高中数学选修2-2 同步练习定积分的概念+微积分基本定理+定积分的简单应用(解析版)

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苏教版高中数学选修2-2 定积分与微积分基本定理课件(11张)

1dx+x2
(x2-112 )dx,根据定积分的几
何意义,可知 1 1
1dx是x2 以原点为圆心,1为半径的圆的面积的
,1
2
∴ 1 1dx=x2 ,
1
2
∴
2 f(x)dx=
1
2
+(
1 3
x3=
x
+|12
,故4选A.
23
(2)∵y=xcos
x为奇函数,∴
1 xcos 1
知识清单
考点一定积分的计算
1.定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b,将区
间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),
n
作和式 i 1
f
(ξi
)x
=
n

i 1
b
n
积分值的相反数.
2.定积分的物理意义
(1)变速直线运动的路程公式
做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)
b
在时间区间[a,b]上的定积分,即s=② av(t)dt .
(2)变力做功公式如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的
b
方向从x=a移动到x=b(a<b),则变力F(x)所做的功W=③ aF(x)dx .
b
a
f(x)dx=
F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.
为了方便,我们常常把F(b)-F(a)记成F(x)

数学人教A版选修2-2-1.7定积分的简单应用

1.7.2定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度
v=v(t)≥0，则此物体在时间区间[a, b]
内运动的距离(位移)s为
v
v v(t)
t
Oa
b
例 1:一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求汽
车在这 1 min 行驶的路程.
解:由速度──时间曲线可知:
3t (0≤ t ≤10)
0
1kx 2 2
|0L
1 2
kl 2(J
)
答:克服弹力所作功的功为 1 kl 2J .
2
做P59练习：
1.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的
单位为m/s)的速度运动,求该物体在3~5s
间行进的路程. S
5
(2t 3)dt 22m
3
2.一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,
当a≤0时, 0 (x2 2x)dx 4 ,解得a=-1
a
3
当0<a≤2时,
a
(2x
x2 )dx
4
,解得a=2
0
3
当a>2时,
2 (2x x2 )dx
a
,(
x2
2x)dx
4
,无解
0
2
3
故a=-1或a=2
注意 S
b
| f (x) |dx(a b)
a
若”面积为4/3”,改为”面积不超过4/3”呢? [-1,2]
64 3
26 3
18
法2：s
4
[(4
2
y)
1 2
y2 ]dy
(4 y

高中数学新湘教版选修2-2 定积分与微积分基本定理

4．5定积分与微积分基本定理[读教材·填要点]1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：位于曲线y ＝f (x )(a ≤x ≤b )和x 轴之间的图形，叫作函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的“曲边梯形”．(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形．2．计算变力所做的功的方法化整为零，以直代曲． 3．定积分的概念设f (x )是在区间[a ，b ]上有定义的函数，在a ，b 之间取若干分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＝b .记小区间[x k －1，x k ]为Δk ，其长度x k －x k －1记作Δx k ，Δx k 中最大的记作d ，再在每个小区间Δk z k ，作和式：∑k ＝1nf (z k )Δx k . ①如果(不论如何取分点x k 和代表点z k )当d 趋于0时和式①以S 为极限，就说函数f (x )在[a ，b ]上可积，并且说S 是f (x )在[a ，b ]上的定积分，记作S ＝⎠⎛a bf (x )d x .4．微积分基本定理如果f (x )是在[a ，b ]上有定义的连续函数，F (x )在[a ，b ]上可导并且F ′(x )＝f (x )，则⎠⎛a bf (t )d t ＝F (b )－F (a )．[小问题·大思维]1．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．2．求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．(2)求解的方法步骤相同．3．由定积分的定义可知，⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a bf (x )d x 的值与哪些量有关？提示：由定义可得定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a bf (t )d t ＝⎠⎛a bf (u )d u .4．如图所示，如何用阴影面积S 1，S 2，S 3表示定积分⎠⎛a bf (x )d x 的值？提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3.计算下列定积分：(1) ⎠⎛－13(4x －x 2)d x; (2)⎠⎛12(x －1)5 d x ； (3)⎠⎛12(t ＋2)d x; (4)⎠⎛121x (x ＋1)d x . [自主解答] (1)取F (x )＝2x 2－x 33，因为F ′(x )＝4x －x 2，所以⎠⎛－13(4x －x 2)d x ＝F (3)－F (－1)＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203. (2)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5，所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝F (2)－F (1)＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16. (3)取F (x )＝(t ＋2)x ，因为F ′(x )＝t ＋2，所以⎠⎛12(t ＋2)d x ＝F (2)－F (1) ＝2(t ＋2)－(t ＋2)＝t ＋2.(4)f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln x x ＋1，则F ′(x )＝1x －1x ＋1.所以⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋1d x ＝F (2)－F (1)＝ln 43.运用微积分基本定理求定积分时的4个注意点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．1．计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ； (2) ⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ； (3) ⎠⎛0π (sin x －cos x )d x ； (4) ⎠⎛02|1－x |d x . 解：(1)取F (x )＝x 3－x 2＋x ，则F ′(x )＝3x 2－2x ＋1.∴⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝F (3)－F (－1)＝24.(2)取F (x )＝12x 2－ln x ，则F ′(x )＝x －1x .∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝F (2)－F (1)＝32－ln 2. (3)取F (x )＝－cos x －sin x ，则F ′(x )＝sin x －cos x .∴⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(4)∵|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，0＜x ＜1，x －1，1＜x ＜2，∴取F 1(x )＝x －12x 2,0＜x ＜1，F 2(x )＝12x 2－x,1＜x ＜2，则F 1′(x )＝1－x ，F 2′(x )＝x －1.∴⎠⎛02|1－x |d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝1.已知函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．[自主解答] 因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，取F (x )＝a3x 3＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝F (1)－F (0)＝a 3＋c ＝ax 20＋c . 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．即x 0＝33.利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．2．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，取F 1(x )＝12ax 2＋bx ，∴F 1′(x )＝f (x )．则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＝12a ＋b ， ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ，取F 2(x )＝13ax 3＋12bx 2且F 2′(x )＝ax 2＋bx ，则⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝F 2(1)－F 2(0)＝13a ＋12b ，由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176.解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以直线y ＝－x ＋2与抛物线 y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛－32[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛－32(6－x －x 2)d x ，取F (x )＝6x －12x 2－13x 3，则F ′(x )＝6－x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (－3)＝1256.若将本例中“直线y ＝－x ＋2”换为“抛物线y ＝3－34x 2”，如何求解？解：如图所示，设所求图形面积为S ，S ＝⎠⎛－22⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3－34x 2－()x 2－4d x ＝⎠⎛－22⎝⎛⎭⎫7－74x 2d x ，取F (x )＝7x －712x 3，则F ′(x )＝7－74x 2，∴S ＝F (2)－F (－2)＝563.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．3．求曲线y ＝e x ，y ＝e－x及直线x ＝1所围成的图形的面积．解：由图可知，积分区间为[0,1]，面积S ＝⎠⎛10()e x －e －x d x ，取F (x )＝e x ＋e －x ，则F ′(x )＝e x －e －x ， ∴S ＝F (1)－F (0)＝e ＋1e－2.变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．[自主解答] 当0≤t ≤1时，v (t )≥0，当1≤t ≤2时，v (t )<0. 所以前2秒钟内所走的路程 S ＝⎠⎛01v (t )d t ＋⎠⎛12[－v (t )]d t＝⎠⎛01(1－t 2)d t ＋⎠⎛12(t 2－1)d t取F 1(t )＝t －13t 3，F 2(t )＝13t 3－t ，S ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝2.2秒末所在的位置：x 1＝x 0＋⎠⎛02v (t )d t ＝1＋⎠⎛02(1－t 2)d t ＝13. 即它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在位置为x 1＝13.1．有关路程、位移计算公式路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s 1分别为 (1)若v (t )≥0(a ≤t ≤b )，则s ＝⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t . (2)若v (t )≤0(a ≤t ≤b )，则s ＝－⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .(3)在区间[a ，c ]上，v (t )≥0，在区间[c ，b ]上，v (t )<0，则s ＝⎠⎛a cv (t )d t －⎠⎛c bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t . 2．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)，功的单位才为焦耳(J)．4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°角的方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433JD ．2 3 J解析：W ＝⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3⎪⎪⎪21＝433(J)．答案：C求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积．[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8，－4)．法一：选x 作为积分变量，由图可看出S ＝A 1＋A 2.在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ，下半支方程为y ＝－2x ，所以S A 1＝⎠⎛02[2x －(－2x )]d x ＝22⎠⎛02x 12d x .取F 1(x )＝23x 32，∴S A 1＝22[F 1(2)－F 1(0)]＝163. S A 2＝⎠⎛28[4－x －(－2x )]d x ，取F 2(x )＝4x －12x 2＋223x 32.∴S A 2＝F 2(8)－F 2(2)＝383. ∴S ＝163＋383＝18.法二：选y 作积分变量，将曲线方程写为x ＝y 22及x ＝4－y .S ＝2-4⎰⎣⎡⎦⎤(4－y )－y 22d y . 取F (y )＝4y －y 22－y 36，∴S ＝F (2)－F (－4)＝30－12＝18.1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：取F (x )＝x 2＋e x，则F ′(x )＝2x ＋e x，⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝F (1)－F (0)＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e.答案：C2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：取F (x )＝12gt 2，则F ′(x )＝gt ，所以电视塔高为⎠⎛12gt d t ＝F (2)－F (1)＝2g －12g ＝32g . 答案：C3．s 1＝⎠⎛01x d x ，s 2＝⎠⎛01x 2d x 的大小关系是( )A ．s 1＝s 2B ．s 21＝s 2C ．s 1>s 2D ．s 1<s 2解析：⎠⎛01x d x 表示由直线x ＝0，x ＝1，y ＝x 及x 轴所围成的图形的面积，而⎠⎛01x 2d x 表示的是由曲线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1及x 轴所围成的图形的面积，因为在x ∈[0,1]内直线y ＝x 在曲线y ＝x 2的上方，所以s 1>s 2.答案：C4.⎠⎛－12x 4d x ＝________.解析：∵⎝⎛⎭⎫15x 5′＝x 4，取F (x )＝15x 5， ∴⎠⎛－12x 4d x ＝F (2)－F (－1)＝15[25－(－1)5]＝335. 答案：3355．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________. 解析：取F (x )＝x 2＋kx ，则F ′(x )＝2x ＋k ， ∴⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝F (1)－F (0)＝1＋k ＝2，∴k ＝1. 答案：16．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝⎛⎭⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛131⎝⎛⎭⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3.一、选择题1.⎠⎛241x d x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2D ．ln 2解析：⎠⎛241x d x ＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D2．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12C. 1D.32解析：曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．答案：B3.如图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323D.353解析：S ＝⎠⎛－31 (3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－13－1＝53，F (－3)＝－9＋9－9＝－9. ∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.答案：C4．定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，取F 1(x )＝13x 3－x 2，F 2(x )＝－13x 3＋x 2，则F 1′(x )＝x 2－2x ，F 2′(x )＝－x 2＋2x .∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20 (x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝F 1(0)－F 1(－2)＋F 2(2)－F 2(0)＝8.答案：D二、填空题5．函数y ＝x －x 2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于________．解析：由x －x 2＝0，得x ＝0或x ＝1.因此所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x . 取F (x )＝12x 2－13x 3，则F ′(x )＝x －x 2，∴面积S ＝F (1)－F (0)＝16. 答案：166．设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足∫a 0f ′(x )d x ＝0的实数a ＝________.解析：⎠⎛0af ′(x )d x ＝f (a )＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a >0，故a ＝1.答案：17．计算⎠⎛02(2x －e x )d x ＝________. 解析：取F (x )＝x 2－e x ，则F ′(x )＝2x －e x ，所以⎠⎛02(2x －e x )d x ＝F (2)－F (0)＝5－e 2. 答案：5－e 28．曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：由题意得，所求面积为⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x . 取F (x )＝ln x ＋x 2＋e 2x ，则F ′(x )＝1x ＋2x ＋2e 2x ，所以⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x ＝F (e)－F (1)＝e 2e . 答案：e 2e三、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛14⎝⎛⎭⎫2x －1x d x ； (2)⎠⎛01x 1＋x 2d x .解：(1)取F (x )＝2xln 2－2x ，则F ′(x )＝2x －1x . ∴原式＝F (4)－F (1)＝⎝⎛⎭⎫16ln 2－2ln 2－(24－2)＝14ln 2－2. (2)取F (x )＝12ln(1＋x 2)，则F ′(x )＝x 1＋x 2. ∴⎠⎛01x 1＋x 2d x ＝F (1)－F (0)＝12ln 2.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)． ∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)．取F (x )＝x 2－13x 3，则F ′(x )＝2x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (0)＝43.。

