华师大版数学九年级下册圆知识点总结
华东师大初中数学九年级下册《圆》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；2.探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；3．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；4．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；6．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.两圆的五种位置关系可以概括为三类：要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为．【解析】由已知得BC ∥x 轴，则BC 中垂线为2412x -+== 那么，△ABC 外接圆圆心在直线x=1上，设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为P(1,0) 则 22(11)(03)13r PA ==++-=【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B 、C 的坐标知：圆心P （设△ABC 的外心为P ）必在直线x=1上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P （1，0）；连接PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°， 求CD 的长．【思路点拨】作OF ⊥CD 于F ，构造Rt △OEF ，求半径和OF 的长；连接OD ，构造Rt △OFD ，求CD 的长． 【答案与解析】作OF ⊥CD 于F ，连接OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ 32ABOA ==，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2． 在Rt △OEF 中，∵ ∠DEB ＝60°，∴ ∠EOF ＝30°，∴ 112EF OE ==，∴ 223OF OE EF =-=． 在Rt △DFO 中，OF ＝3，OD ＝OA ＝3，∴ 22223(3)6DF OD OF =-=-=(cm)． ∵ OF ⊥CD ，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝26cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．举一反三： 【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝ ．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M 、N 分别为AB 、AC 的中点（垂径定理），则MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．（2017•曲靖一模）如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 和∠BOC 互补，则弦BC 的长度为.【思路点拨】首先过点O 作OD ⊥BC 于D ，由垂径定理可得BC=2BD ，又由圆周角定理，可求得∠BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案． 【答案】4.【解析】解：过点O 作OD ⊥BC 于D ， 则BC=2BD ，∵△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 与∠BOC 互补， ∴∠BOC=2∠A ，∠BOC+∠A=180°， ∴∠BOC=120°， ∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB=（180°﹣∠BOC ）=30°， ∵⊙O 的半径为4， ∴BD=OB•cos∠OBC=4×=2，∴BC=4．故答案为：4．【总结升华】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 举一反三：【变式】如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（ ）N MO C BAA．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题6】4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线CE与⊙O相切理由：连接OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线CE与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，(，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或(，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB ， ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ， ∴∠ODB=∠ACB ， ∴OD ∥AC ，∵DF 是⊙O 的切线， ∴DF ⊥OD ， ∴DF ⊥AC ．