新人教版初中九年级数学下《相似三角形应用举例 测量(金字塔高度、河宽)问题》优质课教学设计_4

27.2.3相似三角形应用举例
1.经历对实际问题的探索,会利用相似三角形的性质测量物体的高度.
2.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合使用数学知识解决简单实际问题.
1.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,提升实践水平.
2.通过把实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括水平,提升应用数学知识解决实际问题的水平.
3.学会在具体的情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合使用数学知识和方法解决简单的实际问题,增强应用意识,提升实践水平.
1.通过积极参加数学探究活动,激发学生对数学的好奇心和求知欲,体会数学与实际生活密切联系.
2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提升分析问题、解决问题的水平.
3.积极参与课堂活动,勇于质疑,养成认真思考的学习习惯,形成实事求是的科学态度.
4.培养学生的合作交流意识,培养学生主动探索,敢于实践,勇于发现的科学精神.
【重点】
利用相似三角形的性质解决高度测量问题.
【难点】
将实际问题转化为数学问题,应用数学知识解决问题.
第课时
1.经历对实际问题的探索,会利用相似三角形的性质测量物体的高度.
2.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合使用数学知识解决简单实际问题.
1.经历动手作图的过程,提升学生将实际问题转化为数学问题,以及用相似三角形解决问题的水平.
2.把实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括水平,提升应用数学知识解决实际问题的水平.
3.在与他人合作和交流过程中,能较好地理解他人的思考方法和结论.
1.在使用数学表述和解决问题的过程中,理解数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的价值.
2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提升分析问题、解决问题的水平.
3.积极参与课堂活动, 在活动中使学生积累经验,感受成功的喜悦,激发学生学习数学的热情与兴趣.
【重点】
利用相似三角形的性质解决高度测量问题.
【难点】
将实际问题转化为数学问题,应用数学知识解决问题.
【教师准备】多媒体课件.
【学生准备】预习教材P39~40.
导入一：
【复习提问】
(1)什么是相似三角形及相似比?
(2)判定三角形相似的方法有哪些?
(3)相似三角形的性质是什么?
【师生活动】学生回答问题,教师点评.
导入二：
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,边长约为230米.据考证,为建成大金字塔,共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米,但因为经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低.
在古希腊,有一位伟大的数学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”这在当时条件下是个大难题,因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗?
【师生活动】学生欣赏金字塔图片,大胆联想泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的?初步了解本节课内容.教师展示图片,通过泰勒斯测量金字塔的高度问题引入课题.
[设计意图]以旧引新,协助学生建立新旧知识间的联系,借助古代难题,引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义.
[过渡语]泰勒斯到底用什么方法得出了金字塔的高度呢?这就是我们今天学习的内容.
一、测量旗杆的高度
【问题】如何测量操场上旗杆的高度?
思路一
【思考】
(1)在同一时刻,物体的高度和影长有什么关系?
(2)在操场上竖立一根长1米的标杆,画出同一时刻旗杆和木杆的影长.
(太阳光线看作是平行的)
(3)通过测量影子的长度,你能得到旗杆的高度吗?
【师生活动】学生独立思考后画出图形,小组内交流测量旗杆的方法和思路,教师巡视过程中协助有困难的学生.
解：如图所示,测得同一时刻旗杆的影长AB=a,标杆的影长为EF=b.
由题意可得∠B=∠F=90°,AC∥DE,
∴∠A=∠E,∴△ABC∽△EFD,
∴=,
∴BC=.
【归纳】在平行光线的照射下,同一时刻,两个物体的高度与影长成比例.
【追问】你还有其他方法求旗杆的高度吗?
思路二
【小组讨论】用什么方法能够测量操场旗杆的高度?
【师生活动】学生小组讨论方法,画出图形,小组代表根据图形叙述测量的方法和思路,教师归纳测量的方法.
(1)升降旗杆上有绳子,测量升降旗杆上的绳子长度算出旗杆的高度.
(2)因为太阳光线平行,光线与地面所成的夹角相等,所以在同一时刻测出旗杆和标杆的影长,根据相似三角形的性质可求出旗杆的高度.
(3)在旗杆和人之间放一面镜子,移动镜子的位置,使人能看到旗杆顶端在镜子中的像,根据入射角等于反射角,利用三角形相似求出旗杆的高度.
(4)将视点、标杆顶端、旗杆顶端置于同一直线上,测出视点与标杆及旗杆底部的距离及标杆高度,利用三角形相似求出旗杆的高.
……
用三角形相似能够求旗杆的高度,常用的方法有：
【课件展示】
(1)如图所示,同一时刻物高与影长构成直角三角形.
(2)如图所示,利用平面镜构造直角三角形.
(3)如图所示,观察者视线与标杆顶端、旗杆顶端在同一条直线上.
[设计意图]解决生活实际问题——求旗杆的高度,培养学生多角度思考问题,思路一是在教师问题的引导下,学生实行分析、探究,建立相似三角形模型,由相似三角形的性质求解,然后归纳结论.思路二是提出结论开放性问题,学生通过小组合作交流,想出测量旗杆高度的多种方法,激发学生的创造性思维,提升学生用数学知识解决实际问题的水平.