北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用二定积分在物理中的应用(2)

4 秒时到达最高为 2021/3/29 80m
例2、一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2-4t+3 (m/s)运动,求:
(1)在t=4 s的位置;
(2)在t=4 s运动的路程.
(1)
4 (t2 4t 3)dt 0
4 3
,t=4s时刻该点距出发点4/3m
(2) S 1(t2 4t 3)dt | 3 (t2 4t 3)dt | 4 (t2 4t 3)dt 4
练习:
1.物体以速度 v(t) 3t 2 2t 3 (m/s)作直线运动,它
C 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m
(A)9
(B)18
(C)27
(D)36
S
3
v(t )dt
0
3 0
(3t
2
2t
3)dt
(t
3
t
2
3t )
|03
27
2.以初速度 40 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度
为 v 40 10t (单位: m s ),试将物体的高度表示为时
间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m).
解:记物体时刻 t 的高度为 h(t ) ,∵ h(0) 0
∴
h(t )
t
h(0) 2021/3/290
(40
10
x)dx
=
40 x
5
x2
|0t
=
40t
5t 2
∴物体的高度表示为时间 t 的函数式为 h(t) 40t 5t 2
车在这 1 min 行驶的路程.
解:由速度──时间曲线可知:
3t (0≤ t ≤10)

高中数学人教课标版选修2-2《定积分的简单应用》课件

x 轴上、下方都有时，定积分等于曲边图形面积的代数和，即等于x 轴上方曲边图形的面积减去 x 轴下方曲边图形的面积.
（2）当 f ( x ) 对应的曲线
微积分基本定理（1）定理：一般地，如果 f ( x ) 是区间 [a, b] 上的连续函数，并且 F ( x) f ( x) ，那么

b
知识回顾
问题探究
课堂结
随堂检测
探究一：定积分在几何中的应用
活动一：回顾整合，定积分的几何意义的深入研究
2．求由两条曲线 f ( x ) 和 g( x ) ，直线 x a, x b,(a b) ，所围成平面图形的面积s，
主要有以下两种类型：
S [ f ( x ) g ( x )]d x f ( x) g ( x) 0 ，所以图中阴影部分面积为_______________. （1）图④中， a
点拨：1.由多条曲线围成的较为复杂的图形求面积，应根据交点将积分区间进行分段，然后根据图像对各段求面积进而求出需要求的图形面积. y x 2.若积分变量选取运算较为复杂，可以尝试选为积分变量，同时注意更改积分的上、下限.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一：定积分在几何中的应用
活动二：探索利用定积分求平面图形的面积的方法. 例3．在曲线 y x
S 法一：选作积分变量，由图可知：
2
S1 S2 ，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y 2x ，在
3 2 2 16 S [ 2 x ( 2 x )]d x (2 2 x ) 所以，1 0 8 3 3 0 8 1 2 2 2 38 S 2 [4 x ( 2 x )]d x (4 x x ) 又， 2 2 3 2 3

北师版高中数学选修2-2课后习题版第四章 §3 定积分的简单应用

第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。

人教A版高中数学选修2-2课件1.7定积分的简单应用(27张PPT).pptx

b
W a F (x)dx
F
y F (x)
Oa
x
b
例1：如图1.7 - 4, 在弹性限
度内 , 将一弹簧从平衡位置
拉到离平衡位置 l m 处, 求弹
力所作的功.
解在弹性限度内,拉伸(或
Q
l
压缩) 弹簧所需的力Fx与
图1.7 - 4 F
弹簧拉伸或压缩的长度 x
成正比,即Fx kx,其中常
思考
定如图, 一桥拱的形状为抛
积物线, 已知该抛物线拱的高为分常数h, 宽为常数b. 的
h
简求证: 抛物线拱的面积 S 2 bh
b
单
3
应
用建立平面直角坐标系确定抛物线方程
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤
证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为
定
y -ax2 (a 0) 代抛物线上一点入方程
C t/s o 10 20 30 40 50 60
图1.7 - 3
解由速度时间曲线可知: v/m/s
3t,
0 t 10 ; 30 A
B
vt 30,
10 t 40; 20
10
-1.5t 90,40 t 60.
C t/s
因此汽车在这1min 行驶的路 o 10 20 30 40 50 60
程是 :
图1.7 - 3
S
10
3tdt
40
30dt
60
-
1.5t
90
dt
0
10
40
3 t2 2
10 0
30t 40 10
3 t2 4
60
90t 40

人教版A版高中数学选修2-2：定积分在几何中的应用

y
y = x2
得交点的坐标(-1,1),(3,9)
o y = 2x + 3 -1
3
x
因此，所求图形的面积为
S = 3 2x + 3dx - 3 x2dx
-1
-1
=
x2 + 3x
3 -1
-
1 3
x3
3 -1
=
(9
+
9
-
9)
-
1
-
3
+
1 3

=
32 3
方法二：分割法
例2 计算由曲线y = x3 6x 和 y = x2 所围成的图形的面积.
b
a f2 (x)dx
b
b
a kf(x)dx = k a f(x)dx
b
f(x)dx
a
=
c
a f(x)dx
+
b
c f(x)dx
(其中a < c < b)
定积分的几何意义：
它是由曲线y=f(x)直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成各个曲边梯形面积的代数和.

