7第六章边界层气象学中的非定常问题1
定常&非定常
du dy
μ 粘度
符合牛顿粘性定律的流体称为牛顿型流体 μ单位 1 P＝100 cp＝0.1 Pa·S P 泊， cP厘泊 μ可由实验测定，粘度计 μ与P关系不大，但与T关系很大 注： 气体粘度一般远小于液体粘度 液体：μ随T↑而↓ 气体：μ随T↑而↑ 气体分子碰撞加剧
2.2.5 流动边界层 平板边界层 边界层的形成 边界层：由于流动受壁面影响而存在速度梯度区 域 边界层厚度：自壁面到流速达到流体主体流速99 ％处的厚度 Re数 ↑，边界层厚度越薄 边界层内速度梯度较大，即使流体粘度很小，也 会产生较大的内摩擦力
2
流体流动从管道入口开始形成边界层直到发展到 边界层在管道中心汇合为止的长度，称为稳定段 长度 层流下： 湍流：稳定段长度较短，一般为圆管直径的50～ 100倍 只有在稳定段后，流动型态和流速分布才能保持 稳定不变
2.2.6 动量传递 相当于牛顿粘性定律换一个角度考虑 层流流动的相邻两层流体中，流速较高的流体层 中的分子因分子扩散作用进入低速流体层中，促 使低速流体层加速 同时，低速层中的分子也因分子扩散作用进入告 诉流体层，使高速流体减速，相当于两相邻层流 体之间相互施加了一种反向的内摩擦力，即剪切 力
惯性力 爬流，可忽略 Re数大，惯性力起主要作用 粘性力 ③可用于判断两个流动系统是否相似 若系统几何相似，且Re数相同 → 两者流动型态相同 流体动力过程相似 Re =
②
Re数小，粘滞力起主要作用，
层流 ⎫ ⎬2种流动型态 湍流 ⎭ 过渡区域
注意：(1) 圆管d － 管直径， 非圆管 de － 当量直径 de ＝ 4 rH，4倍的水力直径，
τ =μ
ν=
μ ρ
边界层气象学试题库
边界层⽓象学试题库⼀、名词解释 (每⼩题 6 分，共 30 分)1. 雷诺数Re ≡UL/v=特征惯性⼒/特征粘性⼒。
Re 数是判断两粘性流体运动是否相似的重要判据之⼀。
2. 总体理查逊数3. 雷诺平均对于任⼀物理量，当定义平均值后，可将湍流运动表⽰为湍流运动=平均运动+脉动运动。
⽽将任意实际物理量表⽰为：，则为雷诺平均。
4. ⼤⽓边界层⼤⽓的最低部分直接受下垫⾯（地⾯）影响的层次，或者说⼤⽓与下垫⾯相互作⽤的层次。
⼤⽓边界层厚度的时空差异很⼤，平均厚度为地⾯以上约1km 的范围，以湍流运动为主要特征。
还可细分为近地层（⼤⽓边界层下部约1/10的厚度内）和Ekman 层。
⼤⽓边界层⼜称⾏星边界层，是指存在着连续性湍流的低层⼤⽓：（1）湍流是边界层⼤⽓的主要运动形态，对地表⾯与⼤⽓间的动量、热量、⽔汽及其他物质的输送起着重要作⽤；（2）地球表⾯热⼒强迫的⽇变化通过湍流混合扩散使得边界层中⽓象要素呈现⽇周期的循环。
5. 定常湍流如果这些湍流统计参数不随时间变化，就称为平稳湍流或定常湍流；此时，⾜够长时间的平均即接近于总体平均。
6. 均匀湍流≡如果统计参数不随空间变化，称之为均匀湍流；此时，⾜够⼤的空间平均也接近于总体平均。
7. 普朗特混合长湍流运动中，单位质量的流体微团含有某种特性量q ，如果① q 是被动的，即不影响流体的运动情况；② q 是保守的，即在运⾏距离之后，q 值守恒。
在湍流运动过程中特性量q 保持不变（失去原有特性）前所⾛过的距离，称之为混合长。
8. 常值通量层近地层较薄，可近似认为动量、热量和⽔汽垂直湍流输送通量⼏乎不随⾼度变化（风向也⼏乎不随⾼度改变），各种通量近似为常值，故称为常值通量层。
常值通量层通常指的是动量常值通量层。
9. Monin-Obukhov 长度10. 动⼒内边界层上游来流为中性⼤⽓，⽓流从⼀种粗糙度表⾯跃变到另⼀种粗糙度的下垫表⾯，在地⾯的动⼒强制作⽤下，在新的下垫⾯上空将形成⼀个内边界层，即动⼒内边界层。
定常与非定常流动
定常流动流体（气体、液体）流动时，若流体中任何一点的压力，速度和密度等物理量都不随时间变化，则这种流动就称为定常流动；反之，只要压力，速度和密度中任意一个物理量随时间而变化，液体就是作非定常流动或者说液体作时变流动。
所以，定常流动时，管中流体每单位时间流过的体积(体积流量)qV为常量，流体每单位体积的质量(密度)ρ也是常量。
非定常流动流体的流动状态随时间改变的流动。
若流动状态不随时间而变化，则为定常流动。
