电磁场与电磁波公式总结

dS '
（3）体电流：
B
0 4
JaR R2
d '
0 4
J(r
r
r'
r'
3
)
d
'
2、恒定磁场的基本方程
（1）真空中恒定磁场的基本方程为：
A、磁通连续性方程：积分形式：SB
微分形式：
dS
B
0 0
，B、真空中安培环路定理：微积分分形形式式：：lBdBl
0 0
I
J
（2）磁介质中恒定磁场的基本方程为：
4、电介质的极化
（1）极化介质体积内的极化体电荷密度为： p P(P 极化强度矢量) 。
（2）介质表面的极化面电荷密度为： pS P n(n 为表面的单位法向量矢量)
5、在均匀介质中，电位满足的微分方程为泊松方程和拉普拉斯方程，即
-3-
2 (有源区域)，2 （0 无源区域）
一点的能量密度为： e
1 2
D E
1 2
E
2
J
/ m3
在任何情况下，总静电能可由We
1 2
E 2d
V
来计算。
8、恒定电场存在于导电媒质中由外加电源维持。描述恒定电场特性的基本变量为电场强度
E 和电流密度 J ，且 J E 。 为媒质的电导率。
（1）恒定电场的基本方程
-4-
电流连续性方程：
dS dlr dl rdrd
d r 2 sindrdd
2、三种坐标系的坐标变量之间的关系 （1）直角坐标系与柱坐标系的关系
x y
z
r cos r sin z
,
r
x2 y2
arctan
y x
zz
（2）直角坐标系与球坐标系的关系
x r sin cos
y
r
sin
sin
,
z r cos
ddSSr
dl dlz dlr dl
z
rddz drdz
，体积元：
d
rdrddz
dlz dz
dS
z
dl dlz
rdrdz
（3）球坐标系
长
度
元
：
dlr dr dl rd
，面积元：
ddSSr
dl dl
dl r dl
r2 r
sin dd sin drd
，体积元：
dl r sin d
r
a
1 r
az
z
（3）球坐标系中：
-1-
grad
ar
r
a
1 r
a
1 r sin
4.散度
（1）直角坐标系中：
div
A
AX x
Ay y
Az z
（2）柱坐标系中：
div A
1 r
r
(rAr
)
1 r
A
Az z
（3）球坐标系中：
div A
1 r2
r
(r 2 Ar )
1 r sin
积分形式：J d S
微分形式：
J
-
t
S 或
q
t
J
t
0
恒定电流场中的电荷分布和电流分布是恒定的。场中任一点和任一闭合面内都不能有电荷的
增减，即 q
t
0和
t
0 。因此，电流连续性方程变为：
J d S 0和 J 0 ，再加上
S
E
d
l
0和
E
0
，这变分别是恒定电场基本方程的积分形式和微分形式。
E
B t
(3) B 0
(4) D
（2）积分形式
(2)
E d
l
l
S
B t
d
S
(3) B d l 0
S
(4) D d S q
S
（3）非限定形式的麦克斯韦方程组
在线性和各向同性的介质中，有媒质的本构关系：
D E 0 r E, B H 0 r H , J C E ，由此可得非限定形式的麦克斯韦方程组：
1 2
。
E2
l
2
2
7、静电场能量
（1）静电荷系统的总能量
E2t
①体电荷：We
1 2
d
；源自文库
分界面上 Et 的边界条件
②面电荷：We
1 2
S S ds ；
③线电荷：We
1 2
l l dl 。
（2）导体系统的总能量为：We
1 2
k
qkk 。
（3）能量密度
静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的。场中任意
6、介质分界面上的边界条件
n
D1
（1）分界面上 Dn 的边界条件
D1n 1
D1n D2n S 或 n (D1 D2 ) S
1
S
（ S 为分界面上的自由电荷面密度），当分界面上没有
自由电荷时，则有：
2 D2 2 D2n
h
D1n D2n即 n D1 n D2 ，它给出了 D 的法向分量在
第二章 静电场和恒定电场
1、静电场是由空间静止电荷产生的一种发散场。描述静电场的基本变量是电场强度 E 、电
位移矢量 D 和电位
。电场强度与电位的关系为： E
。 0
8.854 1012 F
/m
2、电场分布有点电荷分布、体电荷分布、面电荷分布和线电荷分布。其电场强度和电位的 计算公式如下： （1）点电荷分布
3
'