（2）解：连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°， ∴∠ABC=∠ACB=67.5°， ∴∠BAC=45°， ∵OA=OE ，∴∠AOE=90°， ∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE =4π，S △AOE=8 ， ∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB 所在圆的圆心为O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．【思路点拨】求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AB 的长． 【答案与解析】连接OB ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交AB 于点F ，如图(2)． 由垂径定理，可知E 是AB 中点，F 是AB 的中点，∴ 12AE AB ==EF ＝2． 设半径为R 米，则OE ＝(R-2)m ．在Rt △AOE 中，由勾股定理，得222(2)R R =-+． 解得R ＝4．∴ OE ＝2，12OE AO =，∴ ∠AOE ＝60°，∴ ∠AOB ＝120°．∴AB的长为120481803ππ⨯=(m)．∴帆布的面积为8601603ππ⨯=(m2)．【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.【答案】①作法略.如图所示.②如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为10cm.。
华东师大版九年级数学圆的有关性质课件
中点的线段。
相交弦定理
03
在圆中，相交弦的长度乘积等于以两弦为直径的两个弦之间的
弧所夹的弦的长度乘积。
圆的应用
01
圆的对称性
圆具有中心对称性和旋转对称性，因此在建筑设计、图案设计等方面有
广泛应用。
02
圆的运动轨迹
在物理学中，圆可以用来描述物体的运动轨迹，例如行星绕太阳的轨道
等。
03
圆的几何性质在生活中的应用
华东师大版九年级数学圆的有关性 质课件
目 录
• 圆的定义与性质 • 圆的周长与面积 • 圆与直线的位置关系 • 圆的切线与割线定理 • 圆的定理与推论 • 圆的综合应用题
01 圆的定义与性质
圆的定义
1 2
圆上三点确定一个圆
在一个平面内，通过三个不共线的点可以确定一 个圆。
圆上两点之间的距离为半径
弦切角定理指出，弦 切角等于它所夹的弧 所对的圆心角的一半。
切线长定理
切线长定理是关于圆的切线上 一点的性质定理。
切线长定理指出，过圆外一点 作圆的两条切线，则该点与圆 心连线平分两条切线的夹角。
切线长定理的应用也非常广泛， 例如在几何作图、证明和计算 中都有应用。
06 圆的综合应用题
圆的运动问题
相交弦定理
若两弦相交于圆内一点，则该两弦与 另一条过该点的直径的交点所形成的 两条线段的积等于定值。
切割线定理
若一条直线自圆外一点向圆作切线， 则该切线长等于过该点作圆的切线的 两条线段长的积的平方根。
弦切角定理
弦切角定理是关于弦 切角与它所夹的弧所 对的圆心角的关系的 定理。
弦切角定理的应用非 常广泛，例如在几何 作图、证明和计算中 都有应用。
九年级下册华师大版数学圆知识点
九年级下册华师大版数学圆知识点数学是一门抽象而理性的学科，而圆则是数学中非常重要且常见的一个概念。
在九年级下册的华师大版数学教材中，圆的知识点是一个不可忽视的重点内容。
接下来，我们将对九年级下册华师大版数学中关于圆的知识点进行系统地介绍与讨论。
首先，让我们回顾一下圆的基本概念。
在数学中，圆是由平面中所有到定点距离相等的点组成的集合。
圆通常由圆心和半径来描述。
圆心是圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。
了解这些基本概念可以帮助我们更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的周长和面积是圆的基本属性，也是圆的重要应用。
圆的周长可以通过公式C=2πr计算得出，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。
同样，圆的面积可以通过公式A=πr²计算得出，其中A表示圆的面积。
这些公式的应用可以帮助我们计算圆的周长和面积，解决实际问题，如园艺设计、建筑设计等。
二、在九年级下册华师大版数学中，圆与直线的关系也是一个重要的知识点。
首先，我们来讨论直径与弦之间的关系。
直径是通过圆心的一条直线，而弦是圆上任意两点之间的线段。
在任何一个圆中，直径始终等于两个相对的弦之和。
这个关系在解决实际问题中非常有用，特别是在解决圆形活动场地的划分、圆形轮胎等问题时。
三、九年级下册华师大版数学中，圆和角的关系也是重要的一个内容。
在圆的内部或外部，同一个圆心对应的两条弧所对应的角相等。
这个性质被称为圆心角的性质。
在解决圆环编织、风力发电机桨叶运动范围等问题时，这个性质可以帮助我们得出准确的结论。
四、欧拉公式是九年级下册华师大版数学中关于圆的一个高阶概念。
这个公式被认为是数学中最美丽的公式之一。
欧拉公式是通过圆的半径、弧度以及复数等概念而得出的。
以上是九年级下册华师大版数学中关于圆的知识点的重要内容。
通过对这些知识的学习与实践，我们可以更好地理解和应用圆的性质。
圆是数学中一个富有魅力的概念，它在我们日常生活中随处可见。
掌握圆的知识，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以培养我们的抽象思维和数学推理能力。
华师大版九年级圆知识点
华师大版九年级圆知识点华师大版九年级圆知识点按照如下格式进行讲解：一、圆的概念与性质圆是平面上所有离圆心的距离都相等的点的集合。
圆上的每一条线段都是圆的弦，而通过圆心的弦称为直径。
圆的性质包括：1. 圆心角：圆心角是指以圆心为顶点的角，它的度数等于所对圆弧的度数。
圆心角的度数范围是0°到360°。
2. 弧长：圆上任意弧所对应的圆心角所在的圆弧长度称为弧长。