新课讲解
方法一：直接法例1: 计算两条抛物线
x

3
所以直线与曲线的交点坐标为
（ 3， 3 3），（0，0），（ 3，3 3）由图象的对称性知，图形在
[ 3，0]，[0，3]积分区间上面积相等。
s 2 3 (3x x3)dx 3x2 3 1 x4 3 9
0
0 20 2
对称法：所求面积的平面图形具有对称性，利
用对称性简化问题

高中数学定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用教案新课标人教A版选修2

第四节定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用一．复习要点： 1．定积分的实质如果在区间[,]a b 上函数连续且有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

如果在区间[,]a b 上函数连续且有()0f x ，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a xb ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数。

如果在区间[,]a b 上函数连续且()f x 有正有负时，那么定积分()baf x dx ⎰表示介于,x a x b ==（a b ≠）之间x 轴之上、下相应的曲边梯形的面积代数和。

()baf x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 a b dx ba-=⎰1性质2⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质31212[()()]()()bbbaaaf x f x d x f x d xf x d x ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dxa cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）3.微积分基本定理一般的，如果()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰。

可以把()2()0aa af x dx f x dx -==⎰⎰()()F b F a -记作()|baF x ，即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰。

高中数学(人教A版)选修2-2同步课件 1.7 定积分的简单应用

分变量，同时更改积分上、下限．
跟踪训练 2．计算由直线 y＝ 6－ x，曲线 y＝ 8x以及 x 轴所围图形的面积．
解：作出直线 y＝ 6－ x，曲线 y＝ 8x的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
y＝ 6－ x，解方程组得直线 y＝ 6－ x y＝ 8x，
与曲线 y＝ 8x交点的坐标为 (2,4)，直线 y＝ 6－ x 与 x 轴的交点坐标为 (6,0)．
新知初探思维启动
1．定积分在几何中的应用
连续且从几何上看，如果在区间[a， b]上函数 f(x)________
b 恒有 f ( x ) ≥ 0 ______________，那么定积分 f(x)dx 表示直线 x＝ a， x a
y＝f(x) 所围成的 ___________ 曲边梯形＝ b(a≠ b)，y＝ 0 和曲线 __________
解析： (1)s＝ (9.8t＋ 6.5)dt
4 8
9.8 2 ＝ t ＋ 6.5t 2 ＝ (4.9× 82＋ 6.5× 8)－ (4.9× 42＋ 6.5× 4) ＝ 261.2(m)．
(2)设 F(x)＝ kx，当 F＝1 时， x＝ 0.01 m，ຫໍສະໝຸດ F x 则 k＝＝ 100， x
1 2 3
9 1 答案： (1) (2) 2 12
题型二分割型图型面积的计算
例2
面积．
【解】
求抛物线 y ＝ 2x 和直线 y＝－ x＋ 4 所围成的图形的
2 y ＝ 2x，解方程组 y＝－ x＋ 4，
2
得交点坐标为 A(2,2)和
B(8，－ 4)．法一：选 x 为积分变量，变化区间为 [0,8]，将图形分割成两部分 (如图 )，则面积为 S＝ S1＋ S2＝ 22 2xdx＋ 8 ( 2x－ x＋ 4)dx

选修2-2 1.6定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用

知识要点梳理1.一般地，如果函数y=f(x)在某个区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I 上的连续曲线。

2 .以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤:①分割,②近似代替,③求和,④取极限. 3. 定积分的定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上图像是连续曲线，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[a,b]等分成n 个小区间。

在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ= 作和式11()()nni i i i b af x f n ξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限趋近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[a,b]上的定积分。

记作:⎰b a dx )x (f 。

即⎰b a dx )x (f =)(f n ab lim i n 1i n ξ-∑=∞→. 其中f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积式，b,a 分别叫做积分上限和下限，区间[a,b]叫做积分区间。

4.定积分的几何意义: ⎰badx )x (f 表示介于x 轴,曲线y=f(x),与直线x=a,x=b 之间部分的曲边梯形面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积取负号.(如下图（1）、（2）5.微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式):如果f(x)是区间[a,b]上图象是连续不断的函数,并且F ˊ(x)=f(x),那么⎰ba dx )x (f =F(x)|ba =F(b)-F(a).其中F(x)叫做f(x)的一个原函数。

6.定积分的性质:①⎰⎰=babadx )x (f k dx )x (kf ,(其中k 为常数);②⎰⎰⎰±=±bababadx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [;③⎰⎰⎰+=bc cabadx )x (f dx )x (f dx )x (f (其中a<b<c)。

