主要包括： （1）随机误差项序列存在异方差性； （2）随机误差项序列存在序列相关性； （3）解释变量之间存在多重共线性； （4）解释变量是随机变量且与随机误差项相关 （随机解释变量）； 此外： （5）模型设定有偏误 （6）解释变量的方差不随样本容量的增而收敛 计量经济检验：对模型基本假定的检验 本章主要学习：前4类
2、变量的显著性检验失去意义
变量的显著性检验中，构造了t统计量
其他检验也是如此。
3、模型的预测失效
一方面，由于上述后果，使得模型不具有 良好的统计性质；
所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计 值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大， 降低预测精度，预测功能失效。
五、异方差性的检验
• 检验思路：
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性 (Heteroskedasticity)。
二、异方差的类型
同方差性假定：i2 = 常数 f(Xi)
异方差时： i2 = f(Xi)
异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小
X
2、帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验
基本思想: 偿试建立方程： ~ 2 ~ | e f( X ) e f( X ) 或 i| ji i i ji i
选择关于变量X的不同的函数形式，对方程进行估 计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式， 使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。
由于异方差性就是相对于不同的解释变量观 测值，随机误差项具有不同的方差。那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项的方 差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的 “形式”。
计量经济学放宽基本假定的模型简炼后课件
• 回归分析，是在对线性回归模型提出若干基本 假设的条件下，应用普通最小二乘法得到了无 偏的、有效的参数估计量。
• 但是，在实际的计量经济学问题中，完全满 足这些基本假设的情况并不多见。
• 如果违背了某一项基本假设，那么应用普通 最小二乘法估计模型就不能得到无偏的、有效 的参数估计量，OLS法失效，这就需要发展新 的方法估计模型。
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五、异方差性的检验
• 检验思路：
检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解 释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。
•用什么来表示随机误差项的方差？
首 先 采 用O LS法 估 计 模 型 ， 以 求 得 随 机 误 差 项 的 估 计 量 （ 注 意 ， 该 估 计 量 是 不 严 格 的 ） ， 我 们 称 之 为 “ 近 似 估 计 量 ” ， 用 e ~i 表 示 。 于 是 有
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e~i2
e~i2
同方差
e~i2
X
X
递增异方差
e~i2
X 递减异方差
X 复杂型异方差
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残差序列分析
e
e
i
i
X k
X k
e
e
i
X k
e e
i
X k
i
X k
i
X k
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2. 帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验
基本思想: 尝试建立方程：
e~i2f(Xji)+i 或
|e~i |f(Xji)+i
+bk f(1Xji)Xk i+ f(1Xji)i
新模型中，存在
s V(a f( 1 X r j) i i) E (f( 1 X j) i i)2 f(X 1 j) iE (i)22
计量经济学放宽基本假定的模型回归例子
例4.1.4中国农村居民人均消费支出主要由人均纯收入来决定。
农村人均纯收入除从事农业经营的收入外，还包括从事其他产业的经营性收入以及工资性收入、财产收入和转移支付收入等。
为了考察从事农业经营的收入和其他收入对中国农村居民消费支出增长的影响，可使用如下双对数模型：μβββ+++=22110ln ln ln X X Y其中，Y 表示农村家庭人均消费支出，1X 表示从事农业经营的纯收入，2X 表示其他来源的纯收入。
表4.1.1列出了中国内地2006年各地区农村居民家庭人均纯收入及消费支出的相关数据。
