探索求一元函数极值和最值方法

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一元函数的最值与最值问题

一元函数的最值与最值问题一、介绍在数学中，一元函数是指只有一个自变量的函数，即函数的输入仅为一个实数。

最值问题是指确定一元函数在给定定义域范围内的最大值和最小值。

本文将探讨一元函数的最值求解方法和最值问题的应用。

二、一元函数的最值求解方法在求解一元函数的最值问题之前，我们需要了解一些求导相关的基本概念和方法。

1. 导数一元函数的导数描述了函数在某一点上的变化率。

导数可以表示为函数 f(x) 在给定点 x 处的极限值，记作 f'(x) 或 df/dx。

导数有助于确定函数的局部极值点。

2. 求导法则求导法则是求解导数的基本规则，包括常数法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则、商法则和复合函数法则。

通过运用这些法则，我们可以计算函数的导数，从而找到函数的极值点。

3. 极值点一元函数的极值点是指函数取得最大值或最小值的点。

极大值点对应函数的最大值，极小值点对应函数的最小值。

极值点可以通过求导和解方程的方法找到，即令导数等于零并解方程。

三、最值问题的应用最值问题在实际生活中具有广泛的应用，尤其在优化和最优化领域中。

下面介绍一些常见的最值问题应用。

1. 最大收益问题在经济学和管理学中，最大收益问题是指在给定约束条件下最大化某种资源的利润或收益。

通过建立数学模型，可以将问题转化为一元函数的最大值问题，并运用最值求解方法找到最优解。

2. 最短路径问题在运输和网络领域中，寻找最短路径是一种常见的最值问题。

通过将道路或网络抽象为图论模型，可以利用一元函数的最值求解方法找到起点到终点的最短路径。

3. 优化设计问题在工程和设计领域中，优化设计问题是指寻找最优解以满足给定约束条件的问题。

例如，在建筑设计中，可以通过优化一元函数的最值来确定最佳材料用量、结构形式等。

四、总结一元函数的最值与最值问题是数学中的重要概念和应用。

本文介绍了一元函数的最值求解方法，包括导数、求导法则和极值点的求解。

同时，我们也探讨了最值问题在实际生活中的应用，如最大收益问题、最短路径问题和优化设计问题等。

一元函数极值充分条件的选取

一元函数极值充分条件的选取
一元函数的极值是指函数在某个点处取得的最大值或最小值。

对于一个函数，要判断它是否存在极值，需要找到它的一阶导数和二阶导数，并确定它们的正负性。

根据导数的符号来确定函数的单调性和极值的位置。

但是，对于某些特殊的函数，判断极值的条件可能会有所不同。

这就需要我们选取合适的充分条件来判断函数的极值。

首先，有些函数在某些点处没有一阶导数或二阶导数，这时我们可以考虑使用极值的定义来判断。

其次，对于周期函数，我们可以通过周期性来确定极值的位置。

最后，对于一些复杂函数，我们可以利用一些特殊的性质或技巧来判断极值的位置。

总之，选取合适的充分条件可以帮助我们更准确地判断函数的极值，从而更好地分析函数的性质和特点。

- 1 -。

牛顿法求解一元函数的极值例题

牛顿法是一种用来求解函数极值的数值方法，它通过不断逼近函数的极值点来找到函数的最优解。

本文将通过一个例题来详细介绍牛顿法的求解过程，并分析其优缺点。

1. 问题描述假设有一个一元函数 f(x)，我们希望通过牛顿法求解这个函数的极值点。

我们将首先介绍这个函数的具体形式和求解的目标，为后续的分析做好铺垫。

2. 函数形式我们假设函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1，这是一个简单的三次函数，我们希望找到它的极小值点。

3. 牛顿法求解过程我们需要对函数 f(x) 进行求导，得到它的导函数 f'(x) = 3x^2 - 4x + 3。

接下来，我们选取一个初始点 x0，并通过牛顿法的迭代公式来逼近函数的极小值点。

迭代公式如下：xn+1 = xn - f'(xn)/f''(xn)其中 f''(x) 为 f(x) 的二阶导数。

通过不断迭代，我们可以逼近函数的极小值点。

4. 计算过程我们选取初始点 x0 = 2，然后根据迭代公式进行计算：迭代1：f'(2) = 3*2^2 - 4*2 + 3 = 7f''(2) = 6*2 - 4 = 8x1 = 2 - 7/8 ≈ 1.125迭代2：f'(1.125) = 3*1.125^2 - 4*1.125 + 3 ≈ 1.828f''(1.125) = 6*1.125 - 4 ≈ 3.75x2 = 1.125 - 1.828/3.75 ≈ 0.393通过多次迭代，我们可以最终得到函数 f(x) 的极小值点。