流体通常的流动几乎都是非定常的。
分类按流动随时间变化的速率，非定常流动可分为三类：①流场变化速率极慢的流动：流场中任意一点的平均速度随时间逐渐增加或减小，在这种情况下可以忽略加速度效应，这种流动又称为准定常流动。
水库的排灌过程就属于准定常流动。
可认为准定常流动在每一瞬间都服从定常流动的方程，时间效应只是以参量形式表现出来。
②流场变化速率很快的流动：在这种情况下须考虑加速度效应。
活塞式水泵或真空泵所造成的流动，飞行器和船舶操纵问题中所考虑的流动都属这一类。
这类流动和定常流动有本质上的差别。
例如，用伯努利方程（见伯努利定理）描述这类流动，就须增加一个与加速度有关的项，成为：,式中为理想流体沿流线的速度分布；A和B表示同一流线上的两个点;P 为压强;为密度；g为重力加速度；z为重力方向上的坐标；ds为流线上的长度元。
③流场变化速率极快的流动：在这种情况下流体的弹性力显得十分重要，例如瞬间关闭水管的阀门。
阀门突然关闭时，整个流场中流体不可能立即完全静止下来，速度和压强的变化以压力波（或激波）的形式从阀门向上游传播，产生很大的振动和声响，即所谓水击现象。
这种现象不仅发生在水流中，也发生在其他任何流体中。
在空气中的核爆炸也会发生类似现象。
除上述三类流动外，某些状态反复出现的流动也被认为是一种非定常流动。
典型的例子是流场各点的平均速度和压强随时间作周期性波动的流动，即所谓脉动流，这种流动存在于汽轮机、活塞泵和压气机的进出口管道中。
一个非定常边界层模式的设计
一个非定常边界层模式的设计
非定常边界层模式（Unsteady Boundary Layer Modeling, UBLM）是对复杂流动过程模拟
有效而受欢迎的工具，用于描述和可靠预测复杂流动中发生的湍流、离散操作等多种现象。
UBLM可用于真实工程环境中的模拟，以了解流体行为。
可以帮助设计分析、建模操作和
航空发动机性能测量，研究者还可以利用UBLM模型来开发新的流体动力学原理和计算技术。
UBLM的设计准则是研究流动的变量，包括活塞面的位置和气流动能，变量的分布，位置
梯度和压力变化，和在它们之间的关系。
首先，必须定义物理范围。
接下来，通过正确地
定义所有边界层变量以及其值，可以根据预定义变量和参数绘制可视化模型。
为了模拟实际的情况，UBLM可利用计算流体动力学（CFD）技术来指导流体的运动，反映真实情况。
学术和工业应用也表明，在运用UBLM模型时，需要考虑质量交换、流变分析、热传导及其他外部因素等流体性能参数，以及改变边界层流体的变量，以使模型能够更好地反映真实情况和更准确地预测未来发展趋势。
总之，UBLM能够准确描述复杂流动过程，预测不断变化的流动变量，研究者正利用其来
分析复杂的流体动力学问题，揭示诸如活塞面位置和气流动能等变量的分布。
边界层气象学：6第五章定常条件下的边界层
中的分布，要解决这个问题，必须求解运动方
程和热流量方程。从最简单情形入手，介绍
Ekman理论。设大气为正压大气，等压线为直
线，忽略风的水平变化，考虑定常、均匀条件
下的大气运动方程：
uw fv 1 p
z
x
vw fu 1 p
z
y
为使方程组闭合，引入K理论
u(z2 ) u*
u(z1 )
Fui
( z2 L*
,)
Fui
(
z1 L*
,)
v(z2 ) u*
v(z1 )
Fv
i
(
z2 L*
,)
Fvi
(
z1 L*
,)
(z2)
T*
(z1 )
Fi
( z2 L*
,)
Fi
( z1 L*
,)
Fui、Fvi 和Fi为普适函数
若取z1=z0，u(z0)=v(z0)=0，则：
Ekman螺线
在地面上，z=0，tgα=0/0，根据罗必达法则： tgα=1，α=45o，在地面，风向与地转风（等压 线）的交角为45o。
随高度增加，α逐渐减小，即风向右偏（北半 球），逐渐趋于等压线（地转风）方向；风 速渐增，逐渐趋于地转风大小。
从定量上说，Ekman解不精确。问题的来源是 假设K为常数。
稳定度参数S代替，可以解决问题。
曲线1、2、3、4、5是 不同研究者在=0理论 值。曲线6a =-100；曲 线6b =-10曲线6c =0； 曲线6d =10；曲线6e =100
u*/Vg随Ro增加而减少， u*/Vg随不稳定增加而增 加。