表4.1.1 中国2006年各地区农村居民家庭人均纯收入与消费支出（单位：元）地区人均消费 支出Y从事农业经营的纯收入1X其他来源纯收入2X地区人均消费 支出Y从事农业经营 的纯收入1X其他来源纯收入2X北 京 5724.5 958.3 7317.2 湖 北 2732.5 1934.6 1484.8 天 津 3341.1 1738.9 4489.0 湖 南 3013.3 1342.6 2047.0 河 北 2495.3 1607.1 2194.7 广 东 3886.0 1313.9 3765.9 山 西 2253.3 1188.2 1992.7 广 西 2413.9 1596.9 1173.6 内蒙古 2772.0 2560.8 781.1 海 南 2232.2 2213.2 1042.3 辽 宁 3066.9 2026.1 2064.3 重 庆 2205.2 1234.1 1639.7 吉 林 2700.7 2623.2 1017.9 四 川 2395.0 1405 1597.4 黑龙江 2618.2 2622.9 929.5 贵 州 1627.1 961.4 1023.2 上 海 8006.0 532 8606.7 云 南 2195.6 1570.3 680.2 江 苏 4135.2 1497.9 4315.3 西 藏 2002.2 1399.1 1035.9 浙 江 6057.2 1403.1 5931.7 陕 西 2181.0 1070.4 1189.8 安 徽 2420.9 1472.8 1496.3 甘 肃 1855.5 1167.9 966.2 福 建 3591.4 1691.4 3143.4 青 海 2179.0 1274.3 1084.1 江 西 2676.6 1609.2 1850.3 宁 夏 2247.0 1535.7 1224.4 山 东 3143.8 1948.2 2420.1 新 疆2032.42267.4469.9河 南 2229.3 1844.61416.4注：从事农业经营的纯收入由从事第一产业的经营总收入与从事第一产业的经营支出之差计算，其他来源的纯收入由总纯收入减去从事农业经营的纯收入后得到。
第四章 放宽基本假定的模型
第四章 放宽条件下的计量模型一、 异方差性1. 中国农村居民人均消费支出主要由人均纯收入来决定。
农村人均纯收入除从事农业经营的收入外，还包括从事其他产业的经营性收入以及工资性收入、财产收入和转移支出收入等。
为了考察从事农业经营的收入和其他收入对中国农村居民消费支出增长的影响，可使用如下双对数模型：01122ln ln ln Y X X u βββ=+++其中Y 表示农村家庭人均消费支出，1X 表示从事农业经营的收入，2X 表示其他收入。
表4.1.1列出了中国2001年各地区农村居民家庭人均纯收入及消费支出的相关数据。
表4.1.1 中国2001年各地区农村居民家庭人均纯收入与消费支出地区 人均消费支出Y 从事农业经营的收入X 1 其他收入X 2 地区 人均消费支出Y 从事农业经营的收入X 1其他收入X 2 北 京 3552.1 579.1 4446.4 湖 北 2703.36 1242.92526.9 天 津 2050.9 1314.6 2633.1 湖 南 1550.62 1068.8875.6 河 北 1429.8 928.8 1674.8 广 东 1357.43 1386.7839.8 山 西 1221.6 609.8 1346.2 广 西 1475.16883.2 1088 内蒙古 1554.6 1492.8 480.5 海 南 1497.52919.3 1067.7 辽 宁 1786.3 1254.3 1303.6 重 庆 1098.39764 647.8 吉 林 1661.7 1634.6 547.6 四 川 1336.25889.4 644.3 黑龙江 1604.5 1684.1 596.2 贵 州 1123.71589.6 814.4 上 海 4753.2 652.5 5218.4 云 南 1331.03614.8 876 江 苏 2374.7 1177.6 2607.2 西 藏 1127.37621.6 887 浙 江 3479.2 985.8 3596.6 陕 西 1330.45803.8 753.5 安 徽 1412.4 1013.1 1006.9 甘 肃 1388.79859.6 963.4 福 建 2503.1 1053 2327.7 青 海 1350.23 1300.1410.3 江 西 1720 1027.8 1203.8 宁 夏 2703.36 1242.92526.9 山 东 1905 1293 1511.6 新 疆 1550.62 1068.8875.6 河 南 1375.61083.8 1014.1用OLS 法进行估计，结果如下：对应的表达式为：12ln 1.6030.325ln 0.507ln Y X X =++(1.86) (3.14) (10.43)20.7965,0.78,0.8117R R RSS ===不同地区农村人均消费支出的差别主要来源于非农经营收入及其他收入的差别，因此，如果存在异方差性，则可能是2X 引起的。
第4章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型
以时序数据为样本时，如果模型随机项之间存 在相关性，称为：Serial Autocorrelation。
习惯上统称为序列相关性（Serial Correlation or Autocorrelation）。
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2、实际经济问题中的序列相关性
• 没有包含在解释变量中的经济变量固有的惯性。
异方差：i2 = f(Xi)，与解释变量观测值Xi有关。 • 异方差一般可归结为三种类型：
– 单调递增型： i2随X的增大而增大 – 单调递减型： i2随X的增大而减小 –复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
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ห้องสมุดไป่ตู้
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3、实际经济问题中的异方差性
例4.1.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入。 高收入家庭：储蓄的差异较大； 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小。
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§4.4 随机解释变量问题 Random Explanatory Variables