5. 分析牛顿法是一种高效的数值计算方法，对于多项式函数和一些特定的非线性函数，通常能够快速收敛到极值点。

但是牛顿法也有一些局限性，首先它需要计算函数的导数和二阶导数，这对于一些复杂的函数来说可能会增加计算的复杂度。

在极值点附近，如果函数的二阶导数趋近于零，那么牛顿法可能会出现不稳定的情况，导致迭代结果发散。

湘教版高考总复习一轮数学精品课件第4章一元函数的导数及其应用第3节利用导数研究函数的极值、最值

函数f(x)的极值点,则实数a的值为( D )
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析由题意f'(x)=g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,设h(x)=x23x+a,则h(1)=0,即1-3+a=0⇒a=2,当a=2时,f'(x)=(x-1)(x2-3x+2)
=(x-1)2(x-2),故当x>2时,f'(x)>0;当x<2且x≠1时,f'(x)<0,因此x=2是f(x)的极值
3
5.(湘教版选择性必修第二册1.3.3节练习第2题改编)函数
4
4
3
区间[0,3]上的最大值是
,最小值是
.
解析 f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,解得x=2或x=-2(舍去).
当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(2,3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以当 x=2
f'(x)<0,得

0<x<;由
f'(x)>0,得

x>,所以函数
f(x)在区间

0,
上单调递减,在
区间Βιβλιοθήκη ,+∞

上单调递增,f(x)在区间(0,+∞)上不存在最大值,不符合题意.当
a<0 时,若 b≥0,则 x>0 时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,当 x→+∞
时,f(x)→-∞,当 x→0+时,f(x)→+∞,无最大值,不符合题意.当 b<0 时,易知函数 f(x)

使函数的值最大或最小的方法

使函数的值最大或最小的方法在数学中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值。

这些极值点对于问题的解决至关重要。

下面将介绍一些常用的方法，可以帮助我们找到函数的最大值或最小值。

1. 导数法导数法是一种常用的方法，通过求函数的导数来找到函数的极值点。

根据导数的定义，函数在极值点处的导数为零或不存在。

首先，我们需要计算函数的导数。

对于一个一元函数，我们可以使用微积分中的导数计算公式来求导。

然后，我们将导数为零或不存在的点找出来，这些点即为函数的极值点。

通过计算函数在这些点上的值，我们可以确定函数的最大值或最小值。

例如，假设我们需要找到函数f(x) = x^2 - 2x + 1的最小值。

首先，我们计算函数的导数f'(x) = 2x - 2。

然后，我们令f'(x) = 0，解方程得到x = 1。

接下来，我们计算f(x)在x = 1处的值，即f(1) = 0。

因此，函数f(x)的最小值为0。

2. 二分法二分法是一种适用于单调函数的方法，通过不断缩小搜索范围来找到函数的极值。

对于一个闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果f(a) > f(b)，则函数在[a, b]上是单调递减的；如果f(a) < f(b)，则函数在[a, b]上是单调递增的。