二、例题讲解
[过渡语]我们用多种方法能够求操场上旗杆的高度,那么我们能不能用类似的方法求出金字塔的高度呢?
(教材例4)据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯以前利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶
部立一根木杆,借助太阳光线构成的两个相似三角形,来测量金字塔的高度.
如图所示,木杆EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,求金字塔的高度BO.
【教师引导分析】
(1)太阳光线与物体及其影子组成的两个三角形相似吗?
(由太阳光线平行得∠BAO=∠EDF,又∠AOB=∠DFE=90°,得三角形相似)
(2)如何求OA的长?
(金字塔的影子是等腰三角形,则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长一半的和)
(3)写出你的求解过程.
【师生活动】学生在教师的引导下分析回答,独立完成证明过程,学生板书,教师点评.
解：太阳光线是平行光线,
所以∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°,
∴△ABO∽△DEF.
∴=,
∴BO===134(m).
所以金字塔的高度为134 m.
(教材例5)如图所示,为了估算河的宽度,我们能够在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,
使点P,Q,S共线且直线PS与河岸垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,请根据这些数据求河宽PQ.
〔解析〕(1)图中的两个三角形是不是相似三角形?(由∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P可得△PQR∽△PST)(2)根据相似三角形的基本性质能不能得到关于河宽PQ的比例线段?(3)能不能用方程思想解出PQ的
值?=,即PQ×90=(PQ+45)×60,可解得PQ的值
【师生活动】学生在教师的引导下独立思考,再完成解答过程,然后小组交流答案,学生代表板书过程,教师在巡视过程中协助有困难的学生,对学生的板书点评,规范解答过程.
解：∵∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P,
∴△PQR∽△PST.
∴=,
即=,=,
PQ×90=(PQ+45)×60.
解得PQ=90(m).
所以,河宽大约为90 m.
【追问】你还有其他的测量河宽的方法吗?
【师生活动】学生小组合作交流,共同探究其他方法.师生共同归纳,只要合理都能够.
如下图也能够应用相似三角形性质测量河宽.
[设计意图]通过解决不能直接测量的物体的高度和宽度问题,让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型,通过建模培养学生的归纳水平.在教师的引导下学生通过自主学习和合作交流相结合,进一步加深对相似三角形的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的水平和发散思维水平.
[知识拓展]利用相似三角形实行测量的一般步骤：①利用平行线、标杆等构成相似三角形;②测量与表示未知量的线段相对应的线段的长,以及另外任意一组对应边的长度;③画出示意图,利用相似三角形的性质,列出以上包括未知量在内的四个量的比例式,解出未知量;④检验并得出答案.
1.测量不能直接测量的物体的高度：通常用同一时刻物高与影长成比例解决.
2.测量不能直接测量的两点间的距离：通常构造直角三角形相似求解.
1.小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长BA为15米,如图所示,然后在A处树立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC为3米,则楼高为 ()
A.10米
B.12米
C.15米
D.22.5米
解析：在同一时刻物高和影长成正比,即在同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.所以=,即=,∴楼高=10(米).故选A.
2.如图所示的是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图,测得光线与地面所成的角∠AMC=30°,窗户的高在教室地面上的影长MN=2米,窗户底部到教室地面的距离BC=1米(点M,N,C在同一直线上),则窗户的高度AB为 ()
A.米
B.3米
C.2米
D.1.5米
解析：∵BN∥AM,∴∠AMC=∠BNC=30°,又∵∠C=90°,BC=1米,∴BN=2米,CN=
米,∴CN∶CM=BC∶AC,∴=,解得AC=3(米),∴AB=AC-BC=2米.故选C.
3.如图所示,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM 的长为米.
解析：根据题意,易得△MBA∽△MCO,根据相似三角形的性质可知=,即=,解得AM=5(米).则小明的影长为5米.故填5.
4.如图所示,为了估算河的宽度,我们能够在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这个边选点B和C,使AB⊥BC,然后选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=110米,DC=55米,EC=52米,求两岸间的大致距离AB.
解：∵AB⊥BC,EC⊥BC,
∴∠ABC=∠BCE=90°,
又∵∠ADB=∠CDE,∴△ABD∽△ECD,
∴=,=,
解得AB=104.
答：两岸间的大致距离AB为104米.
第1课时
1.求旗杆的高度
2.例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第43页习题27.2第8题.
【选做题】
教材第43页习题27.2第10题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在同一时刻,身高1.6米的小丽在阳光下的影长为
2.5米,一棵大树的影长为5米,则这棵树的高度为 ()
A.1.5米
B.2.3米
C.3.2米
D.7.8米
2.如图所示,身高1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B向A走去,当走到C点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BC=
3.2 m,CA=0.8 m,则树的高度为 ()
A.4.8 m
B.6.4 m
C.8 m
D.10 m
3.如图所示,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=5 m,点P到CD的距离是3 m,则P到AB的距离是 ()
A. m
B. m
C. m
D. m。