一、随机解释变量问题 二、随机解释变量的后果 三、工具变量法 四、解释变量的内生性检验 五、例题
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一、随机解释变量问题
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实际经济问题中的随机解释变量问题 • 在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。
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• 与异方差性引起的后果相同： –参数估计量非有效 – 变量的显著性检验失去意义 –模型的预测失效
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三、序列相关性的检验 Detecting Autocorrelation
第四章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型
第四章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型前两章计量经济学模型的回归基于若干基本假设，应用普通最小二乘法得到了线性、无偏、有效的参数估计量。
但实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本假定的情况不多。
称不满足基本假定的情况为基本假定违背。
以一元为例，重述基本假定：① i X 为确定性变量，非随机的（i X 确定，且j X 间互不相关；若多元回归时相关，称为多重共线性：()1rk X k <+； 若存在一个或多个解释变量是随机变量，称为随机解释变量问题）；② 随机干扰项具有0均值，同方差：20,i i D E μμμσ==（2i i D μσ=即所谓异方差）③ cov(,)0,i j i j μμ=∀≠，随机干扰项互相独立，无序列相关（()cov ,0i j μμ≠，序列相关）。
④ ()cov ,0,1,2,...,,1,2,...,ji i X j k i n μ===，解释变量与随机误差项间不相关，这样将j i X ，i μ对Y 的影响分开。
⑤ ()20,,1,2,...,iN i n μμσ=，由中心极限定理保证。
而①―④需要作出计量经济学意义的检验。
基于此，基本假定违背主要包括以下几种情况：1）随机干扰项序列存在异方差性（同方差）；2）随机干扰项序列存在序列相关性（序列不相关）；3）解释变量之间存在多重共线性（不相关）；4）解释变量是随机变量，且与随机干扰项相关（解释变量确定，与随机干扰项不相关）；5）模型设定有偏误（模型设定正确）；6）解释变量的方差随着样本容量的增加而不断增加（方差趋于常值）。
在对计量经济学模型进行回归分析时，必须要进行计量经济学检验：检验是否存在一种或多种违背基本假定的情况。
若有违背情况，应用普通最小二乘法估计模型就不能得到无偏的、有效的参数估计量，OLS法失效，这就需要发展新的方法估计模型。
本章主要讨论前四种，后两种将在第五四章、第九章讨论。
4.1 异方差性（93页）一、异方差性（主要以一元为例，多元类似）1．异方差性概念（Heteroskedasticity）：同方差性是指每个i 围绕其零平均值的方差，并不随解释变量X 的变化而变化，不论解释变量观测值是大还是小，每个i μ的方差保持相同，即 2i const σ=。
计量经济学第九讲
在相关的共同趋势。
例如，以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型，以 产出量为解释变量，选择资本、劳动力、技术等投入要素为解释 变量。这些投入要素的数量往往与产出量成正比，产出量高的企 业，投入的各种要素都比较多，这就使得投入要素之间出现线性 相关性。如果以简单线性关系作为模型的数学形式，那么多重共 线性是难以避免的。
ˆ 2 X X 1 Var
可见，由于此时(XˊX)-1 ≈ 0，引起(XˊX)-1主对角线元素较大，使得参数估计 量的方差增大从而不能对总体参数作出准确推断。
4.1 多重共线性
三、多重共线性的后果
3. 参数估计量经济意义不合理 如果模型中两个解释变量具有线性相关性，如 X1 和X2 ，那么它们中的
4.1 多重共线性
二、实际经济问题中的多重共线性 3. 样本资料的限制 由于完全符合理论模型所要求的样本数据较难收集，在现有 数据条件下，特定样本可能存在某种程度的多重共线性。
例如，将家庭孩子的考试分数 Y 与教育支出 X1 和家庭人均收
入X2相关联而设定如下模型
Yi 0 1 X i1 2 X i 2 i
如果存在 c1 X i1 c2 X i 2 ck X ik 0
其中，ci不全为 0,即某一个变量可用其他解释变量的线性组合表 示，则称为解释变量之间存在完全共线性。 如果存在 c1 X i1 c2 X i 2 ck X ik vi 0 其中， ci不全为0, vi为随机干扰项，则称为近似共线性或交互相
中，至少有一列向量可由其他列向量(不包括第一列)线性表出。例 如：X2= X1，则X2对Y的作用可由X1代替。
实际中，完全共线性的情况并不多见，一般出现的是近似共线性。
计量经济学-第4章 放宽基本假定的模型 简炼后1
X2
Y
2703.36 1550.62 1357.43 1475.16 1497.52 1098.39 1336.25 1123.71 1331.03 1127.37 1330.45 1388.79 1350.23 2703.36 1550.62
X1
1242.9 1068.8 1386.7 883.2 919.3 764.0 889.4 589.6 614.8 621.6 803.8 859.6 1300.1 1242.9 1068.8
二、异方差的类型