,
1 4 0
S (r ' )dS ' C
S
r
r'
（4） 线电荷分布
E
1 4 0
l
l
(r
'
)( r
r
r'
r ' )dl '
3
,
1 4 0
l (r ' )dl ' C
l
r
r'
3、介质中和真空中静电场的基本方程分别为
SD D dS(rq（), (微积分分形形式式)）表示意义介质中的高斯定理（q为S面内的总源电荷和S面内的总极化电荷之和）
电磁场与电磁波公式
第一部分 知识点归纳
第一章 矢量分析
1、三种常用的坐标系
（1）直角坐标系
微分线元： d R ax dx ay dy az dz
面积元：
dS dS
x y
dydz dxdz
dSz dxdy
（2）柱坐标系
，体积元： d dxdydz
长度元：
dl dl
r
dr rd
，面积元
(sinA )
1 r sin
A
5、高斯散度定理： A d S A d div A d ，意义为：任意矢量场 A 的散度在场
S
中任意体积内的体积分等于矢量场 A 在限定该体积的闭合面上的通量。
6，旋度
（1） 直角坐标系中：
ax ay az
A
x
y
z
Ax Ay Az
（2） 柱坐标系中：
ar ra az
A
1 r
r
z
Ar rA Az
（3） 球坐标系中：
ar r a
A
r2
1 sin
r
Ar rA
r sin a
r sinA
两个重要性质：①矢量场旋度的散度恒为零， A 0 ②标量场梯度的旋度恒为零， 0
7、斯托克斯公式：
CA d l S A d S
-2-
d l1 d l2
l1 l2
R
（3）内自感：单位长度的圆截面导线的内自感为： L
8
（长度为
l
的一段圆截面导线的内
自感为
L
l 8
）。
7、磁场的能量和能量密度
（1）磁场的总能量
磁介质中，载流回路系统的总磁场能量为： Wm
1 2
N j 1
N k 1
M kj I
jIk
（3） 磁场能量密度
A、 任意磁介质中：m
S 和1
1 n
2
2 n
(S
0)
（2）分界面上 Et 的边界条件（切向分量）
n E n E 或 E1t E2t ,电场强度的切向分量
在不同的分界面上总是连续的。
由于电场的切向分量在分界面上总连续，法向分量
有限，故在分界面上的电位函数连续，即
h
n
E1t
E1
1
1
1 2 。
电力线折射定律： tan1 tan 2
C
（2）恒定电场的边界条件
(1)J1n J 2n或 n (J1 J 2 ) 0, (2) E1t E2t 或 n (E1t E2t ) 0
应用欧姆定律可得： 1E1n
2
E
2n
和
J1t 1
J 2t 2
。
此外，恒定电场的焦耳损耗功率密度为
p
E 2 ，储能密度为e
1 2
E
2
。
第四章 恒定磁场
A、磁通连续性方程仍然满足：
积分形式：SB 微分形式：
dS
B
0 0
，
B、磁介质中安培环路定理：
积分形式：l H 微分形式：
d l
H
I
J
C、磁性媒质的本构方程：
B
0r
H
H (H
B 0
M ,其中M
为磁化强度矢量) 。
恒定磁场是一种漩涡场，因此一般不能用一个标量函数的梯度来描述。
3、磁介质的磁化
(1)
H
J
E t
(2) E
(3) H
H t 0
(4) E
（4）麦克斯韦方程组的实质
A、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。物理意义：磁场是由电流和时变的电场
激励的。 B、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事
实。
C、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。 D、第四方程：高斯定律。物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的 。
在库仑规范条件（
A
0
）下，场与源的关系方程为： 2
A
J
(有源区)
2
A
（0 无源区）
对于分布型的矢量磁位计算公式：
（1）
线电流：
A
4
Id l lR
（2）面电流：
A
4
S
J S dS R
（3）体电流：
A
4
J d R
5、恒定磁场的边界条件
（1）分界面上 Bn 的边界条件
在两种磁介质的分界面上，取一个跨过分界面 两侧的小扁状闭合柱面（高 h 0 为无穷小量）， 如右图所示，应用磁通连续性方程可得：
