精讲精练：全等三角形证明判定方法分类总结

全等三角形（一）SSS

【知识要点】

1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：

（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等

3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形

（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆

（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．

（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．

（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．

如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩

⎪

⎨⎧===DF AC EF BC DE

AB

ABC ∆

∴≌DEF ∆ 【典型例题】

例1．如图，ABC ∆≌ADC

∆，点B 与点D 是对应点，︒=∠26

BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求

ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．

例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求EDF ∠的度数及CF 的长．

例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠

A D

例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：

（1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EF

全等三角形（二）

【知识要点】

定义：SAS

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示

如图，在ABC ∆和DEF ∆中，

ABC EF BC E B DE AB ∆∴⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆

【典型例题】

【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.

【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.

【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数

.

C A

D B

E C

【例4】 如图，B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC ，△ADE 是等边三角形， 求证：①CE=AC+DC ； ②∠ECD=60°.

【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。求证：BD ＋CD=AD 。

全等三角形（三）ASA

【知识要点】

ASA

如图，在ABC

∆与DEF ∆中

E

B DE AB D A ∠=∠=∠=∠ ∴)(ASA DEF AB

C ∆≅∆

ASA 公理推论（AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等． 【典型例题】

【例1】下列条件不可推得ABC ∆和'

'

'

C B A ∆全等的条件是（ ）

A.AB=A 'B '

，'

A A ∠=∠，'C C ∠=∠ B.AB= A '

B '，AC=A '

C '，BC='B C '

C.AB= A 'B '

，AC=A 'C '

，'

B B ∠=∠ D.AB= A 'B '

，'

A A ∠=∠，'

B B ∠=∠

A B C E

【例2】已知如图，DE AB DE AB D A //,,=∠=∠，求证：BC=EF

【例3】如图，AB=AC ，C B ∠=∠，求证：AD=AE

【例4】已知如图，43,21∠=∠∠=∠，点P 在AB 上，可以得出PC=PD 吗？试证明之．

【例5】如图，321∠=∠=∠，AC=AE ，求证：DE=BC

A

D

A

B

全等三角形（四）

强化训练

1、如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、CA 上的点， （1）若AD BE CF ==，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF 是等边三角形，问AD BE CF ==成立吗？试证明你的结论．

2、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）

3、△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由．

4、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =；（2）求证：1

2

CE BF =；

B D A

E F

C

H

G

B

5、 如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=，．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转60得ADC △，连接OD ．

（1）求证：COD △是等边三角形；

（2）当150α=时，试判断AOD △的形状，并说明理由；

（3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？

6、过等腰直角三角形直角顶点A 作直线AM 平行于斜边BC ，在AM 上取点D ，使BD=BC ，且DB 与AC 所在直线交于E ，求证：CD=CE 。

7、Rt △ABC ，AB=AC,BM 是中线，AD ⊥BM 交BC 于D ，求证：∠AMB=∠CMD 。

8、如图，已知△ABC 是等边三角形，∠BDC ＝120º，说明AD=BD+CD 的理由。

E C

A

M D A

B M

A B

C D O

110 α