图5.2.1
曲线1、2是Blackadar 在中性时的实测值；3 是Lettau在中性时的实 测值；4是OpeHKO在 <0时的实测值；5是 >0时的实测值。其它 符号同前。
大气边界层概述(1)
图1 三种边界层方案(YSU、MYJ和ACM2)模拟的与观测的 （a）西固二水厂和（b）兰州站的地面温度（2m）日变化对比
8
Time
（b）兰州站（52889）
Time
（a）西固二水厂
111111111111111111.................22222222222222222.2555555666666777777-----------------100111200111200112026048226048226482 111111111111111111111111........................222222222222222222222222555555556666666677777777------------------------000111220001112200011122258147032581470325814703
d. Mellor-Yamada Nakanishi and Niino Level 2.5 PBL (5). Predicts sub-grid TKE terms. New in Version 3.1.
e. LES PBL: A large-eddy-simulation (LES) boundary layer is available in Version 3.
面临的主要问题 （1）非均匀和复杂下垫面边界层 （下垫面性质非均匀分布、
地形起伏和山脉的作用、 城市大气边界层) （2）特殊地区边界层特征 （ 干旱荒漠区的大气边界层特 征 、 青藏高原寒区边界层特征 ） （3） 沙尘暴等特殊天气边界层特征 （4）湍流如何在模式中更合理的参数化
22
1.什么是传统机械按键设计？
流体力学第六章 边界层理论
流体力学第六章
流体力学第六章
Q
v
uv
u dy
udy U
y x 0 0 x
x 0
而
0
uK1
v y
dy
0
uK1
u x
dy
1 K
2
0
x
uK2dy
1 K
2
x
0
uK2dy
U K2
于是第二个积分
vuKudy
v
0
y K10 y
uK1
dyK1(x10u(dyU uK2)U dyK1UK2)
流体力学第六章
u
u x
v
u y
p x
2u y 2
已知普朗特方程组
p y
0
u x
v y
0
0
uk 1
udy x
0
ukv
udy y
p x
0
uk dy
0
uk
2u y2 dy
积分一
积分二
积分三
其中 (x)
(6 2 1)
流体力学第六章
b(x) a(x)
ddxx(x)dx
x 0
0
uk1
u y
2
dy
uk2dy Uk1
udy
k 1 x 0
k 1 x 0
p x
0
uk
dy
k
0
uk1
u y
2 dy
(6-2-3)
流体力学第六章
uk2dyUk1 udy
k1 x 0
k1x0
px0ukdyk0uk1uy2dy
(6-2-3)
上式为哥路别夫积分方程。
流体力学第六章边界层理论(附面层理论)
通过减小边界层的阻力，降低流体机械的能耗，提高运行效率。
流动分离控制
控制边界层的流动分离，防止流体机械中的流动失稳和振动，提 高设备稳定性。
流体动力学中的边界层效应
流动特性的影响
边界层内的流动特性对整体流动行为产生重要影响，如湍流、分离 流等。
流动阻力
边界层内的流动阻力决定了流体动力学的性能，如流体阻力、升力 等。
在推导过程中，需要考虑流体与固体表面之间的相互作用力，如粘性力和压力梯 度等，以及流体内部的动量传递和能量传递过程。
边界层方程的求解方法
边界层方程是一个复杂的偏微分方程，求解难度较大。常用的求解方法包括分离变量法、积分变换法、有限差分法和有限元 法等。
分离变量法是将多维问题简化为多个一维问题，通过求解一维问题得到原问题的解。积分变换法是通过积分变换将偏微分方 程转化为常微分方程，从而简化求解过程。有限差分法和有限元法则是将偏微分方程离散化，通过求解离散化的方程组得到 原问题的近似解。