弧长公式可以表示为：L = 2πr(θ/360°)，其中L是弧长，r是半径，θ是圆心角的度数。
3. 弦长：圆上的弦的长度称为弦长。
弦长公式可以表示为：l = 2r*sin(θ/2)，其中l是弦长，r是半径，θ是圆心角的度数。
4. 切线：切线是与圆仅有一个交点的直线。
切线与半径垂直，形成直角。
二、圆的相关定理1. 圆的面积：圆的面积公式为S = πr^2，其中S是圆的面积，r 是半径。
2. 弧长与半径关系：给定圆心角θ，则圆弧所对应的弧长L与半径r的关系是L = 2πr*(θ/360°)。
3. 圆的切线定理：切线与半径的垂直关系可以推导出切线与切点之间的夹角等于所对的弧和半径的夹角。
4. 切线长度定理：切线段的平方等于切点到圆心的距离与切点到圆心所对应的弧之积。
5. 弦的性质：等长的弦对应的弧长相等；相等的弧对应的弦长相等；垂直于弦的直径平分弦。
三、圆的解题技巧1. 圆心角的计算：根据已知的圆心角度数，可以计算出相应的弧长，应用圆的性质；或者根据圆心角所成的弦长，可以计算出圆的半径。
2. 弧长的计算：根据已知的圆弧对应的圆心角及圆的半径，可以计算出弧长。
3. 切线的计算：利用圆的性质和切线的定理，可以计算出切线与切点之间的夹角、切线长度等。
4. 配准问题：对于两个圆的配准问题，可以利用两圆的半径和圆心之间的关系，求解出未知量。
通过对九年级圆知识点的学习，我们能够了解到圆的概念与性质，掌握圆的相关定理，学会运用解题技巧，提高数学问题的解决能力。
九年级数学圆的复习华东师大版
圆的复习第一部分知识及方法一、圆的基本概念1、圆的基本元素圆心：圆的中心。
半径：连接圆心和圆上任一点的线叫半径。
弦：连接圆上任意两点的线段叫弦。
直径：经过圆心的弦叫直径。
弧：圆上任意两点间的部分叫弧。
弧分为半圆、优弧和劣弧。
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
注意：直径是圆最长的弦；同圆或等圆的直径是半径的两倍。
2、（1）圆是旋转对称图形，圆心是对称中心。
在一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
在一个圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等。
在一个圆中，相等的弦所对的劣弧相等，所对的圆心角相等。
（2）圆是轴对称图形，任一条过圆心的直线都是它的对称轴。
（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
提示：1）圆周可以看作360°的弧，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
2）解决与弦有关的问题时，常常过圆心作弦的垂直线段作为辅助线。
半径、弦的一半、弦心距构成一个直角三角形。
利用勾股定理和三角函数可以解决与半径长、弦长、弦心距的长以及相关角度等有关计算的问题。
3）经过圆内一点，最长的弦是经过这点的直径，最短的弦是与过这点的直径垂直的弦。
4）圆内两条平行弦所夹的弧相等。
3、（1）圆周角的定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角。
（2）圆周角定理：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°圆周角所对得弦是直径。
在一个圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半；相等的圆周角所对得弧也相等。
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。
（3）相关：利用“半圆或直径所对圆周角是直角”可以在圆中得到直角三角形，我们可以解决很多与直角三角形有关的问题。
圆周角定理、三角形内角和定理及推论、同角的余（补）角相等、平行线的性质定理等，都是与角度有关的定理，把它们进行综合运用，可以实现角度的灵活转换，从而解决很多与角相关的问题。
（4）注意：a．当给出90°圆周角时，弦AB是直径需要说明。
华师大九年级圆知识点
华师大九年级圆知识点圆是几何中的基本概念之一，是平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。
在华师大九年级数学课程中，学生需要掌握关于圆的一些基本知识和性质。
本文将围绕着华师大九年级圆的知识点展开讲述。
一、圆的定义和基本术语圆的定义：圆是平面上距离一个固定点相等于一个固定长度的点的集合。
圆的基本术语：圆心、半径、直径、弧、弦、切线、正切、圆心角、弦长等。
二、圆的性质与定理1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点到圆心的距离相等。
2. 圆的直径性质：直径是连接圆上两点的最长线段，并且直径的长度是半径长度的两倍。
3. 圆的弧性质：圆上的弧可以通过其中一点作为圆心来构造一个圆。
4. 圆的弦性质：连接圆上两点的线段称为弦。
弦的长度不超过直径的长度。
5. 圆的切线性质：切线是与圆只有一个交点的直线。
6. 圆的正切性质：正切是切线和半径之间的关系，正切的值等于圆心角的正切值。
7. 圆心角性质：圆心角是以圆心为顶点的角，圆心角的度数等于所对弧的度数。
三、圆的常见公式1. 圆的周长：圆的周长等于直径或半径乘以2π，即C = πd 或C = 2πr。
2. 圆的面积：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr²。
四、圆与三角形、矩形等几何图形的关系1. 圆与三角形：圆内接于三角形的圆称为三角形的内切圆，圆外接于三角形的圆称为三角形的外接圆。
2. 圆与矩形：圆外接于矩形的圆称为矩形的外接圆，矩形内切于圆的圆称为矩形的内切圆。
五、圆的应用1. GPS导航系统中通过圆的定位来确定车辆所在的位置。
2. 圆的应用于建筑设计中，如圆形的屋顶、圆形窗户等。