异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： si2随X的增大而增大 (2)单调递减型： si2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： si2与X的变化呈复杂形式 同方差：si2 = 常数 f(Xi) 异方差： si2 = f(Xi)
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三、实际经济问题中的异方差性
例1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为:
若在统计上是显著的，表明存在异方差性。
戈里瑟(Gleiser)检验常采用的函数形式
~ + bX l + ei i i
时，做简单的变换，再用OLS估计，看系数参 数是否显著。
l 取-1、-1/2、1、1/2、2等等，当其不为1
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3. 戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验
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六、异方差的修正
模型检验出存在异方差性，可用加权最小二 乘法（Weighted Least Squares, WLS）进行估计。
• 加权最小二乘法的基本思想：
加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成 一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS 估计其参数。
ˆ + b X + L + b X )] 2 ˆ W e Wi [Yi ( b 0 ˆ1 1 k k
第四章 放宽基本假定的模型(本科生计量经济学) (1)
一元线性回归模型： Yi 0 1 X i ui
2 i
f (Xi)
是常数函数，则模型同方差。
2 i
f (Xi)
不是常数函数，则模型异方差。
随机扰动项方差的近似:首先对原模型采用 OLS估计，得到残差，用它的平方作为随 机扰动项的方差的近似。
~
^
ei Yi (Y i )ols
Var ( i
)
则
即只要检验：
~
e
2
i
2 i
i
~
e2 i
2 i
i
~
e2 i
f (Xi)i
中的f是不是常数函数即可以检验是同方差还是异方差。
对多元模型是否有异方差进行检验，比 如说二元：
二元线性回归模型： Yi 0 1X1i 2 X 2i ui
2 i
f ( X1i, X 2i )
是常数函数，则模型同方差。
2 i
2 j
(i,
j
1,2,...,n)
2 i
2 j
同方差 异方差
2、实际经济问题中的异方差的含义
例：居民家庭的储蓄行为
Yi=0+1Xi+i
Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入。 高收入家庭：储蓄的差异较大； 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小。
一般情况下，异方差是指不同的样本点所对应的随 机扰动项的方差不同，随机扰动项的方差是样本点 的函数。
二、存在异方差的后果 Consequences of Using OLS in the
Presence of Heteroskedasticity
模型存在异方差时最小二乘估计量的性质。
1、仍具有线性性、无偏性，一致性；但不具有有效性。
放宽基本假定的模型
实际经济问题中的异方差性总结
1. 现实社会经济中异方差是很常见的，处理截 面数据时，尤应注意。
2. 一般地，大多数异方差是有规律的：随机误 差项的方差随着解释变量观测值的变化而呈 现出规律性的变化。当然也有例外。
3. 经济问题的异方差性较多是递增性的。 本节主要考虑有规律可循的异方差问题。
思考
一旦所建立的计量经济学模型存在异 方差性，如果不做处理，会产生什么后 果呢？
四、异方差性的检验
1.检验思路
由于异方差性说明对于不同的样本点，即相对于 不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方 差。
即随机误差项的方差与解释变量的观测值之间存 在着某种联系。
检验思路为： 检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与 解释变量观测值之间是否存在联系。
•用什么来表示随机误差项的方差？
异方差性：如果出现
Var(i
X1,
X2K
,
Xk
)
2 i
常数=f(Xi )
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同,会随X的变化而变化，是 X的一个函数，则认为出现了异方差性，或称 为非同方差、非常量方差。
异方差的类型
异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
第四章
经典单方程计量经济学模型：放宽基 本假定的模型
问题的提出
• 在模型满足所有基本假定的前提下， OLS估计具有BLUE的优良性，而且可以 顺利的进行关于模型的若干检验，检验 结果准确可靠。
• 在实际经济问题中，关于模型的基本假 定往往不能完全得到满足。
• 如果所研究问题或模型出现了基本假定不成立 的情况，称违背了基本假定。
经典单方程计量经济学模型放宽基本假定的模型
1242.9 2526.9
山东
1905.0
1293.0 1511.6 新 疆
1550.62
1068.8
875.6
河南
1375.6
1083.8 1014.1
普通最小二乘法的估计结果：
ln Yˆ 1 .655 0 .3166 ln X 1 0 .5084 ln X 2
(1.87) (3.02)
（10.04）
1336.25
889.4
644.3
黑龙江