数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案

数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 曲线y=sin x与x轴在区间[0, 2π]上所围成阴影部分的面积为（）A.−4B.−2C.2D.42. 由直线x=0，x=2，y=0和抛物线x=√1−y所围成的平面图形绕x轴旋转所得几何体的体积为（）A.46 15πB.43π C.1615π D.83π3. 由直线x=1，x=2，y=0与抛物线y=x2所围成的曲边梯形的面积为（）A.1 3B.53C.73D.1134. 由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A.5 6B.1C.53D.25. 曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A.3π10B.π2C.π5D.7π106. 函数y=sin x，y=cos x在区间(π4，5π4)内围成图形的面积为（）A.√2B.2√2C.3√2D.4√27. 一物体在力F(x)=3+e2x(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=1处，力F(x)所做的功为（）A.(3+e2)JB.(3+12e2)J C.(52+12e2)J D.(2+e2)J8. 由曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积是()A.4B.103C.163D.1549. 下列表示图中f(x)在区间[a, b]上的图象与x 轴围成的面积总和的式子中，正确的是（）A.∫f ba (x)dx B.|∫f ba (x)dx|C.∫f c 1a (x)dx +∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc 2(x)dxD.∫f c 1a (x)dx −∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc2(x)dx10. 直线y =x 与曲线y =√x 3围成的平面图形的面积是．（） A.14 B.2 C.1D.1211. 设函数f(x)=ax 2+c(a ≠0)，若∫f 10(x)dx =f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．12. y =cos x 与直线x =0，x =π及x 轴围成平面区域面积为________．13. 由曲线y =|x|，y =−|x|，x =2，x =−2合成的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V ，则V =________．14. 两曲线x −y =0，y =x 2−2x 所围成的图形的面积是________．15. 由曲线y =x 2和直线x =0，x =1，以及y =0所围成的图形面积是________． 16.若在平面直角坐标系xOy 中将直线y =x 2与直线x =1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的体积V 圆锥=∫π10(x 2)2dx =π12x 3|10=π12据此类比：将曲线y =x 2与直线y =9所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积V =________．17. 在直角坐标平面内，由直线x=1，x=2，y=0和曲线y=1所围成的平面区域的x面积是________．18. 在xOy平面上，将抛物线弧y=1−x2(0≤x≤1)、x轴、y轴围成的封闭图形记为D，如图中曲边三角形OAB及内部．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过点(0, y)(0≤y≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为(1−y)π，试构造一个平放的直三棱柱，利用祖暅原理得出Ω的体积值为________．19. 函数f(x)=x3−x2+x+1在点(1, 2)处的切线与函数g(x)=x2−x围成的图形的面积等于________．2ax2−a2x)dx，则f(a)的最大值为________．20. 已知f(a)=∫(1x2在第一象限内的交点为P.21. 已知曲线C1：y2=2x与C2：y=12(1)求曲线C2在点P处的切线方程；(2)求两条曲线所围成图形的面积S.22. 求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．23. 已知曲线C:y=x2(x≥0)，直线l为曲线C在点A(1, 1)处的切线．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与曲线C以及x轴所围成的图形的面积．24. 如图一是火力发电厂烟囱示意图．它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体，烟囱最细处的直径为10m，最下端的直径为12m，最细处离地面6m，烟囱高14m，试求该烟囱占有空间的大小．（精确到0.1m3）25.(1)已知复数z的共轭复数是z¯，且z⋅z¯−3iz=10，求z；1−3ix所围成的平面图形的面积．(2)求曲线y=√x与直线x+y=2，y=−1326.（1）已知(√x +2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列．求n ．（2）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y =x 2和曲线y =√x 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），求所投的点落在叶形图内部的概率．27. 求由下列给出的边界所围成的区域的面积：（1）y ＝sin x(π4≤x ≤π)，x =π4，y ＝0；（2）y ＝x 2，y ＝2x 2，x ＝1；（3）y ＝x 2，y =√x ．28. 求由y =4−x 2与直线y =2x −4所围成图形的面积．29. 已知曲线y =sin x 和直线x =0，x =π，及y =0所围成图形的面积为S 0．（1）求S 0．（2）求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积．30. 已知函数y =f(x)的图形如图所示，给出y =f(x)与x =10和x 轴所围成图形的面积估计值；要想得到误差不超过1的面积估计值，可以怎么做？31. 已知曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0由C 与围成封闭图形记为M ．（1）求M 的面积；（2）若M 绕x 轴旋转一周，求由M 围成的体积．32. 已知f(x)为一次函数，且f(x)=x ∫f 20(t)dt +1，（1）求函数f(x)的解析式；（2）若g(x)=x ⋅f(x)，求曲线y =g(x)与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积．33. 已知圆锥的高为ℎ，底半径为r ，用我们计算抛物线下曲边梯形面积的思路，推导圆锥体积的计算公式． [提示：（1）用若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n 块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn ，2r n，3r n…，(n−1)r n，r ；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n 2)×πr 2n 2，当n 越来越大时所趋向的值．]．34. 求曲线y =√x(0≤x ≤4)上的一条切线，使此切线与直线x =0，x =4以及曲线y =√x 所围成的平面图形的面积最小．35. 过点(0, 1)作曲线L:y =ln x 的切线，切点为A ．又L 与x 轴交于B 点，区城D 由L 、x 轴与直线AB 围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．36. 求曲线y =2x −x 2，y =2x 2−4x 所围成图形的面积．37. 已知∫(103ax +1)(x +b)dx =0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．38. 求下列曲线所围成图形的面积：曲线y=cos x，x=π2，x=3π2，y=0．39. 求曲线y=sin x与直线x=−π2，x=5π4，y=0所围成的平面图形的面积．40. 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x−x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．参考答案与试题解析数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分） 1.【答案】 D【考点】定积分在求面积中的应用【解析】由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0xdx ，即可得出结论．【解答】解：由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0xdx =(−cos x)|0π=4．故选：D ． 2.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】由题意此几何体的体积可以看作是∫π20(1−x 2)2dx ，求出积分即得所求体积．【解答】解：由题意几何体的体积； ∫π20(1−x 2)2dx=π(x −23x 3+15x 5)|02=π(2−23×23+15×25) =4615π 故选A ． 3. 【答案】 C【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：直线x =1，x =2，y =0与抛物线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为S =∫x 221dx =13x 3|12=83−13=73，故选：C ．4.【答案】 A【考点】定积分的简单应用【解析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解，然后求出曲线y =x 2+2与y =3x 的交点坐标，然后利用定积分表示所围成的平面图形的面积，根据定积分的定义解之即可．【解答】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x =[13X 3+2X −32X 2]01=56 故选：A 5.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】欲求曲线y =x 2和y 2=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周后所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y =π(x −x 4)在0→1上的积分即可．【解答】解：设旋转体的体积为V ，则v =∫π10(x −x 4)dx =π(12x 2−15x 5)|01=3π10．故旋转体的体积为：3π10．故选A ． 6. 【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用【解析】根据定积分的几何意义，所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx ，然后利用公式求出sin x −cos x 的原函数F(x)，算出F(5π4)−F(π4)的值，即为所求图形的面积．【解答】解：根据题意，所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx =(−cos x −sin x +C)|π45π4 （其中C 为常数） ∴ S =(−cos 5π4−sin5π4+C)−(−cos π4−sin π4+C)=(√22+√22+C)−(−√22−√22+C)=2√2 故选B 7.【答案】 C【考点】定积分的简单应用【解析】先根据题意建立关系式∫(103+e 2x )dx ，然后根据定积分的计算法则求出定积分的值即可．【解答】解：根据题意可知F(x)所做的功为∫(103+e 2x )dx =(3x +12e 2x )|01=3+12e 2−12=52+12e 2故选C ．8.【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用【解析】根据定积分的几何意义，先求出积分的上下限，即可求出所围成的图形的面积【解答】解：联立直线y =x −2，曲线y =√x 构成方程组，解得{x =4,y =2,联立直线y =x −2，y =0构成方程组，解得{x =2,y =0,如图所示：∴曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积S=∫√x40dx−∫(42x−2)dx=2x32|04 −(1x2−2x)|24=163−2=103．故选B．9.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用定积分定积分的简单应用【解析】先根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段，然后利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积，从而求出所求．【解答】解：根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积S=∫fc1a (x)dx−∫fc2c1(x)dx+∫fcc2(x)dx故选：D10.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先画出画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形，然后求出交点横坐标得到积分上下限，然后利用定积分表示出图形的面积，根据定积分的运算法则进行求解即可．【解答】解：画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形图形关于原点对称，交点的横坐标为−1，1∴直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形的面积是∫(1−1√x3−x)dx=2∫(1√x3−x)dx=2(34x43−12x2)|01=2(34−12−0)=12故选D ．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分） 11.【答案】 √33【考点】定积分的简单应用【解析】求出定积分∫f 10(x)dx ，根据方程ax 02+c =∫f 10(x)dx 即可求解．【解答】解：∵ f(x)=ax 2+c(a ≠0)，∴ f(x 0)=∫f 10(x)dx =[ax 33+cx]01=a3+c ．又∵f(x 0)=ax 02+c ．∴ x 02=13，∵ x 0∈[0, 1]∴ x 0=√33． 12.【答案】2【考点】定积分在求面积中的应用【解析】本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线y =cos x 与直线x =0，x =π所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积的两倍，最后结合定积分计算面积即可．【解答】解：根据对称性，得：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积的两倍， ∴ S =2∫cos π20xdx =2 故答案为2．13.【答案】323π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）用定积分求简单几何体的体积【解析】作出曲线围成的封闭图象，根据旋转得到旋转体的结构即可得到结论．【解答】解：曲线y=|x|，y=−|x|，x=2，x=−2合成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体为底面半径为2，高为4的圆柱，去掉2个底面半径为2，高为2的圆锥，则对应的体积为π×42−2×13π×22×2=16π−16π3=323π，故答案为：323π14.【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为3，积分下限为0，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为3，积分下限为0；两曲线x−y=0，y=x2−2x所围成的图形的面积是∫(33x−x2)dx而∫(303x−x2)dx=(32x2−13x3)|03=272−9=92∴曲边梯形的面积是92故答案为92．15. 【答案】13【考点】定积分在求面积中的应用【解析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y =x 2在区间[0, 1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．【解答】解：∵ 曲线y =x 2和直线L:x =1的交点为A(1, 1)，∴ 曲线C:y =x 2、直线L:x =1与x 轴所围成的图形面积为 S =∫x 210dx =13x 3|01=13．故答案为：13．16. 【答案】81π2【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积．【解答】解：根据类比推理得体积V =∫π90(√y)2dy =∫π90ydy =12πy 2|09=81π2，故答案为：81π2.17.【答案】 ln 2【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据所围成图形的面积利用定积分表示出来，然后根据定积分的定义求出面积即可．【解答】解：由题意，S =∫1x 21dx =ln x|12=ln 2．故答案为：ln 2． 18. 【答案】√34π 【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】(1−y)π看作是把一个底面边长为1，高为π的直三棱柱平放得到的，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即可得出结论．【解答】解：(1−y)π看作是把一个底面边长为1，高为π的直三棱柱平放得到的，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π⋅√34=√34π．故答案为√34π． 19. 【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用【解析】求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积．【解答】解：函数的导数为f′(x)=3x 2−2x +1，则在(1, 2)处的切线斜率k =f′(1)=3−2+1=2，则对应的切线方程为y −2=2(x −1)，即y =2x ，由{y =x 2−x y =2x，解得x =3或x =0，则由积分的几何意义可得阴影部分的面积S =∫(302x −x 2+x)dx =(32x 2−13x 3)| 30 =92，故答案为：92．20. 【答案】29【考点】定积分的简单应用【解析】先根据定积分的运算公式求出f(a)的解析式，然后利用二次函数的图象和性质即可求出f(a)的最大值．【解答】解：f(a)=∫(102ax 2−a 2x)dx =(23ax 3−12a 2x 2)|01=23a −12a 2∴ 当a =23时，f(a)取最大值，最大值为29 故答案为：29三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分） 21.【答案】解：(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为：y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2)，故该点的切线方程为：2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43.【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为：y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2)，故该点的切线方程为：2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43. 22. 【答案】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1【考点】定积分的简单应用【解析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解．【解答】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1 23. 【答案】解：（1）由y′=2x ，则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2，切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0；（2）如图，所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112．【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）根据定积分的几何意义即可求出所围成的图形的面积．【解答】解：（1）由y′=2x ，则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2，切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0；（2）如图，所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112．24.【答案】解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A =10，并且过(−6, 6)，所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1，所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 3【考点】用定积分求简单几何体的体积双曲线的特性【解析】由题意建立坐标系，得到如图的双曲线，烟囱最细处的直径为10m 即2a =10，最下端的直径为12m ，最细处离地面6m ，即双曲线经过(−6, 6)，烟囱高14m ，即自变量范围为−6到8，由此利用定积分的值得到体积．【解答】解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A =10，并且过(−6, 6)，所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1，所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 325.【答案】解：(1)设z =a +bi (a,b ∈R )，则z ¯=a −bi ，∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i ， ∴ {a 2+b 2+3b =1，−3a =3，解得 {a =−1，b =0，或{a =−1，b =−3，∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ，x +y =2，解得{x =1，y =1，即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1)，同理可得，曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0)，直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1)，所以围成的平面图形的面积为： S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136．【考点】复数的运算共轭复数复数代数形式的混合运算定积分在求面积中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设z =a +bi (a,b ∈R )，则z ¯=a −bi ，∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i ， ∴ {a 2+b 2+3b =1，−3a =3，解得 {a =−1，b =0，或{a =−1，b =−3，∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ，x +y =2，解得{x =1，y =1，即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1)，同理可得，曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0)，直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1)，所以围成的平面图形的面积为： S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136．26. 【答案】解：（1）∵ (√x 2x4)n 展开式的前三项系数成等差数列，∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴ 1+n(n−1)2×14=n ，整理得n 2−9n +8=0，n 1=1（舍） n 2=8…（2）所投的点落在叶形图内记为事件A ，由几何概型的概率公式得： P(A)=叶形图面积AOBC 的面积=∫(10√x−x 2)dx1=(23x 32−13x 3)|01=13…【考点】二项式定理的应用定积分在求面积中的应用等差数列的性质几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】（1）由题意可得，C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12，解关于n 的方程即可；（2）由几何概型的概率公式可知，需求叶形图的面积，利用定积分∫(10√x −x 2)dx 可求叶形图的面积，从而使问题解决．【解答】解：（1）∵ (√x 2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列，∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴1+n(n−1)2×14=n，整理得n2−9n+8=0，n1=1（舍）n2=8…（2）所投的点落在叶形图内记为事件A，由几何概型的概率公式得：P(A)=叶形图面积AOBC的面积=∫(1√x−x2)dx1=(23x32−13x3)|01=13…27.【答案】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22．利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13．由于{y=x2y=√x，解得{x=0y=0或{x=1y=1，所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13．【考点】定积分的简单应用【解析】首先求出被积函数的原函数，进一步利用定积分知识求出结果．【解答】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22．利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13．由于{y=x2y=√x，解得{x=0y=0或{x=1y=1，所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13．28.【答案】解：由y=4−x2与直线y=2x−4联立，可得交点(−4, −12)，(2, 0)，∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x3−x2+8x)|−42=36．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由y=4−x2与直线y=2x−4联立，可得交点(−4, −12)，(2, 0)，∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x 3−x 2+8x)|−42=36．29. 【答案】解：（1）S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 （2）V =π∫sin 2π0xdx =π[x2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π22【考点】用定积分求简单几何体的体积定积分在求面积中的应用【解析】（1）根据题意可知曲线y =sin x 和直线x =0，x =π，及y =0所围成图形的面积为S 0=∫sin π0xdx ，解之即可；（2）所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为V =π∫sin 2π0xdx ，根据定积分的定义解之即可．【解答】解：（1）S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 （2）V =π∫sin 2π0xdx=π[x 2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π2230.【答案】解：设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则f′(x)=3ax 2+2bx +c ，由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0，即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11，解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0， ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x ． ∴ S =∫f 100(x)dx =(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5．若要想得到误差不超过1的面积估计值，可使用分段函数求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，利用待定系数法确定函数关系式，利用定积分求出面积估计值；若要误差小可分段求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积．【解答】解：设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则f′(x)=3ax 2+2bx +c ，由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0，即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11，解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0， ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x ． ∴ S =∫f 100(x)dx=(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5．若要想得到误差不超过1的面积估计值，可使用分段函数求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积． 31. 【答案】解：（1）曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0联立，可得交点坐标为(4, 2)，则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43；（2）V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx =π(x 22−x 312)|04=8π3．【考点】用定积分求简单几何体的体积旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】（1）求得交点坐标，可得积分区间，即可求M 的面积；（2）旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求．【解答】解：（1）曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0联立，可得交点坐标为(4, 2)，则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43；（2）V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx=π(x 22−x 312)|04=8π3．32.【答案】解：（1）设f(x)=kx +b ， ∵ f(x)=x ∫f 20(t)dt +1， ∴ kx +b =x •(kt 22+bt)|02+1，∴ kx +b =(2k +2b)x +1，∴ k =−2，b =1， ∴ f(x)=−2x +1，；2)g(x)=xf(x)=−2x 2+x ， ∴ V =π∫[120xf(x)]2dx =π240．【考点】用定积分求简单几何体的体积定积分【解析】（1）利用待定系数法，结合定积分的定义求函数f(x)的解析式；（2）求出g(x)，应用定积分来求旋转体的体积．【解答】解：（1）设f(x)=kx+b，∵f(x)=x∫f2(t)dt+1，∴kx+b=x•(kt22+bt)|02+1，∴kx+b=(2k+2b)x+1，∴k=−2，b=1，∴f(x)=−2x+1，；2)g(x)=xf(x)=−2x2+x，∴V=π∫[120xf(x)]2dx=π240．33.【答案】解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn，2r n ，3rn…，(n−1)rn，r；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2，当n越来越大时所趋向的值．（对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎn⋅16n(n+1)(2n+1)⋅πr2n2=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】利用极限的定义进行分割、近似代换和求极限的方法，进行推到【解答】解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn，2r n ，3rn…，(n−1)rn，r；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2，当n越来越大时所趋向的值．（对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎ⋅1n(n+1)(2n+1)⋅πr22=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积34.【答案】解：设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y−y0=2√x −x0)即y=y02+2√x．得其与x=0，x=4的交点分别为(0,y02)，(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为：S=∫(4 0y022x√x)dx=2y0+x−163=2√x0x−163应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．即所求切线即为：y=22+√22．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据导数的几何意义求出曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点处的切线方程，再求出积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可．【解答】解：设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y−y0=2x −x0)即y=y02+2x．得其与x=0，x=4的交点分别为(0,y02)，(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为：S=∫(4 0y022√x√x)dx=2y0+√x−163=2√x0√x−163应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．即所求切线即为：y=2√2+√22．35.【答案】解：设切线方程为y =kx +1，切点坐标为(a, b)，则{k =1aka +1=b ln a =b ，解得a =e 2，b =2，∴ 切线方程为y =1e 2x +1．将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2，∴ B(−e 2, 0)． ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2．区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx =8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π．【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】求出A 的坐标和切线方程，则所求面积和体积均可用两个定积分的差来表示．【解答】解：设切线方程为y =kx +1，切点坐标为(a, b)，则{k =1aka +1=b ln a =b，解得a =e 2，b =2，∴ 切线方程为y =1e 2x +1．将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2，∴ B(−e 2, 0)． ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2．区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx=8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π．36. 【答案】解：由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ，得{x =0y =0或{x =2y =0， ∴ 所求图象的面积为：∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先求出两曲线的交点坐标，利用定积分的应用即可求出对应图形的面积．【解答】解：由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ，得{x =0y =0或{x =2y =0， ∴ 所求图象的面积为：∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4． 37. 【答案】解：∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 【考点】定积分的简单应用【解析】先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设ab =t 则a +b =−3t+12，再利用构造法构造a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根，然后利用判别式可求出a ．b 的取值范围．【解答】解：∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 38.【答案】解：根据对称性，得：曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍， ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2．故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍，最后结合定积分计算面积即可．【解答】解：根据对称性，得：曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍， ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2．故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2．39. 【答案】解：s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】求曲线y =sin x 与直线x =−π2，x =5π4，y =0所围成的平面图形的面积【解答】解：s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22． 40.【答案】由 {y =kx y =x −x2 得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1)．由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112 ∴ (1−k)3=12 ∴ k ＝1−√432∴ 直线方程为y ＝(1−√432)x ．故k 的值为：k =1−√432．【考点】定积分的简单应用【解析】先由 {y =kx y =x −x 2 得 {x =1−k y =k −k 2 ，根据直线y ＝kx 分抛物线y ＝x −x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 下面利用定积分的计算公式即可求得k 值．【解答】由 {y =kx y =x −x 2得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1)．由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112试卷第31页，总31页 ∴ (1−k)3=12 ∴k ＝1−√432∴ 直线方程为y ＝(1−√432)x ．故k 的值为：k =1−√432．。