首先，我们取区间的中点c = (a + b) / 2。

然后，比较f(a)和f(c)的值。

如果f(a) > f(c)，则函数的极值在[a, c]之间；如果f(a) < f(c)，则函数的极值在[c, b]之间。

通过不断缩小搜索范围，最终可以找到函数的极值点。

例如，我们需要找到函数f(x) = x^2的最大值，在区间[0, 2]上。

我们首先取中点c = (0 + 2) / 2 = 1，计算f(0) = 0和f(1) = 1的值。

由于f(1) > f(0)，我们可以确定函数的极值在区间[1, 2]之间。

然后，我们再次取中点c = (1 + 2) / 2 = 1.5，计算f(1)和f(1.5)的值。

一元函数的最值与零点

一元函数的最值与零点一元函数是指只含有一个自变量的函数，其最值和零点是我们在数学中经常研究的重要概念。

在本文中，我们将探讨一元函数的最值以及零点的求解方法。

一、一元函数的最值一元函数的最值指的是函数在定义域内取得的最大值和最小值。

求解一元函数的最值可以通过以下步骤进行：1. 确定函数的定义域：首先，我们需要确定函数的定义域，即自变量的取值范围。

在定义域内，函数才有意义并且可以求解最值。

2. 导数法求解：通过求解函数的导数，我们可以得到函数的临界点。

临界点是函数取得最值的可能位置。

我们需要求解出这些临界点，并将其与定义域的端点进行比较，找出最大值和最小值。

3. 二阶导数判别法：在确定了临界点后，我们可以通过求解函数的二阶导数来判定每个临界点对应的极值类型。

通过判断二阶导数的正负，可以确定临界点是极大值还是极小值。

4. 求解最值：最后，我们将求解得到的最值与函数的定义域的端点进行比较，确定最大值和最小值的位置。

二、一元函数的零点一元函数的零点指的是函数取值为零的自变量的取值。

求解一元函数的零点可以通过以下步骤进行：1. 方程法求解：将函数等于零转化为方程，通过求解方程，可以得到函数的零点。

我们可以使用一些常用的代数方法，如配方法、因式分解、二次方程公式等来求解方程。

2. 图像法求解：通过绘制函数的图像，在函数与x轴相交的点即为函数的零点。

可以使用计算机软件或者手绘的方式来绘制函数的图像，然后通过观察图像找出函数的零点。

3. 数值法求解：数值法是一种通过迭代计算来求解函数零点的方法，常用的有二分法、牛顿法、割线法等。

数值法适用于那些难以用方程法求解的函数零点的情况。

通过以上方法，我们可以求解一元函数的最值和零点。

这些概念和方法在数学和应用数学中具有广泛的应用，可以帮助我们了解函数的性质、优化问题以及解方程等。

综上所述，一元函数的最值和零点是数学中重要的概念。

通过合适的方法和步骤，我们可以求解一元函数的最值和零点，进而深入理解函数的性质与变化规律。

一元函数极值的表格法-概述说明以及解释

一元函数极值的表格法-范文模板及概述示例1:一元函数极值的表格法在数学中，极值问题一直是一个重要的研究领域。

而对于一元函数来说，找到其极值点是求解优化问题的关键步骤之一。

在本文中，我们将介绍一种常用的方法——表格法，用于求解一元函数的极值点。

表格法是一种基于函数图像的方法，通过构造一个表格来确定函数的极值点。

下面我们将详细介绍如何使用表格法来求解一元函数的极值问题。

首先，我们需要确定函数的定义域，并选择一定范围内的横坐标值。

然后，我们计算对应的纵坐标值，填写到表格中。

我们需要计算的值包括函数的值、一阶导数的值和二阶导数的值。

对于函数的值，我们可以直接通过代入值计算得到；一阶导数的值可以通过求导公式或使用计算工具得到；二阶导数的值可以通过对一阶导数再求导或使用计算工具得到。

接下来，我们在表格中找到函数值为极值的点。

当函数值在某个区间内从正变负，或从负变正时，我们称这个点为极大值点或极小值点。

要注意的是，函数在定义域边界上的极值需要单独处理。

然后，我们可以绘制函数的图像，并在图像上标记出找到的极大值点和极小值点。

这样，我们可以直观地观察函数的最高点和最低点，从而确定函数的极值。

最后，我们需要进行极值的验证。

通过计算一阶导数和二阶导数的值，可以验证我们找到的极值点的确是函数的极值点。

如果一阶导数的值在极值点左侧为正，右侧为负，且二阶导数的值为负，那么这个点就是函数的极大值点。

同理，如果一阶导数的值在极值点左侧为负，右侧为正，且二阶导数的值为正，那么这个点就是函数的极小值点。

通过以上步骤，我们可以使用表格法找到一元函数的极值点。

表格法的优势在于其直观性和易于操作性，特别适用于一些简单的函数。

然而，对于复杂的函数，可能需要使用其他更加精确和高级的方法来求解。

在实际应用中，我们可以根据具体问题的要求选择合适的方法来求解极值问题。

总结起来，一元函数极值的表格法是一种通过构造表格、计算函数值、一阶导数和二阶导数的方法来求解函数的极值点。

§4.5 一元函数的极值

f ′( x0 ) = 0 .
第四章简单优化问题
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2010年6月26日星期六年月日星期六
微积分
2
由此看出,要找极值点, 由此看出,要找极值点,只要找出导数等于零和导数不存在的点,极值点一定在其中. 存在的点,极值点一定在其中.但究竟哪个是极值点哪个不是极值点还需进一步判断.下面给出几种常用的条件. 是极值点还需进一步判断.下面给出几种常用的条件. 定理(极值点第一判别法定理极值点第一判别法) 极值点第一判别法
2
1
0
x
作函数图像有时并不需要精确求每一点的函数值,而是力求获得尽量多的性质. 这样不仅能够得到明晰的图像,而且还获得通过图像很难准确确定的有用信息. 有用信息.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)求定义域,确定奇偶性 ,周期性; 求定义域, 周期性; (2 )求使一,二阶导数等于零和不存在的点; 求使一, 零和不存在的点; (3)利用这些点划分区间, 讨论单调性,凹凸性, 利用这些点划分区间, 讨论单调性,凹凸性,
值点; 值点;
极
(4 )考察渐近线; 考察渐近线; (5)找出特殊点 (与坐标轴的交点,不连与坐标轴的交点,
则称f(x 为的极大(小值值点. 则称 0)为f(x)的极大小)值,x0为f(x)的极大小)值点.极大的极大(小值点注极值是局部性质,是在x0的某邻域内函数值最大小) 极值是局部性质,是在的某邻域内函数值最大(小的,这个邻域只要存在就可以. 这个邻域只要存在就可以.
的某邻域可导, 的极值点, 定理 f ( x )在x 0的某邻域可导, x 0为f ( x )的极值点,则