1604.5
1684.1 596.2 贵 州
1123.71
589.6
814.4
上海
4753.2
652.5 5218.4 云 南
1331.03
614.8
876.0
江苏
2374.7
1177.6 2607.2 西 藏
1127.37
621.6
887.0
浙江
3479.2
本章主要学习：前4类
§4.1 异方差性
一、异方差的概念 二、异方差的类型 三、实际经济问题中的异方差性 四、异方差性的后果 五、异方差性的检验 六、异方差的修正 七、案例
一、异方差的概念
对于模型
Yi 0 1 X ii 2 X 2i k X ki i
如果出现 Var(i ) i2
k
1)
( n c k 1)
2
2
2
⑤给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)， 若F> F(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设，表明 存在异方差。 当然，还可根据两个残差平方和对应的子样 的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差。
3、怀特（White）检验
经典单方程计量经济学模型放宽基本假定的模型重点
第四章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型一、典型例题分析1、下列哪种情况是异方差性造成的结果？ （1）OLS 估计量是有偏的（2）通常的t 检验不再服从t 分布。
（3）OLS 估计量不再具有最佳线性无偏性。
解答： 第（2）与（3）种情况可能由于异方差性造成。
异方差性并不会引起OLS 估计量出现偏误。
2、已知模型t t t t u X X Y +++=22110βββ222)(t t t Z u Var σσ==式中，Y 、X 1、X 2和Z 的数据已知。
假设给定权数t w ，加权最小二乘法就是求下式中的各β，以使的该式最小2221102)()(t t t t t t t t t X w X w w Y w u w RSS βββ---==∑∑（1）求RSS 对β1、β2和β2的偏微分并写出正规方程。
（2）用Z 去除原模型，写出所得新模型的正规方程组。
（3）把t t Z w /1=带入（1）中的正规方程，并证明它们和在（2）中推导的结果一样。
解答： （1）由2221102)()(t t t t t t t tt X w X w w Y w u w R S S βββ---==∑∑对各β求偏导得如下正规方程组：∑=---0)(2211t t t ttttt w X w Xw w Y w βββ ∑=---0)(12211t t t t ttttt X w X w Xw w Y w βββ ∑=---0)(12211t t t t ttttt X w X w Xw w Y w βββ（2）用Z 去除原模型，得如下新模型tt t t t t t t t Z uZ X Z X Z Z Y +++=22110βββ 对应的正规方程组如下所示：01)(22110=---∑t t t t t t t t Z Z X Z X Z Z Y βββ 0)(122110=---∑t t t t t t t t t Z X Z X Z X Z Z Y βββ 0)(222110=---∑tt t t t t t t t Z X Z X Z X Z Z Y βββ （3）如果用1tZ 代替（1）中的t w ，则容易看到与（2）中的正规方程组是一样的。
计量经济学实验报告 实验二 放宽基本假定模型
计量经济学实验报告实验二：放宽基本假定模型姓名：班级：序号：学号：1. 问题描述：2009年我国各地区城镇居民家庭人均全年消费性支出Y 与人均全年家庭工薪收入X1、人均全年经营净收入X2、及其他来源的收入X3之间的关系。
2. 理论模型：μββββ++++=3322110X X X Y3. 数据1.数据分析：33^22^11^0^^X X X Y ββββ+++=2. 参数假设: 321^4677.08458.06004.0800.1195X X X Y +++= (2.40) (11.72) (3.48) (4.04) 95.02=R 19.160=F 76.1..=W DDependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 12/08/11 Time: 22:15 Sample: 1 31Included observations: 31Variable CoefficientStd. Error t-Statistic Prob.X1 0. 0. 11.718390.0000 X2 0. 0. 3. 0.0017 X3 0.0.4. 0.0004 C1195.800497.9180 2.0.0235R-squared0. Mean dependent var 11628.97 Adjusted R-squared 0. S.D. dependent var2978.791 S.E. of regression 724.1850 Akaike info criterion16.12789 Sum squared resid Schwarz criterion16.31292 Log likelihood -245.9822 F-statistic160.1925Durbin-Watson stat1. Prob(F-statistic)0.三、模型检验1.经济意义检验：从分析结果来看，β1=0.6004，β2=0.8458，β3=0.4677，β1、β2和β3都处于0-1之间，因此均具有经济意义。
李子奈《计量经济学》课后习题详解(经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型)【圣才出品】
估计可以写成
1
y1 xi1
xi22
yi xi2
xi21 xi22 1 r 2