H2
sin 2
B 分界面上 n 的边界条件
磁力线折射定律： tan1 tan 2
1 2
用矢量磁位表示的边界条件为：
A1
A2
,
1 1
( A1 )t
1 2
( A2 )t
JS
6、电感的计算
（1）外自感： L0
0 I
0 4
l
l0
d l0 d l R
，（2）互感： M12
M 21
0 n1n2 4
1、磁场的特性由磁感应强度 B 和磁场强度 H 来描述，真空中磁感应强度的计算公式为：
（真空磁导率： 0 4 107 H / m, ）
（1）线电流：
B
0 4
Id
l'
aR
l R2
0 4
Id
l'
(r
r'
)
l
r
r'
3
（2）面电流：
B
0 4
S
JS aR R2
dS '
0 4
S
JS
(r
r'
)
r
r'
3
n
S
B1n
B1
B S
d
S
B1
n
dS
B2
n
dS
0
1
于是有： n (B2 B1 ) 0或B1n B2n
（2） 分界面上 H t （切向分量）的边界条件：
n
(H1
H2)
JS
，如果分界面上无源表面电流
2 B2
h
B2 n
（即 J S
0
），则
n
(
H1
H2)
0即
H1t
H 2t
或H1 sin 1
r x2 y2 z2
arccos
z
x2 y2
arctan
y z
z2
（3）柱坐标系与球坐标系的关系
r
'
r sin
,
z
r
cos
r r '2 z 2 arccos z
r '2
z2
3、梯度
（1）直角坐标系中：
grad
ax
x
ay
y
az
z
（2）柱坐标系中：
grad
ar
介质分界面两侧的关系：
分界面上 Dn 的边界条件
（I） 如果介质分界面上无自由电荷，则分界面两侧 D 的法向分量连续；
（II）如果介质分界面上分布电荷密度 s ， D 的法向分量从介质 1 跨过分界面进入介质 2
时将有一增量，这个增量等于分界面上的面电荷密度 s 。
用电位表示： 1
1 n
2
2 n
积分形式：l E
d
l
S
B t
d
S
微分形式：
E
-
B t
它说明时变的磁场将激励电场，而且这种感应电场是一种旋涡场，即感应电场不再是保
守场，感应电场 E 在时变磁场中的闭合曲线上的线积分等于闭合曲线围成的面上磁通
的负变化率。
2、 麦克斯韦位移电流假说
按照麦克斯韦提出的位移电流假说，电位移矢量对时间的变化率可视为一种广义的电流
E
1 4 0
N qk Rk
R3
k 1
k
1 4 0
N k 1
qk
(
1 Rk
),
1 4 0
N qk R k 1 k
C
（2）体电荷分布
E
1 4 0
(r
'
)(r
r'
)dv
'
v
r
r'
3
,
1 4 0
(r ' )dv ' C
v
r
r'
（3）面电荷分布
E
1 4 0
S
S
(r
'
)(r
r
r'
r ' )dS
E d
C
l
0, (积分形式) 表示意义安培环路定理,说明静电场是一种发散场，也是保守场。
E （0 微分形式）
E
SE（d S微分1形0 i式n1 ，qi .(积为分体形电式荷)密度）表示意义真空中的高斯定理
0
在线性、各向同性介质中，本构方程为： D 0 E P E 0 r E
1 2
H
B
，此时磁场总能量可以由Wm
1 2
B H d
计算出；B、在
各 向 同 性 ， 线 性 磁 介 质 中 ： m
1 2
H
B
1 2
H
，此时磁场总能量可以由
Wm
1 2
B H d
1 2
H 2 d
第五章 时变电磁场
-6-
1、 法拉第电磁感应定律
（1）感应电动势为：
- d dt
；
（2）法拉第电磁感应定律
-5-
磁介质在磁场中被磁化，其结果是磁介质内部出现净磁矩或宏观磁化电流。磁介质的磁化
程度用磁化强度 M 表示。
（1）磁介质中的束缚体电流密度为： J m M ；
（2）磁介质表面上的束缚面电流密度为：J mS M n(其中，n 为表面的单位法向量矢 量)
4、恒定磁场的矢量磁位为： B A ，矢量 A 为矢量磁位。
密度，称为位移电流密度，即 J d
D t
。位移电流一样可以激励磁场，从而可以得出
时变场中的安培环路定律： 积分形式：l H d l
S
(J
D t
)
d
S
微分形式：
H
J
D t
3、 麦克斯韦方程组
（1）
(1)
H
J
D t
(1) H d l
l
(J
s
D t
)
d
S
微分形式
(2)