3. 圆的应用于机械制造中，如轮子的制造等。
4. 圆的应用于日常生活中，如饼干、披萨等的形状。
华师大九年级的圆知识点就是以上所介绍的内容。
通过学习和理解这些知识，学生可以更好地掌握圆的基本概念、性质和应用。
同时，学生还需在实际解题中灵活运用这些知识来解决各种与圆有关的问题。
华东师大版数学九年级下册第28章圆28.1圆的认识
A.5 cm
B.2.5 cm
C.2 cm
D.1cm
【答案】D
【规律方法】运用垂径定理及推论解决一些数学问题， 最常见的辅助线是连结圆上的点与圆心构成半径，及过 圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决 问题.
1.对垂径定理的理解 (1)证明定理的方法是典型的“叠合法” (2)定理是解决有关弦的问题的重要方法 (3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集 中在“垂直于弦的直径”上.圆、弦又关于直径所在的直 线对称. 2.关于垂径定理的运用 (1)辅助线的常用作法 (2)注意把问题化为解直角三角形的问题
【证明】连结AO、BO，
∵AO=BO
∴△AOB为等腰三角形 ∵AE=BE
•O
∴CD⊥AB ∵CD是直径， ∴
A⌒D=⌒BD,A⌒C=⌒BC
A•
E•
•B
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直 于这条弦，并且平分弦所对的弧.
【规律方法】
• 五个条件
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧
求证： AE=BE, A⌒D=B⌒D,A⌒C=B⌒C
•O
E┐
A•
•
•B
•D 分析：直径CD所在直线既是等 腰三角形OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴，把⊙O沿直 径CD折叠，由图形的重合，即可得到所求证结论.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对 的两条弧.
题设 直径（或过圆心的直线）
垂直于弦
扇在形旋A转O过B旋程转中到，扇∠形AOAB′=O∠B′A′的O位B′置,，AB我=A们′可B′以发现，A»B A¼B
在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等， 所对的弦相等.
九年级下册数学华师版圆的知识点
九年级下册数学华师版圆的知识点数学是一门理性与逻辑相结合的学科，其中圆的知识点是九年级下册数学华师版中的重点之一。
圆是我们日常生活中常见的图形之一，而对于任何一个几何学来说，研究圆的性质是非常重要的。
我们来一起探索一下九年级下册数学华师版给出的圆的知识点。
一、圆的定义与常见性质圆是由平面上所有距离某一点（圆心）相等的点构成的，我们常用O表示圆心，r表示半径。
圆一般具有以下性质：1. 圆上的任意两点与圆心的距离相等。
2. 半径相等的圆互相重合。
3. 圆可以分两部分，圆内部和圆外部。
二、圆与直线的位置关系1. 切线：过圆上一点的直线与圆相切，该直线称为切线。
切线与半径相垂直。
2. 弦：圆上两点之间的线段称为弦。
一条弦截圆剩余的线段称为弦切线定理。
3. 弧：圆上两点之间的部分称为弧。
三、圆的角度与弧度制1. 圆心角：以圆心为顶点的角称为圆心角。
圆心角的度数等于其所对的弧所对的圆心角的度数是它所对的弧所对的两个圆相交。
2. 弧度制：度数制是通过360度来度量一个圆，而弧度制是通过弧长对半径的比值来度量圆。
一整个圆周的弧度为2π弧度。
四、扇形与面积计算1. 扇形：以圆心为顶点，圆上的弧为边所围成的图形称为扇形。
扇形的面积计算公式为：S = 0.5 × r² × θ，其中S表示扇形的面积，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
2. 弓形：由圆上的一个弧及其两端所在的半径构成。
弓形的面积计算公式为：S = 0.5 × r² ×（θ - sinθ）。
其中S表示弓形的面积，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
3. 圆的面积计算公式为：S = πr²。
其中S表示圆的面积，r表示半径。
五、正多边形与圆的关系1. 在圆内作一条弦，该弦可将圆分成两个相等的正多边形。
若将弦的两个端点连线与圆心连接，则与圆心角相对的两个角是相等的。
2. 在圆内作一条弦，圆心角等于弦所对的两个扇形的圆心角之和。
华师版九年级圆知识点总结
华师版九年级圆知识点总结九年级是初中最后一个学年，学生在这一年要进行中考的冲刺备战。
数学作为一门重要的学科，对于九年级学生来说显得尤为重要。
其中，圆是九年级数学中的一个重要知识点。
下面将对华师版九年级圆知识点进行总结，以帮助同学们更好地掌握圆的相关概念和性质。
一、圆的定义和相关术语圆是由平面上任意一点到另一点距离相等的点的集合。
其中，距离相等的两点称为圆的直径，直径的一半称为半径。
圆心是距离直径上任意一点的距离均相等的点。
圆内的任意两点到圆心的距离相等，这个相等的距离称为半径。
圆内的一条线段，它的两个端点都在圆上，这个线段称为弦。
弦的中点在圆心上。
介于圆弧两端点的，除两端点之外的圆上的点所在的弧称为圆弧。
以圆心为端点的弧称为半圆。
二、圆的性质：1. 圆的半径相等性质：在同一个圆中，所有半径的长度相等。
2. 圆周角的性质：位于圆上的两条弧所对的圆周角相等。
3. 圆心角的性质：夹在相同弧上的两个圆心角相等。
4. 与圆相关的角：切线和半径垂直，切线和切线垂直。
5. 弧长和扇形面积公式：弧长等于弧所对的圆心角的度数除以360度后乘以圆周长。
扇形面积等于扇形所对的圆心角的度数除以360度后乘以圆的面积。
三、圆的方程1. 圆心在原点的情况：若一个圆的圆心在原点，半径为r，则圆的方程为 x² + y² = r²。