一元函数的极值

一元函数的极值
一元函数的极值
一元函数的极值是指在函数的所有可能取值中，函数值获得最大或最小值的取值。

它是函数图像中拐点的值。

即在它点，函数值取最大或最小值，而函数的斜率勾股改变符号由正变为负或负变为正，其导数也变成 0。

一元函数有两类极值：最大值和最小值，分别乐称局部极大值和局部极小值，两者的求取方法实际上也是一样的，都可以用微分的求导方法求得。

一元函数求极值的过程有如下几个步骤：
1.t确定函数的微分式：直接利用定义求出，把函数按某一公式表示式；
2.t求解微分式的根：两边同乘以微分式的导数，使得微分式的导数两边同号，然后化简两边，使其变为一元二次方程，求出方程的根；
3.t替换函数中的变量：将求出的解替换到原函数中，求出函数值，然后比较函数值的大小，即可求出极大值或极小值；
4.t判断函数的极值：把函数求出的最大值或最小值替换到函数中，求出函数的导数，根据函数的导数正负判断函数是极大值还是极小值。

确定函数的极值要熟悉求导法，认真分析函数微分求出的根和极值，利用定义求出函数的极值，同时也要牢记解导数结果的几条公式，
对于极值的判定也要仔细观察函数导数的正负。

(完整版)最新一元函数极值的求解方法

(二)、一元函数极值的充分必要条件函数的极值不只在实际具体问题中占有非常重要的地位，还是函数性态的一个重要特征。

1、一元函数极值的必要条件费马定理告诉我们，若函数f 在点0x 可导，且0x 为f 的极值点，则0)('0=x f 。

这就是说可导函数在点0x 取极值的必要条件是0)('0=x f 。

下面讨论充分条件。

2、极值的第一充分条件定理1设f 在点0x 处连续，在某一邻域）（δ;U 0x 内可导。

(1)、若当）（00,x x x δ-∈时0)('0≤x f ，当）（δ+∈00,x x x 时0)('0≥x f ，则函数f 在点0x 取得极小值。

(2)、若当）（00,x x x δ-∈时0)('0≥x f ，当）（δ+∈00,x x x 时0)('0≤x f ，则函数f 在点0x 取得极大值。

(3)、如果在0x 点的邻域内，)('0x f 不变号，则函数f 在点0x 没有极值，即0x 不是)(x f 的极值点。

则由上表可见：点0=x 为f 的极大值点，极大值为0)0(=f ;点1=x 为f 的极小值点，极大值为3)1(-=f 。

例3 有一个八尺深的方窖在厨房屋角，现要利用窖的两壁拦一角来做一个煤仓形状为长方体，它的容量是288立方尺，问如何做能最省材料。

求极值的方法

求极值的方法
求极值的方法有很多种，以下给出几种常见的方法：
1. 寻找零点：对于一元函数，可以通过求导并令导数为零，然后解方程找到函数的零点，即可找到函数的极值点。

通过判断零点的二阶导数的符号，可以确定该点是极大值点还是极小值点。

2. 利用函数性质：对于一些简单的函数，根据函数的性质可以直接得到其极值点。

例如，对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx +
c$，当$a>0$时，函数的极小值点在顶点处，当$a<0$时，函数的极大值点在顶点处。

3. 利用辅助函数：对于一些复杂的函数，可以构造辅助函数来求极值。

例如，对于分式函数$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$，可以
构造辅助函数$F(x) = g(x) - \lambda h(x)$，其中$\lambda$为待
定常数。

然后，求辅助函数的导数，并令导数为零，解方程得到$x$的值，再将$x$带入原函数求得极值。

4. 使用拉格朗日乘子法：对于带有约束条件的极值问题，可以使用拉格朗日乘子法。

首先，将约束条件写成一个方程组，将目标函数与方程组进行组合，构造拉格朗日函数。

然后，对拉格朗日函数求偏导，并令偏导数为零，解方程组得到$x$的值，再将$x$带入原函数求得极值。

不同的函数和问题类型，适用的求极值方法也可能有所不同，需要根据具体情况选择合适的方法。

同时，在求解过程中需要
注意辅助函数和方程的合理性，以及解的存在性和唯一性等问题。

大学高等数学：第五章第五讲一元函数最值问题

大学高等数学：第五章第五讲一元函数最值问题上节课我们学习了一元函数极值问题，主要分为三大定理以及解题步骤分别是定理1：(必要条件) 设函数f(x)在xo处可导，且在xo处取得极值，则f'(xo)=0定理1就是说：可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点不一定是极值点。