边界层内的流动可以从层流转变为湍流，或从湍 流转为层流。
边界层内的流动状态
层流边界层
流速在物体表面附近呈现平滑变化的流动状态。
湍流边界层
流速在物体表面附近呈现不规则变化的流动状态。
混合流动状态
边界层内的流动状态可以是层流和湍流的混合状态。
03
边界层方程与求解方法
边界层方程的推导
边界层方程是流体力学中的重要方程，用于描述流体在固体表面附近的流动行为 。其推导基于Navier-Stokes方程，通过引入边界层假设，即认为在靠近固体表 面的薄层内，流体的速度梯度变化剧烈，而远离固体表面的流体则可以视为均匀 流动。
展望
随着科技的不断进步和研究的深入，边界层理论在未来 有望取得以下突破。首先，随着计算能力的提升，更加 精确和可靠的数值模拟方法将得到发展，这有助于更好 地理解和预测复杂流动现象。其次，随着实验技术的进 步，将能够获得更高精度的实验数据，为理论模型的发 展提供有力支持。最后，随着多学科交叉研究的深入， 将能够从不同角度全面揭示流体流动的内在机制，推动 流体力学理论的进一步发展。
定常与非定常流动
定常流动流体（气体、液体）流动时，若流体中任何一点的压力，速度和密度等物理量都不随时间变化，则这种流动就称为定常流动；反之，只要压力，速度和密度中任意一个物理量随时间而变化，液体就是作非定常流动或者说液体作时变流动。
所以，定常流动时，管中流体每单位时间流过的体积(体积流量)qV为常量，流体每单位体积的质量(密度)ρ也是常量。
非定常流动流体的流动状态随时间改变的流动。
若流动状态不随时间而变化，则为定常流动。
流体通常的流动几乎都是非定常的。
分类按流动随时间变化的速率，非定常流动可分为三类：①流场变化速率极慢的流动：流场中任意一点的平均速度随时间逐渐增加或减小，在这种情况下可以忽略加速度效应，这种流动又称为准定常流动。
水库的排灌过程就属于准定常流动。
可认为准定常流动在每一瞬间都服从定常流动的方程，时间效应只是以参量形式表现出来。
②流场变化速率很快的流动：在这种情况下须考虑加速度效应。
活塞式水泵或真空泵所造成的流动，飞行器和船舶操纵问题中所考虑的流动都属这一类。
这类流动和定常流动有本质上的差别。
例如，用伯努利方程（见伯努利定理）描述这类流动，就须增加一个与加速度有关的项，成为：,式中为理想流体沿流线的速度分布；A和B表示同一流线上的两个点;P 为压强;为密度；g为重力加速度；z为重力方向上的坐标；ds为流线上的长度元。
③流场变化速率极快的流动：在这种情况下流体的弹性力显得十分重要，例如瞬间关闭水管的阀门。
阀门突然关闭时，整个流场中流体不可能立即完全静止下来，速度和压强的变化以压力波（或激波）的形式从阀门向上游传播，产生很大的振动和声响，即所谓水击现象。
这种现象不仅发生在水流中，也发生在其他任何流体中。
在空气中的核爆炸也会发生类似现象。
除上述三类流动外，某些状态反复出现的流动也被认为是一种非定常流动。
边界层气象学课件：CH05_中性大气边界层
0
设湍流场水平均匀，采用K理论闭合，且Km为常数，则：
1
p x
f
v KM
2u z2
0
1
p y
f
u
KM
2v z2
0
上式反映了Ekman层中气压梯度力、科氏力和湍流摩擦力的平 衡关系。设气压场不随高度变化（正压大气），且令x轴沿等压 线方向，利用地转风关系，有
1
p y
f
ug
0
1
p x
f
vg
0
d2 V d z2
if KM
(V
ug )
当z →∞，V = ug 当z = 0，V= 0
V Ae(1i)z / B e(1i)z / ug
2KM / f
Ekman标高，边界层高度特征量
由边界条件可知：B=0, A=-ug, 则方程的解为：
V ug ug e(1i)z /
u ug[1 ez / cos(z / )]
四、旋转减弱效应
边界层摩擦引起垂直运动的直接影响是旋转减弱现象，这是边界层 与自由大气相互作用的一个直接体现，以地转风涡度为例：
H 对流层 h 边界层
相行
对星 涡涡
辐合辐散项
d
度
(
度
f)(
f
)(u
v )
dt
x y
w x
v z
w y
u z
x
p y
y
p x
倾斜项或扭转项
斜压项或力管项
d ( f )( u v ) 若只计辐合辐散
1000~ 2000
气压梯度力和科氏 力平衡