高中数学选修2-2-定积分的概念及其简单应用

定积分的概念及其简单应用知识集结知识元定积分的应用知识讲解1．定积分的应用【应用概述】正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用也就和求面积相关．例1：定积分|sin x|dx的值是．解：|sin x|dx＝＝﹣cos x+cos x＝1+1+0﹣（﹣1）＝3．这个题如果这样子出，|sin x|在区间（0，）上与x轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．【定积分在求面积中的应用】1、直角坐标系下平面图形的面积2、极坐标系下平面图形的面积由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为3、用定积分求平面图形的面积的步骤a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；c）具体计算定积分，求出图形的面积．例题精讲定积分的应用例1.直线x=1，x=e与曲线y=围成的面积是（）A．B．C．D．例2.由曲线，直线y=x所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．1例3.抛物线y=x2-1与直线y=x+1所围成的平面图形的面积是（）A．B．C．5D．用定积分研究简单几何体的体积知识讲解1．用定积分求简单几何体的体积【知识点的知识】1、已知平行截面面积的立体的体积2、旋转体的体积例题精讲用定积分研究简单几何体的体积例1.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个设计集合求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等．由曲线x2=4y，x2=-4y，x=4，x=-4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1：满足x2+y2≤16，x2+（y-2）2≥4，x2+（y+2）2≥4的点（x，y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）A．V1=V2B．V1=V2C．V1=V2D．V1=2V2例2.曲线y=e x，直线x=0，x=与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到旋转体的体积是（）A．B．C．D．例3.曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A．B．C．D．。