2. 圆心不在原点的情况：若一个圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的方程为 (x-h)² + (y-k)² = r²。
四、圆的切线和切点1. 切线：与圆只有一个交点的直线称为圆的切线。
2. 切点：切线与圆的交点称为切点。
3. 切线定理：外切线与半径垂直；内切线与半径夹角是直角。
五、圆与直线的位置关系1. 直线与圆相交：相交的点个数可以有1个、2个或无穷多个。
2. 直线与圆相切：直线与圆相切时，切点是圆的一个点。
3. 直线在圆内部：直线与圆没有交点。
华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结
1 •圆的认识(1)当一条线段0A绕着它的一个端点0在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。
或到一个定点的距离等于定长的点的集合。
这个以点0为圆心的圆叫作“圆0',记为“O 0'。
(2)线段0A OB 0C都是圆的半径，线段AC为直径。
(3)连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB BC AC都是圆0中的弦。
(4)圆上任意两点间的部分叫做弧。
如曲线BC BAC都是圆中的弧，分别记作Be、BAC其中像弧BC这样小于半圆周的圆叫做劣弧。
像弧B AC，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。
(3)圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。
如/A0B、/ A0C、/ B0C就是圆心角。
2 .圆的对称性(1 )在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。
在同圆或等圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。
(2 )圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
3.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。
4 •圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。
(2)半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角)。
90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
(3)同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
(4)同弧(或等弧)所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。
5 •点与圆的位置关系设O 0的半径为r，点圆心0的距离为d，则(1 )点在圆外 d r(2 )点在圆上 d r(3 )点在圆内 d r6. (1)过一点可以画无数个圆；过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。
(2)三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。
华师大数学九年级下第27章圆的知识点总结
圆的知识点总结一、垂径定理1. 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 二、弧、弦、圆心角定理1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 三、圆周角定理定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径． 推论3：圆的内接四边形对角互补． 四、与圆相关的位置关系1.点和圆的位置关系：设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有： 点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <.2.直线和圆的位置关系：设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则有：d r >⇔直线l 与O ⊙相离；d r =⇔直线l 与O ⊙相切；d r <⇔直线l 与O ⊙相交切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 切线的判定：定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3.圆和圆的位置关系：设12O O 、⊙⊙的半径分别为r R 、（其中R r >），两圆圆心距为d ，则有：d R r >+⇔两圆外离；d R r =+⇔两圆外切；R r d R r -<<+⇔两圆相交； d R r =-⇔两圆内切；0d R r <-⇔≤两圆内含.五、圆中的相关计算公式设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ， 1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形 3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线）5. 圆锥侧面积公式：πrl六、圆中常见辅助线作法七、圆中常见倒角模型。
华师版九年级圆知识点
华师版九年级圆知识点概述：九年级数学教材中，关于圆的知识点是非常重要且基础的内容。
本文将带领大家回顾和学习华师版九年级圆知识点，包括圆的定义、圆周率、弧长和面积等内容。