列如,f(x)=x^3,f'(0)=0,因此x=0是这可导函数的驻点，但x=0却不是这函数的极值点。

所以，函数的驻点只是可能的极值点。

此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值。

列如，函数f(x)=lxl在点x=0处不可导，但函数在该点取得极小值。

定理2(第一充分条件) 设函数f(x)在xo处连续，且在xo的某去心邻域U(xo,v)内可导。

(1)若x∈(xo-v,xo)时，f'(x)>0,而x∈(xo,xo+v)时，f'(x)<>(2)若x∈(xo-v,xo)时，f'(x)<0,而x∈(xo,xo+v)时，f'(x)>0,则f(x)在xo处取得极小值；(3)若x∈U(xo,v)时，f'(x)的符号保持不变，则f(x)在xo处没有极值。

定理3：(第二充分条件) 设函数f(x)在xo处具有二阶导数且f'(xo)=0，f'(xo)≠0，则(1)当f'(xo)<>(2)当f'(xo)>0时，函数f(x)在xo处取得极小值。

步骤：(1)求出导数f'(x);(2)求出f(x)的全部驻点与不可导点；(3)考察f'(x)的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；(4)求出各极值点的函数值，就得函数f(x)的全部极值。

希望同学们能够结合题目来更加深入的理解三大定理，今天我们学习最大值与最小值问题在工农业生产、工程技术及科学实验中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”“成本最低”“用料最省”“效率最高”等问题，这类问题在数学上有时可归结为求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值问题。

求极值与最值的方法

求极值与最值的方法求极值和最值是数学中常见的问题。

当我们面临一个函数或一组数据时，我们希望能够找到它们的最大或最小值，这对于解决各种实际问题非常重要。

在本文中，我们将讨论一些常见的方法来求解极值和最值问题。

一、函数的极值求解方法：1.导数法：对于可导的函数，导数可以告诉我们函数在特定点的变化趋势。

函数在极值点的导数为零，所以我们可以通过求解导数为零的方程来找到极值点。

对于一元函数，我们只需求得导数，并求解方程f'(x)=0即可。

对于多元函数，我们需要求偏导数，并解方程组∂f/∂x=0和∂f/∂y=0等。

2.二阶导数法：通过求得函数的二阶导数，我们可以判断函数在其中一点的曲率和凸凹性质。

如果函数在其中一点的二阶导数大于零，则函数在该点上是凸函数，即函数取得极小值。

反之，如果二阶导数小于零，则函数在该点上是凹函数，即函数取得极大值。

二、数据的最值求解方法：1.遍历法：对于一组有限的数据，我们可以通过遍历整个数据集来找到最大或最小值。

这种方法适用于数据量较小的情况，但若数据量很大时，计算量会非常庞大。

2.排序法：我们可以对数据进行排序，然后找出最大或最小的元素。

对于较大的数据集，排序的时间复杂度可能很高，但一旦排好序，最值就可以很快被找出。

3.分治法：对于一个大规模的数据集，可以将其分成若干部分，然后递归地求解各个部分的最值，最后再从这些最值中选取最大或最小的元素。

这种方法适用于大规模数据集，可以大大降低计算复杂度。

4.动态规划法：对于具有重叠子问题特征的问题，我们可以使用动态规划的方法来求解最值。

通过定义状态、状态转移方程和初始条件等，我们可以使用动态规划算法逐步递推得到最值。

虽然这些方法在解决极值和最值问题时都有自己的优势和适用范围，但在具体问题中选择何种方法求解，需要根据问题的性质和数据的特点来确定。

对于函数的极值问题，导数法和二阶导数法是最常用的求解方法；对于数据的最值问题，遍历法和排序法适用于小数据量，而分治法和动态规划法适用于大数据量。

一元函数的最值与最值的求解

一元函数的最值与最值的求解在数学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。

求解一元函数的最值，即找到函数在给定定义域上的最大值和最小值，是数学中的一项重要任务。

本文将介绍一元函数最值的求解方法，并列举一些常见的数学问题来加深理解。

一、最值的定义在给定的定义域上，对于函数f(x)，若存在x0使得对于任意的x∈D，都有f(x0)≥f(x)（或f(x0)≤f(x)），则f(x0)称为函数f(x)在定义域D上的最大值（或最小值）。