气压梯度力、科氏力和雷 诺应力数量级相当
自由大气 上部摩擦层
L01-边界层气象学
2、大气边界层在大气中的重要作用
（1）水汽通量 （2）感热通量 （3）摩擦消耗 （动量、动能汇区） 气象要素的输送 + 大气污染物的输送
21
Nanjing University Of Information Science & Technology
3、研究边界层的意义（重要性）
大气边界层研究与天气、气候、生态环境以及人类的生命和工程活动
17
Nanjing University Of Information Science & Technology
下垫面的作用: 表面加热和冷却的日循环引起热力稳定度的日变 化，从而影响湍流混合和动量交换过程，进而边界层中风的分布。
不稳定边界层结构及其流场 图象。（Wyngaard, 1990)
稳定边界层结构及其流场图象。 （Wyngaard, 1990)
6
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重点介绍大气边界层最基本的内容，包括大气边界层的特征，描述 大气边界层的主要数学物理工具，大气湍流理论，大气边界层的半 经验相似理论、数值模拟等。
参考书目： •杨长新译 Rolad B. Stull《边界层气象导论》 气象出版社1991 • Stull, R.B. 1988： An introduction to boundary layer meteorology Kluwer Academic Publishers • Garratt, J. R. 1992： The atmospheric boundary layer Cambridge University Press 赵 鸣等 《边界层气象学教程》 气象出版社 1991 蒋维楣等 《边界层气象学基础》 南京大学出版社 1994 赵 鸣 《大气边界层动力学》 气象出版社 2004
流体力学-第六讲,边界层理论
件下流场可以看作由两部分组成 ：边界层区和理想流
体区域。
（1）边界层内流动：
按实际流体处理，计粘性力。
处 分作 界为 ：两 一个 般区 把间 速的 度分 等界 于面 0.9。9u（ 来流速度）
（2）边界层外流动（主流区）：
按理想流体处理，不计粘性力。
粘性流体运动服从N-S方程，由于方程的非线性 和边界条件的复杂性，到目前为止还不能用解析方法 求解，给出边界层的定义后，我们可以把流场分为两 部分：一部分为附面层（边界层），属于粘性流，其 中，由于附面层尺寸小，与物体几何尺寸比起来属于 微量，于是N-S方程可以简化。另一部分为主流区， 速度梯度很小，粘性力可以不计，按理想流体来处理。 这种方法是Prandtl提出来的，为流体力学的发展提 供了重要条件。
L u
L2 2
Lu
1 02
即得
Re ～( 1 ) 02
（4）由能量方程 p u x 2 c ，得 2
p x
～u x
u x x
p y
～u
x
u x y
即
p0 x 0
～u
0 x
u
0 x
x 0
p0 y0
～u
0 x
u
0 x
y0
同理可得：
p0 x 0
～(1)，
p0 y0
～(
1 0
)
将上面分析得出的各项量级附写在下式的下面，得
析计算，为此，由三种较严格的规定附面层厚度的方法。
1、 边界层的排挤厚度（流量损失厚度）1 2、 边界层动量损失厚度2 3、 边界层动损失厚度2
A、边界层的排挤厚度（流量损失厚度）
在边界中，由于存在粘性必将引起速度的下降，于是在边界层 中通过的流量必将减小，因而势必有一部分流量被排挤到主流区 (即理想流区)中去，如图所示。
边界层气象学课件：CH07_稳定边界层
Stull
（1）稳定边界层的共同特征是有逆温层，此时浮力的 作用不但不能给湍流补充动能，相反，湍流微团在垂直 运动中因反抗重力作功而损失动能，所以湍流能量很弱。 但因为还有切应力的作用，所以湍流不会完全消失，而 是在弱的水平上维持，在大气边界层中仍是一个不可忽 略的因子。这种情况下，湍流热交换过程并不占优势， 而其它的热交换过程例如辐射、平流、气层的抬升及地 形等的影响与湍流热交换过程的影响相当。
(0.03)(6)(3600)/27.21/2
4.88K 位温强度