高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.4知识点总结含同步练习题及答案

x x [n, 2n] 上的 n 个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，
1 1 1 25 ． + +⋯+ < n+1 n+2 2n 36
即
2n 1 1 1 1 n + +⋯+ <∫ dx = ln x| 2 n = ln 2n − ln n = ln 2， n+1 n+2 2n x n
因为ln 2 ≈ 0.6931 ， 25 ≈ 0.6944 ，所以ln 2 < 25 ．所以
3 1
π 2 dx；（3）∫ 0 2 (sin x − cos x)dx． x
∫
(1 + x + x2 ) = ∫
3 1
1 2 3 1 x | 1 + x3 | 3 1 2 3 1 1 = (3 − 1) + (3 2 − 1 2 ) + (3 3 − 1 3 ) 2 3 44 = . 3 = x| 3 1 +
∑ f (ξi )Δx = ∑
i =1 i =1 n n
b−a f (ξi )， n
当 n → ∞ 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分（definite integral），记作 ∫ ab f (x)dx，即
∫
b a
f (x)dx = lim ∑
∫
b a
f (x)dx = F (x)| b a = F (b) − F (a).
例题：利用定积分定义计算：（1）∫ 1 (1 + x)dx；（2）∫ 0 xdx．解：（1）因为 f (x) = 1 + x 在区间 [1, 2] 上连续，将区间 [1, 2] 分成 n 等份，则每个区间的

高中数学选修2-2同步练习题库：定积分的简单应用(填空题：容易)

定积分的简单应用（填空题：容易）1、若，则实数的值是 .2、由曲线所围成的封闭图形的面积为________3、如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为___________.4、已知，则函数的单调递减区间是______.5、定积分的值为．6、_____________．7、曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为 .8、曲线与所围成的封闭图形的面积s=9、已知，则．10、曲线和曲线围成的图形面积是11、的值等于 .12、曲线与直线围成的封闭图形的面积是 .13、在平面直角坐标系内，由曲线所围成的封闭图形的面积为．14、二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为．15、．16、由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为______________．17、定积分．18、计算定积分：．19、已知函数，则。

20、= ．21、计算= ．22、计算：= .23、等于．24、________.25、定积分___________;26、＝。

27、求曲线，所围成图形的面积.28、由曲线，直线所围图形面积S= .29、定积分= .30、定积分的值为____________.31、计算定积分(x2+sinx)dx=.32、求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为_______。

33、已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为________．34、dx + .35、曲线＝x与y＝围成的图形的面积为______________．36、＝________________。

37、设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.38、一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向,从处运动到(单位：)处,则力做的功为焦.39、由直线，，曲线及轴所围成的图形的面积是．40、计算定积分 .41、已知求 .42、曲线与直线所围成的封闭图形的面积为．43、在的展开式中的常数项为p，则 .44、设＝，则二项式展开式中含项的系数是。