最大值和最小值统称为最值。

二、最值的求解方法1. 导数法导数是函数的一阶微商，可以帮助我们判断函数在某一点的斜率和变化趋势。

根据函数在区间内的导数变化情况，可以找出函数的最值点。

步骤：a. 求出函数的导数f'(x)。

b. 解方程f'(x)=0，得到函数的驻点。

c. 将驻点带入原函数f(x)中，得到函数的最值。

2. 极值法极值是函数在自变量的某个值处的最大值或最小值。

使用极值法求解一元函数最值时，需要先找到函数的极值点，然后将这些点代入函数中进行比较。

步骤：a. 求出函数的导数f'(x)。

b. 解方程f'(x)=0，得到函数的驻点。

c. 求出驻点处的函数值f(x)，得到极值点。

d. 将极值点与区间端点处的函数值进行比较，得到最值。

3. 函数图像法函数图像是函数在坐标系中的可视化表达，通过观察函数图像的变化趋势，可以直观地找到函数的最值。

步骤：a. 将函数图像绘制在坐标系中。

b. 观察函数图像的变化趋势，找到函数的最大值和最小值点。

三、实例分析下面列举几个数学问题，用不同的方法求解一元函数的最值。

1. 问题一：f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最值。

解答：a. 导数法：f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0，得到x = 2。

将x = 2代入f(x)中，得到f(2) = -1，故f(x)的最小值为-1。

b. 极值法：同导数法，得到驻点x = 2。

一元函数函数的极值与最值

极大值点；
图３
（２）＞ＸＯ），则称勒）是，（）的一个极小值，称点舶为）的
极小值点。
由于在某区间厂（）＜０，函数单调递减；，（）＞０，函数单调递增；所以导数存在且不为０的点不可能构成极值点，叉由上面两个例题可
一
定为驻点，当然导数不存在的点也不一定为极值点。只有可导的极值
点才一定为驻点（教材定理），所以极值点的来源为驻区间，６】上连续，那么．，（）在，６】上必有最大值
和最小值。某函数图形如图４所示，最大值在极值点处取得，最小值在区间端点取得，很显然，任何一个函数的最值可能在区间的端点取得，也有可能在（ｎ，ｂ）内部取得，这样的点必然是函数的极值点，而极值点
，、Ｘ４、 ‰ 为极小值点，ｃ、ｃ为函数的极大值，对应的自变量孙扔为极小值点，而在物处既不取极大值也不取极小值，即ｃ，既不是极大值也不是
极小值。同时从图１这个函数图形也可看到，对于极值的理解应该注意
一
或目标函数），如果目标函数可导，且驻点唯一，且实际意义表面目标函
ｙ
、
函数的极值
定义设函数）在点粕及其近旁有定义，若对ＸＯ近旁的任意一
点ｘ（ｘ￣ｘ。）均有：
＼／．
● ｒ
Ｏ
Ｘ
（１ｆ（ｘ）＜ＸＯ），则称铷）是，（）的一个极大值，称点 ‰为）的

一元函数的极值与最值

一元函数的极值与最值在数学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。

而函数的极值和最值是一元函数中的重要概念。

在学习一元函数的时候，我们必须深入研究一个函数的极值和最值，以便更有效地理解和应用它们。

1. 极值和最值的定义对于一元函数$f(x)$，我们先来了解下极值和最值的具体定义：若函数$f(x)$在$x_0$处的左邻域和右邻域内的函数值大小关系如下：当$x<x_0$时，$f(x)>f(x_0)$；当$x>x_0$时，$f(x)<f(x_0)$。

那么，$f(x_0)$就是函数$f(x)$的一个极大值，而$x_0$就是$f(x)$的极大值点；若函数$f(x)$在$x_0$处的左邻域和右邻域内的函数值大小关系如下：当$x<x_0$时，$f(x)<f(x_0)$；当$x>x_0$时，$f(x)>f(x_0)$。

那么，$f(x_0)$就是函数$f(x)$的一个极小值，而$x_0$就是$f(x)$的极小值点。

而对于函数$f(x)$的最大值和最小值，是指在定义域内，其函数值最大和最小的两个点及其对应的函数值。

2. 求极值和最值的方法要想在一元函数中求出极值和最值，我们需要利用导数这个工具进行求解。

首先，我们需要求出函数的一阶导数$f'(x)$，然后找到其极值和稳定点：即当导数$f'(x)=0$或不存在时，其中$f'(x)$为0的位置就是函数的“潜在”极值点(即可能是函数的极值点，也可能不是)。

接下来，通过求出二阶导数$f''(x)$，来确定极值点的性质：(1)若$f''(x_0)>0$，则极小值点；(2)若$f''(x_0)<0$，则极大值点。

另外，如果二阶导数不存在，说明该点没有极大值也没有极小值。

需要注意的是，有些极值点可能不是函数的实际极值点，因此我们还需要通过“一阶导数测试”来确定到底是哪个点是函数的极值点：(1)在极大值点左边，函数单调递减。

一元函数最值的求法

一元函数最值的求法一元函数最值的求法是在高中数学中的重要内容，其涉及到单调性、导数、二次函数等多个知识点。

本文将详细介绍一元函数最值的求法。

一、单调性及奇偶性在求解一元函数最值之前，需要先了解单调性和奇偶性的概念。

单调性是指函数在定义域上的增减关系，可以分为递增和递减两种情况。

奇偶性是指函数的定义式中是否存在$x$的奇偶性，可以分为奇函数和偶函数两种情况。

1. 奇函数的定义区间必定包括原点；2. 函数在原点处对称；3. 如果$x$属于定义区间，则$-x$也属于定义区间；4. 对于任何$x$值，有$f(-x)=-f(x)$。