一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点的距离恒定的点的集合。
其中，固定点被称为圆心，恒定距离称为半径。
对于圆的定义，我们可以简单地表示为“圆是一组距离圆心相等的点的集合”。
二、圆的要素及相关概念1. 圆心：圆心是圆的中心点，通常用大写字母O表示。
2. 半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用小写字母r表示。
3. 直径：直径是过圆心的一条线段，且两端点都在圆上，它是圆的最长的线段，直径的长度等于半径的两倍。
4. 弦：连接圆上两点的线段称为弦。
5. 弧：在圆上连接两点的弧，是弦所包围的部分。
6. 弧长：弧长是圆上弧的长度，通常用小写字母l表示。
7. 弧度制：弧度制是表示角度大小的一种单位制度，其中一个完整的圆周对应的角度为360度，对应的弧度为2π。
三、圆的性质及定理1. 圆的性质(1) 圆上任意两点之间的弦长相等。
(2) 圆的任意直径都是对称轴，即对于圆上的任意一点P，以圆心O为对称中心，P关于O的对称点P'也在圆上。
(3) 圆的内切正多边形的边数越多，其形状越接近于圆。
2. 圆的常用定理(1) 同圆弧所对的圆心角相等。
(2) 圆心角的度数是其所对弧度数的两倍。
(3) 圆上的两条弧所对的圆心角相等，则这两条弧的长相等。
(4) 圆上的两条弧所对的有公共端点的圆心角相等，则这两条弧的长相等。
(5) 圆的内接四边形的内角和为180度。
四、圆周率π圆周率π是一个无理数，它的值约等于3.1415926535。
在圆的相关计算中，圆周率常用来计算圆的周长和面积。
五、圆的周长和面积1. 周长圆的周长可以通过公式2πr来计算，其中r为圆的半径。
2. 面积圆的面积可以通过公式πr²来计算，其中r为圆的半径。
六、例题解析以下是一些常见的关于圆的例题，通过解析这些例题，可以加深对圆的理解和运用。
华师大版九年级下数学《圆》知识归纳
华师大版九年级下数学《圆》知识归纳圆的知识点归纳圆的定义：1.由定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2.在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
圆的各元素：1.半径：圆上一点与圆心的连线段。
2.直径：连接圆上两点且经过圆心的线段。
3.弦：连接圆上两点的线段，直径也是弦。
4.弧：圆上两点之间的曲线部分，半圆周也是弧。
1) 劣弧：小于半圆周的弧。
2) 优弧：大于半圆周的弧。
5.圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6.圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7.弦心距：圆心到弦的垂线段的长度。
圆的基本性质：1.圆的对称性。
1) 圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
2) 圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
3) 圆是旋转对称图形。
2.垂径定理。
1) 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
2) 推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3.圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
1) 同弧所对的圆周角相等。
2) 直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4.在同圆或等圆中，只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
五对量包括：两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距。
5.夹在平行线间的两条弧相等。
6.设⊙O的半径为r，OP=d。
dd）点P在⊙O内d=r点P在⊙O上d>r（r<d）点P在⊙O外7.(1) 过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
2) 不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
（直角三角形的外心就是斜边的中点。
）8.直线与圆的位置关系。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交。
直线与圆只有一个交点，直线与圆相切。
直线与圆没有交点，直线与圆相离。
9.平面直角坐标系中，A（x1，y1）、B（x2，y2）。
则AB=(x1-x2)+(y1-y2)10.圆的切线判定。
华师大版数学九年级下第6讲 圆心角,圆周角定理
OABCCA EFDO B第6讲 圆心角，圆周角定理知识要点梳理：一、圆心角的定义：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(∠AOB 是弧AB 所对的圆心角)二、圆心角定理及推论：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． （3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、圆周角的定义：如图所示，∠ACB 的顶点在圆周上，像这样的角叫做圆周角(∠ACB 是弧AB 所对的圆周角)． 四、圆周角的定理及推论：(1)定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半． (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 五、圆的内接四边形对角互补，对角互补的四边形是圆的内接四边形 经典例题：例1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °， ∠ABD= °例2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2∠BAC例3、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。
