流体力学 第三章 流体动力学

p p(x, y, z,t) (x, y, z,t)
以固定空 间、固定 断面或固 定点为对 象，应采 用欧拉法
x xt, y yt, z zt
a.流体质点的加速度
a
dv
dt
ax
dvx dt
vx t
vx x
dx dt
vx y
dy dt
vx z
dz dt
同理
vx t
vx
vx x
vy
（2）是恒定流还是非恒定流；
（3）是均匀流还是非均匀流。
解：（1）ax
dvx dt
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
(4y 6x) (4y 6x)t(6t) (6y 9x)t(4t)
将t=2，x=2，y=4代入得
同理 ay 6m / s2
a 4i 6 j
m/ s2
解：（1）流线： dx dy
xt yt
积分： ln(x t)(y t) c
t=0时，x=－1，y=－1 c=0
xy 1
——流线方程（双曲线）
（2）迹线：
dx dt
xt
dy dt
yt
x c1et t y c2et t
由t=0时，x=－1，y=－1 得 c1=c2=-1
x t 1
ax 4m / s2
（2）
v
vx
i
v
y
j
(4y 6x)i (6y 9x) j 0
t t t
是非恒定流
（3）v v
vx
vx x
vy
vx y
i vx
vy x
vy
vy y
j
0
是均匀流
3.流线与迹线
（1）流线——某瞬时在流场中所作的一条空间曲线，曲
线上各点速度矢量与曲线相切
vx y
vz
vx z
ay
v y t
vx
v y x
vy
v y y
vz
v y z
az
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
a
dv
v
v
v
dt t
i j k x y z
时变加速度 b.质点导数
位变加速度
对质点的运动要素A：
dA A v A
dt t
时变导数
位变导数
dA dt
第三章 流体动力学基础
3.1 研究流体运动的两种方法
1.拉格朗日法（随体法）
t0时，初始坐标a、b、c作为该质点的标志 x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t) ，z=z(a,b,c,t)
物理概念 清晰，但 处理问题 十分困难
速度：
dx(a,b, c,t)
vx
dt
加速度：
vy
dy(a,b, c,t) dt
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程：
流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量
(v )
一致
i j k dr v dx dy dz 0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
dx vxdt dy vydt dz vzdt
y t 1 x y 2 ——迹线方程（直线）
（3）若恒定流：vx=x，vy=－y
流线 xy 1 迹线 xy 1
注意：恒定流中流线与迹线重合
4.流管与流束
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
dx dy dz dt vx vy vz
——迹线微分方程
流线的特性：
（1）流线除驻点、奇点等特殊点，在一般情况下不 能相交，也不能是折线，而是光滑的曲线或直线
(2) 不可压缩流体中，流线的疏密程度反映了该时刻 流场中各点的速度大小，流线越密，流速越大，流 线越稀，流速越小。
（3）恒定流动中，流线的形状不随时间而改变，流 线与迹线重合；非恒定流动中，一般情况下，流线 的形状随时间而变化，流线与迹线不重合。
dz(a,b, c,t)
vz
dt
ax
dvx (a,b, c,t) dt
ay
dvy (a,b, c,t) dt
az
dvz (a,b, c,t) dt
2.欧拉法（局部法、当地法） 某瞬时，整个流场各空间点处的状态
vx vx (x, y, z,t) vy vy (x, y, z,t) vz vz (x, y, z,t)
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
1处过流断
面
2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
按周界性质： ①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如 自来水管、矿井排水管、液压管道。 ②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接 触——无压流。如河流、明渠。 ③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管 嘴出流。
例：速度场vx=a，vy=bt，vz=0（a、b为常数） 求:（1）流线方程及t =0、1、2时流线图；
（2）迹线方程及t =0时过（0，0）点的迹线。
解：（1）流线： dx dy
a bt
积分： y bt x c a
y c=2
c=1
ห้องสมุดไป่ตู้
c=0
o
x
y c=2 c=1 c=0
o
——流线方程
y
x
o
c=2 c=1 c=0
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般 不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度 都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的 流量与实际流量相同。
x
t=0时流线
t=1时流线
T=2时流线
（2）迹线：dx dy dt
a bt
即
dx dt a
0xd
x
t
0
adt
x
a
t
dy bt
dt
y
0
dy
t
0
btdt
y
b
t2 2
y
b 2a2
x2
——迹线方程（抛物线）
y
注意：流线与迹线不重合
o
x
例：已知速度vx=x+t，vy=－y+t 求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。
vx
A x
vy
A y
vz
A z
A t
3.2 流体运动的基本概念
1.恒定流与非恒定流
（1）恒定流 所有运动要素A都满足
（2）非恒定流
A 0 t
2.均匀流与非均匀流
（1）均匀流
v A 0
（2）非均匀流 v A 0
A 0 t
例：速度场
v (4 y 6x)ti (6 y 9x)tj
求（1）t=2s时，在(2，4)点的加速度；