南京邮电大学电磁场与电磁波考试必背公式
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电磁场与电磁波复习
第一部分 知识点归纳 第一章 矢量分析
1、三种常用的坐标系 （1）直角坐标系
微分线元：dz a dy a dx a R d z y x →
→
→
→
++= 面积元：⎪⎩⎪⎨⎧===dxdy dS dxdz dS dydz
dS z
y
x
，体积元：dxdydz d =τ
（2）柱坐标系
长度元：⎪⎩⎪⎨⎧===dz dl rd dl dr
dl z r ϕϕ，面积元⎪⎩⎪
⎨⎧======rdrdz dl dl dS drdz dl dl dS dz rd dl dl dS z z
z r z r ϕϕϕϕ，体积元：dz rdrd d ϕτ=
（3）球坐标系
长度元：⎪⎩⎪
⎨⎧===ϕθθϕ
θd r dl rd dl dr dl r sin ，面积元：
⎪⎩
⎪
⎨⎧======θ
ϕθϕ
θθθϕϕθθϕrdrd dl dl dS drd r dl dl dS d d r dl dl dS r r r sin sin 2，体积元：ϕθθτd drd r d sin 2=
2、三种坐标系的坐标变量之间的关系 （1）直角坐标系与柱坐标系的关系
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧
==+=⎪⎩⎪⎨⎧===z z x y y
x r z z r y r x arctan
,sin cos 22ϕϕϕ （2）直角坐标系与球坐标系的关系
⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
=++=++=⎪⎩⎪⎨⎧===z y
z y x z z y x r r z r y r x arctan arccos ,cos sin sin cos sin 2
222
22ϕθθϕθϕθ （3）柱坐标系与球坐标系的关系
⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧=+=+=⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕθθϕϕθ2
2'2
2''arccos ,cos sin z r z z
r r r z r r 3、梯度
（1）直角坐标系中：
z
a y a x a grad z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→
μ
μμμμ
（2）柱坐标系中：
z
a r a r a grad z r ∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→
μ
ϕμμμμϕ1
（3）球坐标系中：
ϕ
μ
θθμμμμϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→
sin 11r a r a r a grad r
4.散度
（1）直角坐标系中：
z
A y A x A A div z
y X ∂∂+∂∂+∂∂=→
（2）柱坐标系中：
z
A A r rA r r A div z
r ∂∂+∂∂+∂∂=
→
ϕϕ1)(1 （3）球坐标系中：
ϕθθθθϕ
θ∂∂+∂∂+∂∂=
→
A r A r A r r
r A div r sin 1)(sin sin 1)(122
5、高斯散度定理：⎰⎰⎰
→→
→
→=⋅∇=⋅τ
τ
ττd A div d A S d A S
，意义为：任意矢量场→
A 的散度在场中任
意体积内的体积分等于矢量场
→
A 在限定该体积的闭合面上的通量。
6，旋度
（1） 直角坐标系中：
z
y
x
z y x
A A A z y x a a a A ∂∂∂∂∂∂=
⨯∇→
→
→
→ （2） 柱坐标系中：
z
r z r
A rA A z r a ra a r A ϕ
ϕϕ∂∂∂∂∂∂=
⨯∇→
→
→
→1 （3） 球坐标系中：
ϕ
θϕ
θθϕθθθA r rA A r
a r a r a r A r r
sin sin sin 12
∂∂
∂∂∂∂=⨯∇→
→
→
→
两个重要性质：①矢量场旋度的散度恒为零，0=⨯∇⋅∇→
A ②标量场梯度的旋度恒为零，0=∇⨯∇μ
7、斯托克斯公式：
⎰⎰→
→→→⋅⨯∇=⋅S
C
S d A l d A
第二章 静电场和恒定电场
1、静电场是由空间静止电荷产生的一种发散场。描述静电场的基本变量是电场强度→
E 、电
位移矢量→
D 和电位ϕ。电场强度与电位的关系为：ϕ-∇=→
E
。m F /10854.8120-⨯≈ε
2、电场分布有点电荷分布、体电荷分布、面电荷分布和线电荷分布。其电场强度和电位的计算公式如下： （1）点电荷分布
C R q R q R R q E N
k k
k
N
k k k
N
k k k k +=∇-==∑∑∑===→
→
101
13041
,)1(41
41
πεϕπεπε （2）体电荷分布
C r
r dv r r
r dv r r r E v
v
+-=
--=
⎰
⎰
→→
→→
→
→
→
'
'
'0
3'
'
'
'
)(41,))((41ρπεϕρπε
（3）面电荷分布 C r
r dS r r
r dS r r r E S
S S
S +-=
--=
⎰
⎰
→→
→→
→→
→
'
'
'0
3'
'
'
'
)(41,))((41ρπεϕρπε
（4） 线电荷分布
C r
r dl r r
r dl r r r E l
l l
l +-=
--=
⎰
⎰
→→
→→
→→
→
'
'
'0
3'
'
'
'
)(41,))((41ρπεϕρπε
3、介质中和真空中静电场的基本方程分别为 ⎪⎩⎪⎨⎧−−−→−=⋅∇=⋅→
→
→⎰）面内的总极化电荷之和面内的总源电荷和为介质中的高斯定理（（微分形式）
积分形式表示意义
S S q r D q S d D S )()(,ρ场，也是保守场。说明静电场是一种发散安培环路定理（微分形式）
积分形式表示意义
,0)(,0⎪⎩⎪⎨⎧−−−→−=⨯∇=⋅→
→
→⎰E l d E C
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
−−−→−=⋅∇=⋅→=→→∑⎰真空中的高斯定理为体电荷密度）（微分形式，积分形式表示意义ρερ
ε01
0).(1E q S d E n i i S 在线性、各向同性介质中，本构方程为：→
→→→→==+=E E P E D r εεεε00 4、电介质的极化
（1）极化介质体积内的极化体电荷密度为：)(极化强度矢量→
→⋅-∇=P P p ρ。 （2）介质表面的极化面电荷密度为：)(p 量为表面的单位法向量矢→
→→⋅=n n P S ρ 5、在均匀介质中，电位满足的微分方程为泊松方程和拉普拉斯方程，即