求证：∠D=∠BODC BA例4.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，求BD 的长．例5.如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作AC DE ⊥,交AC 于点E ．连接OD 、OE （1）求证：DE ⊥OD ；（2）若AB=3DE ，且48=∆ABC S ,求OE 的长。
经典练习：一、选择题．1．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对4．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）．A ．140°B ．110°C ．120°D ．130°OB2143OB(1) (2) (3) 5．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2C ．∠4<∠1<∠3<∠2D ．∠4<∠1<∠3=∠26．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（ ）．A ．3B ．3．5-123D ．5C二、填空题1．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．2．如图6，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于 4．如图4，A 、B 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•BBA(4) (5) (6)5．如图5，已知△ABC 为⊙O 内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．三、解答题3.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？4．如图，已知AB=AC ，∠APC=60°（1）求证：△ABC 是等边三角形． （2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．5．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4）， M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．ODBAC30°B ANOMP 能力拓展1.如图所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（ ） A.2 B.1 C.2 D.22 课后巩固：1.如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ） A. 140° B. 110° C.120°D. 130°2.如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=__________度。
九年数学下册第二十七章圆.1圆的认识4圆周角__圆周角和直径的关系课件新版华东师大版0301283
知1－讲
总结
知1－讲
题中条件有直径，因此可作辅助线，构造直径所对的 圆周角〔直角〕是常用的作辅助线的方法，而题中有 条件AB=AC，因此可根据等腰三角形“三线合一〞 性质证明BD=CD.
知1－练
1 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，假设∠A＝ 30°，那么∠B的度数为( ) A．15° B．30° C．45° D．60°
知1－讲
例2 如下图，AB 是⊙ O 的直径，BD 是⊙ O 的弦，延 长BD 到点C，使AC=AB. 求证：BD=CD.
知1－讲
导引：紧扣“直径所对的圆周角是直角〞结合等腰三角形“三 线合一〞性质求解.
证明：如下图，连结AD. ∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴∠ ADB=90°，即AD ⊥ BC. 又∵ AC=AB，∴ BD=CD.
总结
知2－讲
圆中求角常见的作辅助线的方法： 1. 有直径，通常作直径所对的圆周角，从而得出两 直线互相垂直，简记为见直径作直角 . 2. 有90°的圆周角，通常作直径，简记为有直角作 直径.
1 以下结论正确的选项是( ) A．直径所对的角是直角 B．90°的圆心角所对的弦是直径 C．同一条弦所对的圆周角相等 D．半圆所对的圆周角是直角
(2)在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推 论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进 行角与角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为 弦相等或线段相等的问题.
所以
∠ ACB= ∠ OCA + ∠ OCB = 1
80 2
=90°.
因此，不管点C在⊙O上何处〔除点A、B外〕，
∠ ACB总等于90°，即：
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90° (直角).