知道了单调性和奇偶性的概念，就可以通过函数的性质来判断其最值了。

二、利用导数求最值利用导数求解一元函数的最值是比较常用的方法。

在求解函数的最值时，需要先求出函数的导数，然后通过对导数进行分析得到函数的最值。

1. 求导数首先需要求出函数的导数。

对于一元函数$f(x)$，其导数为：$$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$如果函数$f(x)$在$x$处可导，则$f'(x)$表示函数在$x$处的切线斜率。

如果$f'(x)>0$，则函数在$x$处递增；如果$f'(x)<0$，则函数在$x$处递减；如果$f'(x)=0$，则函数在$x$处取得极值。

2. 求极值通过求导得到函数的导数后，需要对导数进行分析，从而确定函数的极值。

对于一元函数$f(x)$：1. 当$f'(x)>0$时，函数在$x$处递增；需要注意的是，$f'(x)=0$只能说明函数可能取得极值，而不能确定其是最大值还是最小值。

此时需要使用导数符号法或判别式法来求解。

导数符号法：对于一元函数$f(x)$，若在$x_0$处$f'(x_0)=0$，则有：判别式法：对于一元二次函数$y=ax^2+bx+c$，其判别式为$\Delta=b^2-4ac$。

一元函数极值与最值的求法

一元函数极值与最值的求法作者：程立正李红萍来源：《科学与财富》2015年第19期摘要：本文阐述了一元函数极值与最值这一重要而又基础的函数性质.给出一元函数的极值与最值的多种求法.其中包括单调法、换元法、二阶导数法，每种方法给出了相应的例题。

关键词：函数极值；函数最值；一元函数；换元法求函数极值与最值的方法有很多，我们重点讨论一元函数极值与最值的基本求解方法，本文主要介绍利用单调性、换元法和二阶导数法来求极值与最值。

1 利用单调性求函数极值与最值求函数极值与最值的最直接最明了的方法就是利用函数的单调性，或者再以图表作为工具，数形结合，然后得到所求的极值与最值结果.利用单调性法求函数极值与最值的基本步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）对函数求导，求出函数导数值的零点或导数不存在的点；（3）判断函数导数零点或不存在点的两边与零的大小，大于零则是单调递增函数，小于零则是单调递减函数；（4）由函数左右单调性得出结论.表 3-12 利用换元法求函最值换元法是求函数最值的一种有效方法，这种方法技巧性强，需要思路开阔.下面是有关这类问题的一些例子.3 利用二阶导数法求函数极值参考文献[1]杨宗信.黄春红期刊论文.YANG Zong-xin.HUANG Chun-hong Nehari函数与极值度量的增长 -湘潭大学自然科学学报2008，30（4）.[2]邢谷若.Xing Gu Ruo 期刊论文"函数极值"教学设计 -海南广播电视大学学报2001，2（2）.[3]田务国.期刊论文连续函数极值的求法 -科学咨询2008，（z2）.[5]孙锐.周航.同济大学应用数学系.高等数学[M]北京：高等教育出版社，2002.。

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“探索求一元函数极值和最值方法”的学习报告
一、前言
函数的极值、最值不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数形态的重要特征。

因此，通过学习、掌握确定极值点和最值点，并求出极值和最值的方法是十分重要的。

二、学习内容和过程
1.探索可能的极值点
(1)回顾相关定义、定理
a.极值定义：若函数f在点x0的领域U(x0)内对一切x∈U(x0)有f(x0)≥(≤)f(x)，则称函数f在点x0确取得极大（小）值。

称x0为极大(小)值点。

b.费马定理：设函数f在点x0的某领域内有定义，且在点x0可导。

若点x0为f的极值点，则必有f’ (x0)=0。

且称这样的点为稳定点。

(2)思考并回答下列问题。

进一步分析可能的极值点类型。

a.可导点成为极值点一定是稳定点吗？（是。

通过费马定理可证明）
b.函数的不可导点也能称为极值点吗？（能。

例如y=| x|在x=0处取极小值）
c.函数的稳定点一定是极值点吗？（不一定。

例如y=x3，x=0为稳定点，但非极值点）
d.函数的不可导点一定是极值点吗？（不一定。

例如y=1/x，在x=0处不可导，但不是极值点）
e.函数在点x0处不可导，它包含了哪几种情况？（①连续不可导②不连续）
f.除此之外，还有没有其他类型的点极值点？（没有）
稳定点，例如y=x2，x=0处
(3)由上面的问题得到极值点的范围
连续不可导，例如y=| x|，x=0处
不可导点2x≠0
不连续点，例如y=
－1 x=0
2.探索确定极值点的方法
由极值点的范围可知极值点分为连续点和间断点。