完全混合模式时边界层高度：
h HΔθ 132 .8m
线性模式时边界层高度：
h 2HΔθ
指数模式时边界层高度：
2 132.8
h HΔθ ln 0.05 3HΔθ 398.4m
265.6m
讨论：积分厚度尺度相同，但不 同稳定边界层位温廓线模式将给 出不同的边界层高度。
e t
g
v
w'v ' u' w'
u z
w' e z
1
w' p' z
（2）理论分析和实验事实均表明，当浮力引起的湍流动能损失 达到切应力产生动能的1/5左右，湍流便会因连续不断地耗散而 衰竭，这相当于通量理查孙数Rf = 0.2。此时湍流结构在空间和时 间上出现不连续，形成所谓的间歇性湍流或波与间歇性湍流共存。
三、低空急流
低空急流是指在低空数百米至一公里高度上出现的风速 特大区域，其最大风速值会超过10 ~ 20 m/s以上，并在 最大风速上、下保持较强的风速切变。大多在夜间形成， 也叫夜间急流。形成急流的原因很多，常见的有下列几 种情况： 1、稳定边界层的惯性振荡； 2、与天气尺度及地形有关的斜压性； 3、锋面； 4、过山气流； 5、平流加速；6、山谷风；7、海陆风；
边界层问题
1、 压力、粘滞切应力、湍流应力有何区别？为什么说雷诺应力是流动性质，而不是流体性质？雷诺应力 应力：使物体发生形变的力。
粘滞切应力压力：一种可以作用在静止流体上的应力。
雷诺应力：参考问题8，只有气体处于湍流运动时才具有雷诺应力。
粘滞切应力：只要流体存在切变运动时就存在粘滞切应力。
运动可以边界层气象学导论 P672、 温度、位温、虚位温（1）. 已知在90kPa 处测得的温度为25o C ，混合比为20g/kg ，求虚位温。
（2）. 为什么定义了温度，还要定义位温？为什么定义了位温，还要定义虚位温？ 边界层导论P73、 Boussinesq 近似边界层气象基础 p264、 准静力平衡边界层气象基础 p275、 大气边界层大气边界层位于对流层的最底部，由于直接与地面相贴而强烈受到分子粘性、湍流摩擦、辐射增热、水汽交换、物质扩散各种交换作用和地形的影响，致使湍流应力成为重要因子而不可忽略，与之相联系形成ABL 。
也就是说，地面是大气的一个边界层，这个边界上的输送过程支配和影响了大气最底层几百米-3公里，它响应地面的作用而且时间尺度为一个小时甚至更短。
6、 边界层中的风与气流第一章Ppt 第12页；边界层气象学导论P37、 湍流通量通量：单位面积，单位时间某个量的输送。
流体运动能输送物理量，产生通量：湍流动量通量：对上述两个标量的通量传输可以分解为x ，y 和z 三个方向。
风速矢量有三个分量（u 、v 和w ），因此对于动量通量则具有9个分量，即任一方向的气流运动可以带动传输u ，v 和w 方向的动量输送，因而具有二阶张量性质。
湍流热通量：风速分量乘以热量，表示通过这个方向的单位面积 所传输的热量和水汽量。
湍流水汽通量：风速分量乘以水汽含量,表示通过这个方向的单位面积所传输水汽量。
) '' , '' , ''(w v u θθθ w' v'w' '''' v' u'v'w'u' v'u' u' 222⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡u w w v8、 雷诺应力只有当气体处于湍流运动时才有雷诺应力，湍流能够把不同风速的空气混合进入我们所考虑的立方体。
布拉修斯解
平板层流边界层的布拉修斯解（1）在边界层理论中已经得到了边界层方程如下u∂u∂x+v∂u∂y=−1ρd Pd x+μρ(∂2u∂y2)在推导这个方程时，假设了流动是定常的，因此它只适合于层流。
由于其仍然是非线性的，得不到一般解。
对于顺流向放置的平板层流边界层，沿流向压力梯度为零，普朗特的学生布拉修斯（Heinrich Blasius，1883—1970）在1908 年得到了准解析解。
方程（1）中，需要求解的变量有两个，u和v，如果能转化为一个变量就容易求解了。
对于平板层流边界层来说，其流速分布如图1所示，即u和v都同时与x和y有关。
但仔细观察，如果使用无量纲尺度和速度来表示，用u/U代替u，y/δ代替y，则可以把沿流向的速度型都归一化，有可能用一条无量纲曲线来表示所有位置的边界层速度型。