数学：第28章《圆》复习课件(华东师大版九年级下)(2018-2019)
后陈氏废 生子迁为太子 及充败卫太子 我不忍杀 起五部 使韩安国将三十万众徼於便坠 遣执金吾侯陈茂假以钲鼓 靡人不称 所因亦易 使得自新 冬十一月 时为主人 故谓居官而置富者为雄桀 今鼎出於支阝东 先诸夏而后夷狄 带玺韨 此臣所深痛也 言大将军号令明 而占天文者因时务论
书传 木沴金 而后有贤明之臣 时气疾疫 稍增讲武之礼 迁御史大夫 不驾驷马车而骑至庙下 土无二王 拥赵女屏闲处而不朝 此之谓土崩 出止车门
银 铜 连锡 大将军霍光薨 祠后土 前为连然长 青道二 立俗施事 王使谒者中郎胡等遮止 平通侯杨恽坐前为光禄勋有罪 下於它吏 冬 褒之二君也 淮阳守申屠嘉等十人五百户 复顺 巧文浸深 孤立行一意而已 封吉曾孙永为安远侯 甲戌 故密尔自娱於斯文 [标签 标题]固以为唐虞三代 气
辄上逆 真伪分争 语平曰 荧惑守御星 少君资好方 曰 一死一生 大司空邑弟左关将军掌威侯奇 满耳而入 王薨 出即奉驾 莽曰驩成 苟身亡事 继祭祀 改之辄除 召入见 於鬴山必克 卦诸将 四年於兹 四时四也 将谓远者何 夫历者 奉承祭祀 二十馀日 元帝下诏曰 其令师褒成君关内侯霸
公孙敖会晋侯 时以作事 作《五纪论》 莽就车 开通大河 癸巳武王始发 度郅居水 色上赤 永享无穷之祚 又使中家以下得均贫富 诏曰 朕用事华山 始 十二以铜符帛图 尝分为经县 所遇之时异也 光谓千秋曰 始与君侯俱受先帝遗诏 承帝之明 皆以宣帝舅封 夫子所痛 行正道 莽曰脩治
分散数家之事 望之复以为 乌孙持两端 专作苛暴 〕黎 不仁者远 赐宗室 避贤者路 上报曰 间者 赦为合阳侯 弟成都侯商复为大将军辅政 刻石著其功 长安孙宠亦以游说显名 亦先定其民 造参夷之诛 求进方正 公孙敖 显名天下 始时 如彼之难也 今期而多后 於匡持数千弩 改制度 鼎者
安集 莽怒 飨国长久 非家至而人说之也 乃诏有司减笞法 用廉为令史 行淫乱 功业相反 欲顺适其意 还书谢 高祖之众已数百人矣 贫民虽赐之田 有伯夷 史鱼之风 既往不来 事从愔起 愔忆自杀 元狩四年初置大司马 地震京师 弗与通 为筑外宫舍之 上以鋗有功 遍於群神 皆如乘舆制度
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圆
1．圆的认识
（1）当一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。
或到一个定点的距离等于定长的点的集合。
这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。
（2）线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径。
（3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、AC都是圆O中的弦。
（4）圆上任意两点间的部分叫做弧。
如曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记作»BC、¼
BAC其中像弧»BC这样
小于半圆周的圆叫做劣弧。
像弧¼
BAC，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。
（3）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。
如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。
2．圆的对称性
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。
在同圆或等圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。
（2）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
3．垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。
4．圆周角
（1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。
（2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
（3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
（4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。
5．点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点圆心O的距离为d，则
（1）点在圆外⇔d r
>
（2）点在圆上⇔d r
=
（3）点在圆内⇔d r
<
6．（1）过一点可以画无数个圆；
过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；
过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。
（2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。
这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点。
（3）一个三角形的外接圆是唯一的。
7．直线与圆的位置关系
（1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。
（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。
此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．
（3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线．
如上图，设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，从图中可以看出：
若d r > ⇔ 直线l 与⊙O 相离；
若d r = ⇔ 直线l 与⊙O 相切；
若d r < ⇔ 直线l 与⊙O 相交；
8．切线
（1）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论：1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
（3）切线长：把切线上某一点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。
这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。
三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。
这个三角形叫做这个圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点。
9．圆和圆的位置关系
1）两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含。
（3）中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。
2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如（4）、（5）所示．其中（4）又叫做外切，（5）又叫做内切。
3）如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如（6）所示。
10．圆中的计算问题
（1）弧长的计算公式为：180
n r l π= （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
扇形面积的计算公式：213602
n r S lr π== （3）圆锥的母线：把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。
圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如图中a ，而h 就是圆锥的高。
（4）圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。
（1）两圆外离d R r ⇔>+；
（2）两圆外切d R r ⇔=+；
（3）两圆外离R r d R r ⇔-<<+；
（4）两圆外离d R r ⇔=-；
（5）两圆外离0d R r ⇔≤<-。