对于剪短点，只要满足在x0某领域内始终有f(x0)≥f(x)或者f(x0)≤f(x)，至于连续部分函数任意，这样间断点x0就为极大或极小值点，即判断间断点是否为极值点，只需要根据极值定义即可。

下面主要讨论连续点能否成为极值点的判断。

(1)a.考察函数y=x2，y=x3，y=x1/3易知在x=0处连续，在U0(x)可导，且有
①y=x2x<0时，f’ (x)<0，函数严格递减
x>0时，f’ (x)>0，函数严格递增
②y=x3 f’ (x) ≥0函数单调递增
仅在x=0时，f’ (x)=0
③y=x1/3 f’ (x)>0.函数严格递增且x=0处不可导
由y=x2在x=0处连续以及两边领域内的增减性可知y=x2在x=0处取得极小值，而y=x3以及y=x1/3由f(x)的增减性可知在x=0处不取极值。

b.启发得到定理：设f在点x0连续，在某领域U0(x0)内可导则
Ⅰ若当x∈U+0(x0)，f’ (x) ≤0，当x∈U—0(x0)，f’ (x) ≥0，则f在点x0处取得极大值Ⅱ若当x∈U+0(x0)，f’ (x) ≥0，当x∈U—0(x0)，f’ (x) ≤0，则f在点x0处取得极小值
（单调性可以验证）
注：由条件在x0连续，在U0(x0)内可导，可知该定理适用于稳定点或连续不可导点。

(2)a.考察函数y=x2，y=-x2易知前者在x=0处取得极小值，后者在x=0处取得极大值，而且二者在x=0处的导数值都为0。

观察二者的二阶导数符号特点。

列表如下：
000
导数非零。

则有Ⅰ若二阶导数小于零，则f在x0处取得极大值
Ⅱ若二阶导数大于零则f在x0处取得极小值（泰勒公式可验证）
(3)a.进一步考察f(x)=x3和f(x)=x4等更高阶导数和极值特点，类似(2)方法：若f(n)(x0)=0,考虑f(n+1)(x0)的符号。

b.启发得定理：设f在x0的某领域内存在直到n-1阶导函数，在x0处n阶可导，且f(k)(x0)=0(k=1,2,3……n), f(n)(x0) ≠0,
Ⅰ当n为偶数时，f在x0处取极值，且f(n)(x0)<0取极大值，f(n)(x0)>0取极小值，
Ⅱ当n为奇数时，f在x0不取极值(泰勒公式可验证)
e-1/x2x≠0
注：该定理为充分条件，例如f(x)= 在x=0处取极小值。

但
0x=0
因为f(k)(x0)<0无法用该定理。

(4)综上，在确定x0是否为f(x)的极值点时，首先观察，若不连续则用定义判断，若连续，再观察在x0处是否可导，若不可导直接用定理1判断，若可导再计算f’ (x0) ≠0，显然不为极值点，若f’ (x0)=0再按相应定理判断。

3.探索确定区间上连续函数的最值的方法
(1)回顾有界闭区间上连续函数的最值性
若f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值
(2)考察函数f(x)=x2, f(x)=| x|在[-1,2]上的最大值和最小值的分布，以及f(x)=sinx在[0,π]内最大值和最小值的分布。

如下表：
(3)得出结论：a.若函数f在(a，b)内取得极大或极小值则相应的极大或极小值中某一个也为f在[a,b]内的最大或最小值
b.除极大或极小值可能成为最大或最小值外，端点值也可能最大或最小值
(4)求f在闭区间[a,b]内的最值的方法：先求出f在其中的极值，端点值，再比较所求极值，端点值的大小，得到相应的最值。

(5)进一步观察函数f(x)=x2和f(x)=| x|在[-1,2]上极值点的个数。

可以看到二者都只有一个极值点，而这个极值点正好就是最值点
(6)得到另一个求最值的特殊方法：当f在区间I上仅有唯一极值点x0时，该点也是f在Ishang 的相应最值点。

三、学习感想
通过探索学习，我不仅对求极值、最值的方法有了更全面的更深刻的认识，在学习讨
论的过程中，我体会到了积极主动提问、思考、求证的乐趣。

只要常常思考，总会发现新的问题没在解决这些问题的过程中，可能会遇到障碍，这时讨论、请教和不放弃时解决问题的关键。

总之在学习中要善于发现问题，主动思考。

数统学院0912班第8学习小组
主笔：邓雪芹
成员：杨恒赵燕黎向莹。