xi1 xi 2
4 / 31
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2
y2 xi2
xi21
yi xi1
xi21 xi22 1 r 2
xi1 xi 2
其中，r 为 X1 不 X2 的相关系数。讨论 r 等于或接近 1 时，该模型的估计问题。
∧
∧
证明：可以将原模型记为：yi＝β1Xi1＋β2Xi2＋ei。
＿
＿
e ˆ ˆ 其中，yi＝Yi－Y，xi＝Xi－X， i
E 1 E 1
xi xi2
E i
1
Var
ˆ1
Var 1 Var
xi i xi 2
0
xi
xi2
2 Var
i
i j
xi xi2
x j Cov
x2 ，显然，当 Ki＞1 时则该乘子大于 1，则有 i
Var 1 Var ˆ1
当 0＜Ki＜1 时，则有
Var 1 Var ˆ1
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2．对习题 1 中的一元线性回归模型，如果已知 Var（μi）＝σi2，则可对原模型以权 1/σi
i1 i1
i1
n
xi12
n
xi
2 2
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先将样本一分为二，对子样①和子样②分别 作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构 造统计量进行异方差检验。
由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增
的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方
差）、或小于1（递减方差）。
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G-Q检验的步骤：
型趋势（即不在一个固定的带型域中）
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使用X—e的散点图看．是否形成一斜率为零
的直线
e~i 2
e~i 2
X 同方差
X 递增异方差
e~i 2
e~i 2
X 2020/5/13 递减异方差
X
复杂型异方差
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2、戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验
G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较 大、异方差递增或递减的情况。
①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小排 队
②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩 下的观察值划分为较小与较大的相同的两个 子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2
③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自 的残差平方和
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④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的 统计量
例3 以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模 型
Yi=Ai1 Ki2 Li3ei
被解释变量：产出量Y 解释变量：资本K、劳动L、技术A， 那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被 包含在随机误差项中。
每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不 同，造成了随机误差项的异方差性。
这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量 观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。
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异方差的后果
计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采 用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：
1、参数估计量非有效
OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性
因为在有效性证明中利用了 E(’)=2I
而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有
一致性，但仍然不具有渐近有效性。
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e~22i
F
e~12i
(n
2
c
k
1)
~
F(n
c
k
1,
n
c
k
1)
( n c k 1)
2
2
2
⑤给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)， 若F> F(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设，表明
存在异方差。 当然，还可根据两个残差平方和对应的子样
的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差。