(完整word版)高中数学选修2-2定积分的简单应用

［学习目标］i •理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积2掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法 3通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题尹知识梳理知识点一定积分在求几何图形面积方面的应用1•求由一条曲线y = f(x)和直线x = a , x = b(a V b)及y = 0所围成的平面图形的面积 S.bf(x)dx.ab f(x)dx.ag cf xdxS =a直线x = a , x = b(a V b)所围成平面图形的面积 S.(1) 如图④，当 f(x)> g(x)>0 时，S = b [f(x) _ g(x)]dx.a3•当 g(x)v f(x )w 0 时，同理得 S = b ［f(x) — g(x)］dx.a第一建寻数雎肚应用§1.7定积分的简单应用(1)如图①，f(x) > 0, bf(x)dx> 0,所⑵如图②，f(x) V 0,bf(x)dx v 0,所以 S =ab fx dx a(3)如图③，当a < x < c 时，f(x) w 0,cf(x)dx v 0;当ac < x < b 时，f(x) > 0,bf(x)dx > 0所以a⑵如图⑤，当 f(x)> 0 , g(x)V 0 时，S = b f(x)dx +：gxdx = b[f(x)_ g(x)]dx.a2•求由两条曲线+ b f(x)dx =_ c f(x)dx + b f(x)dx.思考(1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？⑵当f(x)<0时，f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示？答案(1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可.(2) 如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x) = 0，下边界函数为f(x)，所以S= b(o —f(x))dx=—b f(x)dx.a a4.利用定积分求平面图形面积的步骤：(1) 画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2) 确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限；(3) 确定被积函数；(4) 写出平面图形面积的定积分表达式；⑸利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案知识点二定积分在物理中的应用1. 在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和，从时刻t= a到时刻t = b所经过的路程s和位移s'分别为：(1)若v(t) > 0,贝U s= b v(t)dt, s'= b v(t)dt.a a⑵若v(t)w 0,贝y s=—b v(t)dt, s'= b v(t)dta a⑶若在区间［a, c］上v(t)> 0,在区间［c, b］上v(t)<0 ,贝y s= c v(t)dt —b v(t)dt, s'= b v(t)dta c a2. 定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v = v(t)(v(t) >0)在时间区间［a, b］上的定积分，即s= b v(t)dt.a⑵一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m),则力F所做的功为W= Fs；而若是变力所做的功W,等于其力函数F(x)在位移区间［a, b］上的定积分，即W= b F(x)dx.a思考下列判断正确的是 _______________ .(1) 路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念； (2) 利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子t 2V (t)dt ； t 1 (3) 利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子t 2V(t)dt.t l 答案⑴(3)解析(1)显然正确•对于⑵(3)两个判断，由于当 v(t)>0时，求某一时间段内的路程和位移均用t 2v(t)dt 求解；当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用t 2v(t)dt 求解，这一时段的路程 t i t i是位移的相反数，即路程为 —t 2v(t)dt.所以⑵错⑶正确•t i题型一利用定积分求平面图形的面积问题x例1求由抛物线y 2= 5, y 2= x — 1所围成图形的面积•解在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图方法一以x 为积分变量•2 xy = _, 由 5得两个抛物线的两个交点坐标分别为y 2 = x — 1,B 5,设点P(1,0)，则所求面积S= 2gdx-讨x- 1dx=2 Ux215方法二以y为2 3.2=y —,由5可得两个抛物线的两个交点坐标分别为y2=x—1,A 4, ，B4,1设点P(1,0)，则所求面积S= 2 2 (y2+ 1—5y2)dy1=2 y -#y 3 2o反思与感悟若以x 为积分变量，则被积函数的原函数不易确定，而且计算也比较麻烦；若以y 为积分变量，则可以避免这种情况•选取积分变量有时对解题很关键 •跟踪训练1在曲线y = x 2(x >0)上的某一点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围成图形设由曲线和过 A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ,则S = S 曲边△ AOB — ABC .即S = ^x 0—寸处=12x 0 =右，所以 x °= 1. 从而切点为A(1,1)，切线方程为y = 2x — 1 题型二运用定积分求解物理问题例2 一点在直线上从时刻 t = 0(s)开始以速度v = t 2— 4t + 3(m ⑸运动，求： (1)此点在t = 4 s 时的位置；⑵此点在t = 4 s 时运动的路程.解因为位置决定于位移，所以它是v(t )在［0,4］上的定积分，而路程是位移的绝对值之和,所以需要判断在［0,4］上哪些时间段的位移为负. (1)在t = 4 s 时，该点的位移为 1 4(t 2— 4t + 3)dt = 3t 3— 2t 2 + 3t42 3.1的面积为12.试求：切点 A 的坐标和过切点 A 的切线方程.解如图所示，设切点 A(x o , y o )，由y ' = 2x 得过A 点的切线方程为y — y o = 2x o (x — x o ),即y = 2x o x — x 0.令y = 0，得x = x 0即C x o2，0 .S 曲边△ AOB =x o4 =尹).x) 01 1S^ABC = 2BC| AB|= 2 X 0 —即在t= 4 s时该点在距出发点-m处.3(2) •/ v(t)= t2—4t+ 3= (t—1)(t —3),•••在区间［0,1］及［3,4］上，v(t) >0,在区间［1,3］上，v(t )w 0, •••该点在t = 4 s 时的路程为 S = 1(t 2 — 4t + 3)dt +3 {2 — 4t + 3 dt + 4(t 2— 4t + 3)dt3=1(t 2 — 4t + 3)dt — 3(t 2— 4t + 3)dt + 4(t 2 — 4t + 3)dt = 4(m).13反思与感悟解决此类问题的一般步骤：(1)求出每一时间段上的速度函数；(2)根据定积分的物理意义，求出对应时间段上的定积分 •跟踪训练2有一辆汽车以每小时36 km 的速度沿平直的公路行驶，在 B 处需要减速停车设汽车以2 m/s 2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？解设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.v o = 36 km/h = 10 m/s , v(t) = v o — at = 10— 2t. 令 v(t)= 0,解得 t = 5.题型三用定积分解决变力做功问题25 cm 伸长到40 cm 所做的功.解设x 表示弹簧伸长的长度，f(x)表示加在弹簧上的力，贝U f(x) = kx(其中常数k 为比例系数).因为当f(x) = 100时，x = 5,所以k = 20. 所以 f(x)= 20x.弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时，弹簧伸长的长度x 从0 cm 变化到15 cm ，故所做的功15W = 1520xdx = 10x 2= 2 250(N • cm = 22.5(J).0 0 反思与感悟(1)根据物理学知识，求出变力f(x)的表达式；(2)由功的物理意义知，物体在变力f(x)的作用下，沿力的方向做直线运动，使物体由一个位置移到另一个位置，因此，求功之前应先求出位移的起始位置和终止位置； (3)根据变力做功的公式 W = b f(x)dx 求出变力所a做的功.跟踪训练3如图所示，设气缸内活塞一侧存在一定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由V 1变为V 2，求气体压力所做的功.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.s =5(10 — 2t)dt = (10t — t 2)=25(m).例3设有一个长为25 cm 的弹簧，若加以 100 N 的力，则弹簧伸长到 30 cm ，求使弹簧由C解由物理学知识知，气体膨胀为等温过程，所以气体压强为P = C (V 表示气体体积，C 为常数)，而活塞上的压力为 F = PQ = CQ = C(Q 表示截面积，L 表示活塞移动的距离，V = LQ). 记L I ,L 2分别表示活塞的初始位置和终止位置，于是有W = L 2F(L)dL = L 2CdL = C V ^VdVL i L I L V I VV 2=C(ln V)V i=C(ln V 2 — In V i ).所以气体体积由 V i 变为V 2，气体压力所做的功为C(ln V 2 — In V i ).易错易混用定积分求平面图形面积时，因对图形分割不当致误例4 求由抛物线y 2= 8x(y >0)与直线x + y — 6= 0及y = 0所围成图形的面积错解由题意，作出图形如图=6x错因分析 S = 4(6 — x — . 8x)dx4(6 — x)dx 表示由直线y = 6— x 与直线x = 0,直线x = 4，直线y = 0围成的图形的面积,.8xdx 表示由抛物线 y 2 = 8x(y >0)与直线x = 0,直线x = 4，直线y = 0围成的图形的面积•上述S 显然不是所求图形的面积•y 2= 8xy >0 , 由x + y — 6 = 0得x = 2，所以抛物线 y 2= 8x(y > 0)与直线x + y — 6= 0的交点坐标为y = 4,(2,4),所以所求面积S =4(6 — x — , 8x)dx0 =24 — 8 —342 = 16 —32,2=4(6 —x)dx—4 . 8xdx.0 0防范措施合理划分积分上、下限及正确选择积分变量，最好结合图形进行处理正解 s = 2 8xdx +6(6 — x)dx2:2 3 2 , 6=,8x 21 2 6x —3 x■ '3 02 2=垃+ 3十6X 6—1X 621 2—6 X 2—产 22& 40.16当堂检测自查自纠1•在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中, 正确的有 (s =S = a [f(x)— g(x)]dxb4f(x)d x — 7f(x)dx14s =a[g(x) — f(x)]d x + b [f (x) — g (x)]d xA. ①③B.②③C.①④D.③④答案解析 ①应是S = b [f(x)—g(x)]dx ,②应s =82 2xdx —8(2x — 8)dx ,③和④正确•故选D.432•曲线y = cos x(0 W x < 2 n 与坐标轴所围图形的面积是 (5A.2B.3C.?D.4答案 B/<0①S = 8(2 . 2x — 2x + 8)dx19答案19解析由图形可得=3+4—2+ 討42-亍43—4 x 4—予 3+419 3 .5.—个弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短 5 cm ,求弹簧克服弹力所做的功. 解设 F(x)= kx ,3n n3 n 2n2解析 S = §cos xdx — 2cos xdx = sin x - sin xn 0n- 22n3 n n .=sin 2— sin 0 —sin ◎ + sin 2= 1—0 + 1 + 1= 3.3•—列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度 v(t)= 27 — 0.9t ,则列车刹车后前进多少米才能停A.405B.540C.810D.945答案 A解析停车时 v(t)= 0,由 27 — 0.9t = 0,得 t = 30,30二s = 30v(t)dt = 30 (27 — 0.9t)dt = (27t — 0.45t 2) ° = 405.0 04. 由曲线y = x 2+ 4与直线y = 5x , x = 0, x = 4所围成平面图形的面积是S =1(x 2+ 4— 5x)dx +0 4(5x — x 2—1~x 3 + 4x — |x 2 |x 2—护—4x•••弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，••• k = 4.•••弹簧克服弹力所做的功为-谍堂小结 ------------------------------------ 11•利用定积分求平面图形面积的一般步骤： (1)在平面直角坐标系中画出图形；⑵通过解方程求出交点坐标；⑶写出平面图形面积的定积分表达式，当被求平面区域较复杂时，可分割求和；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积• 2•路程问题•(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键 .(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算 3•变力做功问题•(1)变力做功问题，首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键一步 .(2)根据变力做功的公式，将其转化为求定积分的问题•课时精练一、选择题1•用S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是()A. cf(x)dxaBcf x dx・ aC. b f(x)dx + cf(x)dxa bD.cf(x)dx — b f(x)dxba答案 D解析■/ x € [a , b]时，W = 4 5xdx = 4X5=50(N • cm = 0.5(J).f(x)<0 , x€ [b, c]时，f(x)>0 ,•••阴影部分的面积S= c f(x)dx—b f(x)dx.b a2•—物体沿直线以v= 2t+ 1 (t的单位：s, v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1〜2 s 间行进的路程为()A.1 mB.2 mC.3 mD.4 m答案 D 解析 s =2 2t + 1 dt =F +1= 4（m ）.113•—物体从A 处向B 处运动，速度为1.4t m/s （t 为运动的时间），到B 处时的速度为35 m/s , 则AB 间的距离为（）A.120 mB.437.5 mC.360 mD.480 m答案 B25解析从A 处到B 处所用时间为25 s 所以|AB|=20 21 22 23 24 251.4tdt = 0.7t 2 = 437.5 (m).o4.若y = f(x)与y = g(x)是[a , b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线 x = a , x = b所围成的平面区域的面积为 ( )A. b[f(x) - g(x)]dx a B. b[g(x) - f(x)]dxaC. b |f(x)— g(x)|dx a Db[f(x)— g(x)]dx・ a答案 C解析当f(x)>g(x)时，所求面积为 b[f(x)— g(x)]dx ;当f(x)< g(x)时，所求面积为b[g(x)—a af(x)]d x.综上，所求面积为 b|f(x)— g(x)|dx.a5.以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时速度v = 40 — 10t 2,则此物体达到最高时的高度为（）80 B・3 m厂4° C.§ m 答案 A 解析 v = 0时物体达到最高，此时 40— 10t 2= 0，贝U t = 2 s. 又V 0= 40 m/s , /• t 0 = 0 s.160 A. m20 D.亍m••• h = 2(40 — 10t 2)dt = 0 40t —少 160 = Rm).6. 如果1 N的力使弹簧伸长1 cm,在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为( )A.0.5 JB.1 JC.50 JD.100 J 答案 A解析由于弹簧所受的拉力 F(x)与伸长量x 成正比，依题意，得F(x) = x ,为了将弹簧拉长、填空题7. ____________________________________________________________ 由曲线y = €'x 与y = x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为 __________________________________ 答案 1( x — x 3)dx解析画出y =,殳和y = x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积,解方程组y = ；x ，得交点的横坐标为 x = 0及x = 1.因此，所求图形的面积为y = x 3 x 3)dx. 8.有一横截面的面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t 秒末的流速为v(t)= 6t —t 2(单位：cm/s)(O w t w 6).则t = 0到t = 6这段时间内流出的水量为 ___________ cm 3. 答案 144 由题意可得t = 0至U t = 6这段时间内流出的水量V =64(6t — t 2)dt =9. 如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置Im 处，则克服弹簧力所做的功为 ________ J.1 答案尹|2解析在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F(x)=| I 21110 cm ,拉力所做的功为 W =10F(x)dx =10xdx =o1x2io=50 (N • cn = 0.5 (J).S=1C.x —解析66t — t 2 dt = 4 3t 2—ft 3 0=144 (cm 3).故t = 0到t = 6这段时间内流出的水量为144 cm 3.kx,其中k为比例系数.由变力做功公式得W= lkxdx= 2kx= 2kI2(J).0 0 210. ____________________________________________________________ 由两条曲线y= x2, y = 4*与直线y= 1围成平面区域的面积是__________________________________4答案43解析如图，y= 1与y= x2交点A(1,1),x2y= 1与y = ~交点B(2,1)，由对称性可知面积S= 2 1x2dx+ 21dx—24x2dx =-o i o 3三、解答题11. 求抛物线y= —x2+ 4x—3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积•解由y' =—2x+ 4得在点A、B处切线的斜率分别为2和一2,则两直线方程分别为y = 2x—2 和y=—2x+ 6,y = 2x —2,由得两直线交点坐标为C(2,2),y=—2x + 6,S= S A ABC—3( —x2+ 4x—3)dx11 1 3 c2 c34 2=-x 2 X 2——-x3+ 2x2—3x = 2—：=：2 3 1 3 3'12. 物体A以速度V A= 3t2+ 1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B也以速度V B = 10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动，问多长时间物体A比B多运动5米，此时，物体A, B 运动的距离各是多少？解依题意知物体A, B均做变速直线运动•设a秒后物体A比B多运动5米，则A从开始到a秒末所走的路程为S A = a V A dt = a(3t2+ 1)dt = a3+ a;0 0B从开始到a秒末所走的路程为S B=a v B dt = a10tdt = 5a2.0 0由题意得S A=S B+ 5，即a3+ a= 5a2+ 5,得a = 5.此时S A = 53+ 5 = 130(米),S B= 5X 52= 125(米).故5秒后物体A比B多运动5米，此时，物体A, B运动的距离分别是130米和125米.13. 定义F(x, y)= (1 + x)y, x, y € (0,+^ ).令函数f(x)= F(1 , log2(x2—4x+ 9))的图象为曲线C1 ,曲线C1与y轴交于点A(0 , m),过坐标原点O作曲线C1的切线，切点为B(n , t)(n>0), 设曲线C1在点A、B之间的曲线段与OA、OB所围成图形的面积为S,求S的值.解•/ F(x, y)= (1 + x)y,••• f(x)= F(1 , log2(x2—4x+ 9)) = 2log2(x2—4x+ 9) = x2—4x+ 9，故A(0,9), f' (x)= 2x — 4. 又•••过O作C i的切线，切点为B(n, t)( n>0),t = n2—4n + 9,t 解得B(3,6).=2n —4,n1 • S= 3(x2—4x+ 9 —2x)dx= 3X33 03—3x2+ 9x = 9.。

