高中数学选修2-2 同步练习 定积分的概念+微积分基本定理+定积分的简单应用(解析版)

第一章 导数及其应用1.5 定积分的概念 1.6 微积分基本定理 1.7 定积分的简单应用一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．当n 的值很大时，函数2()f x x =在区间,[]1i in n-上的值可以用下列函数值近似代替的是 A ．()1f n B ．()2f nC ．()f i nD ．()0f【答案】C【解析】用区间,[]1i in n-内的任意一个函数值都可近似代替这个区间对应的函数值．故选C ． 2．π20(sin )d x x x -=⎰A ．2π14-B ．2π18-C ．2π8D ．2π18+【答案】B 【解析】ππ2222001π(sin )(cos )|128d x x x x x +=-=-⎰．故选B ．3．若2211d s x x =⎰，122d 1s xx =⎰，132d e x s x =⎰，则123s s s ，，的大小关系为A ．123s s s <<B ．213s s s <<C ．231s s s <<D ．321s s s <<【答案】B4．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面【答案】A5．物体A 以231(m /s)v t =+的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5m 处，同时以10(m /s)v t =的速度与A 同向运动，出发后物体A 追上物体B 所用时间(s)t 为 A ．3s B ．4s C ．5sD ．6s【答案】C【解析】物体A 经过s t 行驶的路程为2(31)d tt t +⎰，物体B 经过s t 行驶的路程为010d tt t ⎰，则有2323200(3110)(d 5)|55tt t t t t t t t t t +-=++-=-=⎰，解得5t =．故选C ．6．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t +t=-+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【答案】C【解析】令v(t)=0得，3t2−4t−32=0，解得t=4(83t=-舍去) ．汽车的刹车距离是424253(73)d[725ln(1)]|425ln512t+t t t tt-=-++=++⎰．故选C．7．已知函数()sin()1(0)2f xxϕϕπ=--<<，且23[()1]d0f xxπ+=⎰，则函数()f x的一个零点为A．56πB．3πC．6πD．712π【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．已知函数()f x为偶函数，且6()d8f x x=⎰，则66()df x x-=⎰________________．【答案】16【解析】因为函数()f x为偶函数，所以6660()d2()d16f x x f x x-==⎰⎰．9．若π2(sin cos 2)d xx a x-=⎰，则实数a=________________．【答案】1-【解析】取()cos sinF x x a x=--，则()sin cosF x x a x'=-，所以π2π2(sin cos )(cos sin)|d12x a xx x a x a=---=-+=⎰，解得1a=-．10．已知函数2213,[3,0]3()9,(0,3]x xf xx x⎧-+∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则33()df x x-=⎰________________．【答案】9π64+【解析】303223301()d(3)d9d3f x x x x x x--=-++-⎰⎰⎰，其中023 311(3)d(39x x x--+=-+⎰033)6x-=，329dx x-⎰由定积分的几何意义可知，其表示半径为3的圆的面积的41，即9π4，故339π()d64f x x-=+⎰．11．如图，在边长为1的正方形OABC内，阴影部分由曲线2(,01)y x y x x==≤≤围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是a，则函数31(log,()),3xx x af xx a≥⎧⎪=⎨<⎪⎩的值域为________________．【答案】[)1,-+∞12．由曲线1xy=以及直线y x=，3y=所围成的封闭图形的面积为________________．【答案】4ln3-【解析】画出草图（图略），方法1：所求面积11113311(3)d22(3ln)|24ln32S x x xx=-+⨯⨯=-+=-⎰．方法2：所求面积3231111()d(ln)|4ln32S y y y yy=-=-=-⎰．13．已知12()d1x m x+=⎰，则函数2()log(2)mf xx x=-的单调递减区间是________________．【答案】(0,1]【解析】∵12()d1x m x+=⎰，∴3101()13x mx+=，解得23m=，故223()log(2)xf x x=-，令2()2(2)g x x x x x =-=-，令()0g x >，解得02x <<，而()g x 的图象的对称轴为1x =，故()g x 在(0,1]上单调递增，在(1,2)上单调递减， 又2013m <=<，故函数()f x 的单调递减区间是(0,1]． 14．若函数)(x f ，)(x g 满足11()()d 0f x g x x -=⎰，则称)(x f ，)(x g 为区间]1,1[-上的一组正交函数．现给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==； ②1)(,1)(-=+=x x g x x f ； ③2)(,)(x x g x x f ==．其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是________________． 【答案】2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．计算下列定积分：（1）211(e )d xxx +⎰；（2）π6π6(sin 2)d x x x -+⎰．【答案】（1）2e ln 2e +-；（2）0．【解析】（1）因为1(e ln )e xx x x '+=+，所以221211(e )e ln )|e ln 2(e d x x x x x++=+=-⎰．（2）因为2cos sin 2()x x x x '-+=+，所以2ππ66ππ66d ((sin 2)cos )|0x x x x x --+-+==⎰．16．如图，求曲线1,2,3y x y x y x ==-=-所围成图形的面积．【答案】136．17．设()f x ax b =+，121[()]d 1f x x -=⎰，求()f a 的取值范围．【答案】219[,]212-． 【解析】由题可得22222()2[()]f ax b a x b b x a x =+=++，取23221()3F x a x abx b x =++，则22()x F a x '=+22abx b +， 所以12111232222[()]d (13|12)23a x abxb x a f x b x --++==+=⎰，即22263a b +=，且2222b -≤≤所以2223119()36)1(322f a a b b b b =+=-++=--+． 由2222b -≤≤知219()212f a -≤≤，故()f a 的取值范围为219[,]212-．。