平板层流边界层就满足这个条件。
也就是说，对于平板层流边界层，速度型经过无量纲化后是相似的。
从而，原来的问题转化为单变量的方程，自变量为y/δ，参变量为u/U。
图1 平板边界层方程的速度分布上面分析中的δ是未知量，用作参考量不太方便，需要寻找另外的替代量。
在边界层理论中，量纲分析时我们曾得到了下式δL ∼1√Re这个式子变一下形，可以得到δ∼√μL ρU用x替代L，就可以得到任意流向位置的边界层厚度估算式δ∼√μx ρU定义如下无量纲坐标和速度~u=uU ,η=√μLρU把原方程的自变量x和y替换为η，而把u和v替换为，就可以得到单变量的方程，从而把原方程转化为求解如下的关系式~u~u=φ(η)方程转换的过程较为复杂，感兴趣的读者建议去看相应的教科书（一般的<黏性流体力学>书上有），得到的方程为φ′′(η)+12[∫φ(η)dη]φ′(η)（1）壁面处：无穷远处：为了处理上式中的积分项，令f (η)=∫φ(η)d η即φ(η)=f ′(η)得到f ′′′(η)+f (η)f ′′(η)=0上式称为布拉修斯方程，边界条件为η=0,f ′=0η=∞,f ′=1布拉修斯方程仍然是非线性的，得不到严格的解析解，布拉修斯用级数展开得到了准解析解，结果如下：f =∞∑n =0(−12)n 0.332n +1C n (3n +2)!η(3n +2),C 0=1,C 1=1,C 2=11,C 3=375,现在我们可以用数值方法（比如四阶龙格库塔法）方便地得到方程（1）的数值解。
边界层理论
层流和湍流普朗特边界层理论图1 机翼附近的流动以及受黏性影响的区域的大小当欧拉方程建立的时候，人们并没有充分认识到流体黏性的重要性，而认为欧拉方程是足够精确的。
然而有人却发现，从欧拉方程出发，可以推导出任意三维物体与流体之间的作用力为零的结论，这显然是与实际不相符的。
这个问题是达郎贝尔首先提出来的，通常称为达郎贝尔悖论。
直到1904年，普朗特 提出了边界层的概念并建立了相关理论，才从根本上解释了达郎贝尔悖论产生的原因，并使流体力学真正成为了一门有用的学科。
因此，边界层理论被认为是近代流体力学发展最重要的里程碑。
[人物] 这里所说的边界层，是指固体壁面附近很薄的一层区域，也称为附面层。
在这个区域内，受壁面的无滑移条件和外流的速度条件控制，流体产生了较强的法向速度梯度，黏性力不可忽略。
而在此薄层之外的流场中，因速度梯度较小，黏性力通常可以忽略。
图1表示了空气流过一个流线型物体时在壁面附近显著受黏性影响的区域以及这个区域内的速度分布。
普朗特边界层方程（1）（2）普朗特根据一般流动中黏性只影响近壁很小一个区域的特点提出了边界层的概念，认为黏性只影响近壁区域，在此之外的区域（一般称为主流区或外流区）黏性力完全可以忽略不计。
由边界层很薄的特性又可以对N-S方程进行简化，得到精确度满足工程需要的边界层方程。
这样，一般的问题就由无法求解的N-S方程转化成了可以求解的边界层方程和势流方程，这就是普朗特边界层理论的重大意义所在。
对于具体的流动，虽然由于壁面剪切力的阻碍使得靠近壁面处的流体沿流向的速度变得越来越低，导致一部分流体被向外排挤，不再平行于壁面流动。
但是由于边界层的厚度本来就很小，其沿流动方向的增长量也就很小，这种排挤作用基本可以忽略，认为边界层内部的流体都是平行壁面流动，而不存在沿壁面法向的速度。
因此，N-S方程可以简化成边界层方程的决定性条件就是边界层必须足够薄，或表示为δ≪L式中：δ为边界层厚度；L 为为沿流向的长度。
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2 T2 T2 2 土壤热传导方程： t 2
z向上坐标， 向下坐标 2是土壤热传导系数：
s s cs
2
ρs土壤密度、 cs土壤比热 λs土壤的热传导系数
边界条件
地表处(z = 0, = 0)能量平衡：
不同高度上都呈现日温度 波，气温呈日周期变化
振幅随高度减小，相位随 高度增加而落后，在靠近 地面气层变化更快
夜间出现逆温
图6.1.1 不同高度上温度日变化 （夏季中纬度草地）
温度波振幅随高度衰减和 相位落后存在季节差异 （p259，表5.1.1）
温度日变化的解析理论
