立体几何专题复习(自己精心整理)

专题一证明平行垂直问题

题型一证明平行关系

(1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别

是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

(2)在正方体AC1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.

思考题1(1)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD 的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.

(2)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，

且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD.

题型二证明垂直关系(微专题)

微专题1：证明线线垂直

(1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC

中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN.

(2)(2019·山西太原检测)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB

＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点，求证：DF⊥AE.

微专题2：证明线面垂直

(3)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：BD1⊥平面ACB1.

(4)(2019·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC

＝60°.若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD.

微专题3：证明面面垂直

(5)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证：平面DEA⊥平面A1FD1.

(6)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝

AB＝1

2PD，求证：平面PQC⊥平面DCQ.

思考题2(1)(2019·北京东城区模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，

底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中

点，作EF⊥BP交BP于点F，求证：PB⊥平面EFD.

(2)(2019·济南质检)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC

的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝

4，AO＝3，OD＝2.

①证明：AP⊥BC；

②若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明平面AMC⊥平面BMC.

题型三探究性问题

在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD

为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．

(1)求证：EF⊥CD；

(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB.若存在，确

定G点的位置；若不存在，试说明理由．

思考题3(2019·山西长治二模)如图所示，四棱锥P－ABCD的底

面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝2，E为PD上一点，

PE＝2ED.

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

专题二求解异面直线所成角和线面角问题

题型一异面直线所成的角

(1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F 分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．

(2)(2019·安徽知名示范高中联合质检)若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为思考题1(2019·湖南雅礼中学期末)如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC 的中点；如图2，将△DAE沿AE折起，使折后平面DAE⊥平面ABCE，则异面直线AE和BD所成角的余弦值为________．

题型二定义法求线面角

(1)(2019·山东荷泽期末)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，且△AB1C1为等边三角形，B1C1＝2AA1＝2，则直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为()

A.

3

2 B.

2

2 C.

6

4 D.

6

2

(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是()

A．[

3

3，1] B．[

6

3，1] C．[

6

3，

22

3] D．[

22

3，1]

思考题2(1)(2019·河北石家庄一模)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1

中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与

平面AB1C1所成的角的大小为________．

(2)把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()

A．90°B．60°C．45°D．30°

题型三 向量法求线面角

(1)(2019·河南郑州月考)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面

ABCD 是边长为2的正方形，PA ＝PD ＝5，平面ABCD ⊥平面PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是

________．

(2)如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥

平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝2，CF ＝3.若直线FO 与平面BED 所成的角为

45°，则AE ＝________．

思考题3 (1)正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点S 在底面上的射影，P

为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．

(2)(2019·河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的各棱长均为2，∠A 1AD ＝60°，∠BAD ＝90°，平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，则直线BD 1与平面ABCD 所成的角的正切值为( )

A.34

B.134

C.3913

D.393

(1)(2019·太原模拟一)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面

ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥BD.

①求证：PB ＝PD ；

②若E ，F 分别为PC ，AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．

(2)(2019·湖南长郡中学选拔考试)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，

BA ＝BC ＝5，AC ＝8，D 为线段AC 的中点．

①求证：BD ⊥A 1D ；

②若直线A 1D 与平面BC 1D 所成角的正弦值为45，求AA 1的长．

思考题4 (2019·石家庄质检二)如图，三棱柱ABC －

A 1

B 1

C 1中，侧面BB 1C 1C 为∠CBB 1＝60°的菱形，AB ＝AC 1.

(1)证明：平面AB 1C ⊥平面BB 1C 1C ；

(2)若AB ⊥B 1C ，直线AB 与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，

求直线AB 1与平面A 1B 1C 所成角的正弦值．