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Ci=0+1Yi+I
将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样 本观测值。
一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入 组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平均 数的误差小，人数少的组平均数的误差大。
所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值 的不同而不同，往往引起异方差性。
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• 首先采用OLS方法估计模型,得到随机误差项的 估计值(注意:该估计量是不严格的),于是有:
Var(i ) E(i2 ) ei2
^
ei Yi Y i
• 即用残差项的平方代表随机误差项的方差.
几种异方差的检验方法：
1、图示法
（1）用X-Y的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂
经典计量经济学模型
放宽基本假定的问题
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第一节 异方差
• 一、异方差的概念 • 二、异方差的来源与后果 • 三、异方差性的检验 • 四、异方差的修正 • 五、案例
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一、 异方差的概念
对于模型
Yi 0 1 X ii 2 X 2i k X ki i
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2、无偏性
E(βˆ ) E((XX)1 XY) E((XX)1 X(Xβ μ )) β (XX)1 E(Xμ ) β
这里利用了假设: E(X’)=0
3、有效性（最小方差性）
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其中利用了
βˆ (XX)1 XY
(XX) 1 X(Xβ μ)
β (XX) 1 Xμ
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。
同方差性假定：i2 = 常数 f(Xi)
异方差时：
i2 = f(Xi)
异方差一般可归结为三种类型：
(1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
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二、 异方差的来源与后果
和
E(μμ) 2I
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2、变量的显著性检验失去意义
变量的显著性检验中，构造了t统计量
其他检验也是如此。
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3、模型的预测失效
一方面，由于上述后果，使得模型不具有 良好的统计性质；
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所以，当模型出现异方差性时，参数OLS 估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测 误差变大，降低预测精度，预测功能失效。
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三、异方差检验
– 检验思路：
由于异方差性就是相对于不同的解释变量 观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：
检验异方差性，也就是检验随机误差项的 方差与解释变量观测值之间的相关性及其相 关的“形式”。
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问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法是:
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3、怀特（White）检验
怀特检验不需要排序，且适合任何形式
Yi 0 1 X 1i 2 X 2i i
先对模型作OLS回归,得到残差项,然后做如 下辅助回归
例1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为
Yi=0+1Xi+μi Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入
高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小
μi的方差呈现单调递增型变化
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例2，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据 为样本建立居民消费函数：
如果出现 Var(i ) i2
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性 (Heteroskedasticity)。
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一般情况下: 对于模型
Y=X+u
存在
E(μ) 0
Cov(μ) E(μμ) 2 W
w1
W
w2
wn
即存在异方差性。