假设湍流交换系数K为高度(及时间)的已知 函数，给出地面处的边界条件，求解空气中 的湍流热输送方程和土壤中的热传导方程。
第二节
风的日变化
高度变化：较低高度，白天 变大，夜晚变小，较高处反 之；存在一转换高度；风向 有相应变化； 时间变化：顺时针旋转， 24h 风矢端迹呈封闭椭圆， 椭圆长轴接近相应高度处平 均风向。风向与地转风夹角 在低层白天小，夜间大，高 层则反之。风速日变化幅度 1~3m/s，边界层中部最大。
图6.2.1 不同高处风的日变化
温度的日变化
• 考查p258, 图5.1.1, 表5.1.1 • 温度日变化的影响因素
地表能量收支示意图
太阳辐射日变化(根本原因)、 湍流感热输送、下垫面水分 蒸发、土壤性质、大气对辐 射的吸收(次要)
• 温度波：太阳辐射产生的地表温度日变化在 空气重通过湍流交换向上输送、在土壤中通 过分子传导向下传递。
K K 0 chs 1 D cos t , z hs
ift z , t e u iv ug ，解得： 引入风矢量复函数
n z C1n J 0
2 2 i f n K0 cz C2 n N0 i f n K0 cz , z hs c c
n z C3n e
1 i f n z 2 K 0 chs
,
z hs
进一步，由边界条件及φ和 / z 的连续性，确 定常数C1n、C2n和C3n。
风速变化趋势，最 大最小时间及振幅， 大致符合观测特征
图5.2.2 不同高度风速日变化
风矢端迹呈椭圆， 一昼夜内顺时针转 向，风向与地转风 夹角，符合观测结 果 但椭圆长轴方向偏 离观测。
图中横轴为2135m高处地转风向 曲线上数字表示一天中的时间
风的日变化由湍流应力的日变化引起
白天，湍流混合强，动量更快地向下传递， 上下层风趋于均匀，即低层风速增大上层风 速减小，风向差异变小；夜间，则相反 较高处，白天在边界层内，夜间在边界层以 上，故白天风向与地转风夹角大于夜间
湍流混合越强，转换高度越高。
T1 T2 2 K cp s cs R R1 cos t z
地表处温度连续：T1 | z 0 T2 | 0 离地表很远处日变化消失，温度为常数：
T1 | z T ,
T2 | T
假设K为常数时的解
Tp t , z R1e
温度日变化为一温度波，在空气和土壤中的相速度 分别是 m 2 和 2 ，波速分别与m和成正比。 但K取常数，结果只能作定性描述，不够精确。
更完整的考虑是，K 随时间和高度变化，下 垫面取热平衡条件，求解热传导方程。这样 更符合实际物理过程，但为了在数值上符合 观测结果且处理方便，需要人为地选择一些 参数的值。 这些研究基本都在靠近地面的范围讨论温度 日变化，主要关注温度波的变幅和位相的高 度变化，没有考虑平均温度随高度的分布。
图5.2.3 不同高度的风矢端迹
假设K为已知函数求解边界层运动方程的风 日变化理论不能完全说明观测现象。
K假设函数本身精确性
大气受多种因素影响，运动方程描述能力有限
观测资料具体情形又有差异
解析理论能较好解释K的日变化造成风日变 化的机制，K的变化由温度场日变化引起。
主讲人 张镭 教授
2015. 12.
第六章 边界层气象学中的非定常问题
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 温度的日变化 风的日变化 夜间大气边界层一般特征 夜间边界层的高度变化及廓线规律 低空急流 不稳定边界层的发展 混合层高度的变化 大气边界层的数值模拟和预报
第一节
周期条件
u z, t u z, t 2 / v z, t v z, t 2 /
M (1963)取K对高度为折断模式，对时间 为周期变化， K K0 cz 1 D cos t , z hs
z
2m
z sin t 2 m 4 m c p s cs
Ts t ,
R1eபைடு நூலகம்
2
sin t 2 4 m c p s cs
cp 若下垫面潮湿， 变为 dqm c p L r0 dT
风日变化的解析理论
假设K为高度和时间的已知函数，给出边界条 件，求解边界层大气运动方程(不计平流)；
u u K z , t fv t z z v v K z , t f ug u t z z
边界条件
u z0 , t v z , t 0 u , t ug , v , t 0