高中数学选修2-2 同步练习定积分的概念+微积分基本定理+定积分的简单应用(原卷版)

第一章导数及其应用1.5 定积分的概念 1.6 微积分基本定理 1.7 定积分的简单应用一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．当n 的值很大时，函数2()f x x =在区间,[]1i in n-上的值可以用下列函数值近似代替的是 A ．()1f n B ．()2f nC ．()f i nD ．()0f2．π20(sin )d x x x -=⎰A ．2π14-B ．2π18-C ．2π8D ．2π18+3．若2211d s x x =⎰，122d 1s xx =⎰，132d e x s x =⎰，则123s s s ，，的大小关系为A ．123s s s <<B ．213s s s <<C ．231s s s <<D ．321s s s <<4．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面5．物体A 以231(m /s)v t =+的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5m 处，同时以10(m /s)v t =的速度与A 同向运动，出发后物体A 追上物体B 所用时间(s)t 为 A ．3s B ．4s C ．5sD ．6s6．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t +t=-+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 27．已知函数()sin()1(0)2f x x ϕϕπ=--<<，且230[()1]d 0f x x π+=⎰，则函数()f x 的一个零点为A ．56πB ．3πC ．6πD ．712π二、填空题：请将答案填在题中横线上． 8．已知函数()f x 为偶函数，且6()d 8f x x =⎰，则66()d f x x -=⎰________________．9．若π20(sin cos 2)d x x a x -=⎰，则实数a =________________．10．已知函数2213,[3,0]3()9,(0,3]x x f x x x ⎧-+∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则33()d f x x -=⎰________________．11．如图，在边长为1的正方形OABC 内，阴影部分由曲线2(,01)y x y x x ==≤≤围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是a ，则函数31(log ,()),3x x x a f x x a ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩的值域为________________．12．由曲线1xy =以及直线y x =，3y =所围成的封闭图形的面积为________________． 13．已知120()d 1x m x +=⎰，则函数2()log (2)m f x x x =-的单调递减区间是________________．14．若函数)(x f ，)(x g 满足11()()d 0f x g x x -=⎰，则称)(x f ，)(x g 为区间]1,1[-上的一组正交函数．现给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==； ②1)(,1)(-=+=x x g x x f ； ③2)(,)(x x g x x f ==．其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是________________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．计算下列定积分：（1）211(e )d xxx +⎰；（2）π6π6(sin 2)d x x x -+⎰．16．如图，求曲线1,2,3y x y x y x ==-=-所围成图形的面积．17．设()f x ax b =+，121[()]d 1f x x -=⎰，求()f a 的取值范围．。

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第一章导数及其应用1.5 定积分的概念 1.6 微积分基本定理 1.7 定积分的简单应用一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．当n 的值很大时，函数2()f x x =在区间,[]1i in n-上的值可以用下列函数值近似代替的是 A ．()1f n B ．()2f nC ．()f i nD ．()0f【答案】C【解析】用区间,[]1i in n-内的任意一个函数值都可近似代替这个区间对应的函数值．故选C ． 2．π20(sin )d x x x -=⎰A ．2π14-B ．2π18-C ．2π8D ．2π18+【答案】B 【解析】ππ2222001π(sin )(cos )|128d x x x x x +=-=-⎰．故选B ．3．若2211d s x x =⎰，122d 1s xx =⎰，132d e x s x =⎰，则123s s s ，，的大小关系为A ．123s s s <<B ．213s s s <<C ．231s s s <<D ．321s s s <<【答案】B4．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面【答案】A5．物体A 以231(m /s)v t =+的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5m 处，同时以10(m /s)v t =的速度与A 同向运动，出发后物体A 追上物体B 所用时间(s)t 为 A ．3s B ．4s C ．5sD ．6s【答案】C【解析】物体A 经过s t 行驶的路程为2(31)d tt t +⎰，物体B 经过s t 行驶的路程为010d tt t ⎰，则有2323200(3110)(d 5)|55tt t t t t t t t t t +-=++-=-=⎰，解得5t =．故选C ．6．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t +t=-+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【答案】C【解析】令v(t)=0得，3t2−4t−32=0，解得t=4(83t=-舍去) ．汽车的刹车距离是424253(73)d[725ln(1)]|425ln512t+t t t tt-=-++=++⎰．故选C．7．已知函数()sin()1(0)2f xxϕϕπ=--<<，且23[()1]d0f xxπ+=⎰，则函数()f x的一个零点为A．56πB．3πC．6πD．712π【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．已知函数()f x为偶函数，且6()d8f x x=⎰，则66()df x x-=⎰________________．【答案】16【解析】因为函数()f x为偶函数，所以6660()d2()d16f x x f x x-==⎰⎰．9．若π2(sin cos 2)d xx a x-=⎰，则实数a=________________．【答案】1-【解析】取()cos sinF x x a x=--，则()sin cosF x x a x'=-，所以π2π2(sin cos )(cos sin)|d12x a xx x a x a=---=-+=⎰，解得1a=-．10．已知函数2213,[3,0]3()9,(0,3]x xf xx x⎧-+∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则33()df x x-=⎰________________．【答案】9π64+【解析】303223301()d(3)d9d3f x x x x x x--=-++-⎰⎰⎰，其中023 311(3)d(39x x x--+=-+⎰033)6x-=，329dx x-⎰由定积分的几何意义可知，其表示半径为3的圆的面积的41，即9π4，故339π()d64f x x-=+⎰．11．如图，在边长为1的正方形OABC内，阴影部分由曲线2(,01)y x y x x==≤≤围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是a，则函数31(log,()),3xx x af xx a≥⎧⎪=⎨<⎪⎩的值域为________________．【答案】[)1,-+∞12．由曲线1xy=以及直线y x=，3y=所围成的封闭图形的面积为________________．【答案】4ln3-【解析】画出草图（图略），方法1：所求面积11113311(3)d22(3ln)|24ln32S x x xx=-+⨯⨯=-+=-⎰．方法2：所求面积3231111()d(ln)|4ln32S y y y yy=-=-=-⎰．13．已知12()d1x m x+=⎰，则函数2()log(2)mf xx x=-的单调递减区间是________________．【答案】(0,1]【解析】∵12()d1x m x+=⎰，∴3101()13x mx+=，解得23m=，故223()log(2)xf x x=-，令2()2(2)g x x x x x =-=-，令()0g x >，解得02x <<，而()g x 的图象的对称轴为1x =，故()g x 在(0,1]上单调递增，在(1,2)上单调递减，又2013m <=<，故函数()f x 的单调递减区间是(0,1]． 14．若函数)(x f ，)(x g 满足11()()d 0f x g x x -=⎰，则称)(x f ，)(x g 为区间]1,1[-上的一组正交函数．现给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==； ②1)(,1)(-=+=x x g x x f ； ③2)(,)(x x g x x f ==．其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是________________．【答案】2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．计算下列定积分：（1）211(e )d xxx +⎰；（2）π6π6(sin 2)d x x x -+⎰．【答案】（1）2e ln 2e +-；（2）0．【解析】（1）因为1(e ln )e xx x x '+=+，所以221211(e )e ln )|e ln 2(e d x x x x x++=+=-⎰．（2）因为2cos sin 2()x x x x '-+=+，所以2ππ66ππ66d ((sin 2)cos )|0x x x x x --+-+==⎰．16．如图，求曲线1,2,3y x y x y x ==-=-所围成图形的面积．【答案】136．17．设()f x ax b =+，121[()]d 1f x x -=⎰，求()f a 的取值范围．【答案】219[,]212-．【解析】由题可得22222()2[()]f ax b a x b b x a x =+=++，取23221()3F x a x abx b x =++，则22()x F a x '=+22abx b +，所以12111232222[()]d (13|12)23a x abxb x a f x b x --++==+=⎰，即22263a b +=，且2222b -≤≤所以2223119()36)1(322f a a b b b b =+=-++=--+．由2222b -≤≤知219()212f a -≤≤，故()f a 的取值范围为219[,]212-．。