高中数学必修五2.1《数列的概念与简单表示法》

2
1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 35
3
1 ， ຫໍສະໝຸດ Baidu ， 1 ， 1
4
1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 5
共同特点：
1. 都是一列数； 2. 都有一定的顺序
6
定义：按一定顺序排列着的一列数称为 (数列具有有序性)
问1： 数列 3 1，2 ， 3 ，… ，35 改为 3 , 2 ，1 ，… ，35 请问：是不是同一数列？
无穷数列 摆动数列
8
数列的一般形式可以 第1项 第2项 第3项 第n项
与个公通a 简列项公写1 式项如， 记的数式成就公果a 为第之来：2 叫式数， n间表a做。列项a n的示这3 ， 。a, 其关，个n 中， 系数那的可a列a 么第nn 以是的这n 项用数个， 一 -a1111211{102,,,n,n12}1a222{121((n1n,,n,, }-a(23113N N n32**,,,,,,n nN *),63,,,24)a5)(nn1n-naa1,1nan,,) nn , n,2n1 ,2n36135
第二章 数列
2.1 数列的概念与简单表示法
1
8
7
6
5
64个格子 你想4得到
什么3 样的 OK
87
65 4 3 2
赏赐2 ？
1
陛下，赏小
1
。 人就一请 请子请依子可请子在在放在次些放在放以第第8类第4第颗麦1二四颗推三颗一麦个个麦…粒个麦个粒…格格粒格粒格
子放2颗麦粒
2
?
8
7
64个格子
6
5
4
3
8 76
以 为 an ＝ ( － 1)n 或 an ＝
ann n1211nnn 12
15
（3）
1, 1 ,1 , 1. 1223 3445
解：此数列的前4项的绝对值都等
于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数 项为负，偶数项为正，所以通项公式是：
an
1n nn 1
16
观察下面数列的特点，用适当的数填空，并 写出每个数列的一个通项公式：
(1 )2 ,4 ,(8)1 , ,6 3,2 (64)1 , 28
13
例2 写出数列的一个通项公式， 使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7；
解：此数列的前四项1，3，5，7都 是序号的2倍减去1，所以通项公式 是：
an 2n1
14
（2）
221321421521
,
,
,
;
2345
解：此数列的前四项的分母都
是序号加1，分子都是分母的平方减 去1，所以通项公式是：
通项公式，写出它的前5项：
（1）
n an n 1
（2） an1nn
解：（1）在通项公式中依次取 n =1，2，
3，4，5，得到数列 a n 的前5项为
1, 2, 3, 4, 5. 23456
（2）在通项公式中依次取n=1，2，
3，4，5，那么数列 的a n前 5项为
－1，2， － 3，4， － 5.
问2: 数列 4 -1，1，-1，1…… 改为： 1，-1，1，-1……，请问：是不是同一数列？
7
数列中的每一个数叫 做这个数列的项。 各项依次叫做这个数列 的第1项，第2项，······， 第n项， ······
数列的分类
(1)按项数分： 项数有限的数列叫有穷数列 项数无限的数列叫无穷数列 (2)按项之间的大小关系：
1 ， 2， 3， 4， 35
❖-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：
1 ， 1 ， 1 ， 1
❖无穷多个1排列成的一列数：
1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 5
1，3，6，10，···
1，4，9，16，···
1 ， 2 ， 2 2， 2 3 ， 2 63 1
1， 12，31，14，
(2 )1()4 ,,9 ,1,2 6,( 5 36)4 , 9
(3)-11 ,,(- 1 ),1,-1,1,(- 1 ) 2 3 4 56 7
(4)1, 2,(3 )2 ,, 5,(6 ),7
17
基础知识梳理
数列的通项公式唯一吗？是否每 个数列都有通项公式？
【思考·提示】 不唯一，如数
列 － 1,1， － 1,1 ， …的 通 项 公 式 可
递增数列， 递减数列， 摆动数列， 常数列。
1 ， 2 ， 22 ， 23 ， 26 3 1 有穷数列 递增数列
1， 1， 1， 1， 2 234
无穷数列 递减数列
1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 35 3
有穷数列 递增数列
1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 4
无穷数列 常数列
1 ， 1 ， 1 ， 1 5
而a n 只表示这个数列的第n项.
区别是什么？
10
2.通项公式法
序号n
1
2
3
4 … 20
项an
2
22
a1 a2
23
24
… 2 20
a3
an 2n
数列an 的第n项 a n
与 n 之间的关系
(公式)
数列的通项公式.
数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限
子集{1，2，…，n}）的函数，那么数列的通项公式也就是相
提问：这些数有什么规律吗？ 4
❖上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：
1 ， 2 ， 2 2， 2 3 ， 2 63
三角形数：1，3，6，10，···
正方形数：1，4，9，16，···
❖1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：
1，1，1，1， 234
❖高一（4）班每次考试的名次由小到大排成的一列数：
应函数的解析式.
11
3.图象法
y
y
n
an 2 nN*,n20
a n n 3 n N * ,且 n 7
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2345 67 x
1 2345 67 x
特点：它们都是一群孤立的点.
12
例1 根据下面数列a n 的
1 2 3 4
a n ( -1 ) n (nN*)
1 ,1 , 1 ,, 1 , 5
a n =1 (nN*)
9
三.数列 的表示方
法
1.列举法
序号
数列的一般形式： a1,a2,a3,,an,
或简记为 an . 第1项(或首项)
第n项
an 与a n 的
a n 表示数列 a1,a2,a3, ,an,，
543
2
2 1 1
你认为国王 有能力满足 上述要求吗
每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子
? 210 22 1 2 2 2 3 2 63
184467445
3
传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：
三角形数
1, 3,
6,
10, .…..
正方形数
1, 4,
9,
16, ……