动力气象学 第三章 尺度分析与基本方程组简化

“零级近似”的特点： 1 p x fv 0 ①水平方向上：
矢量形式：

1
水平气压梯度力＋水平科氏力＝0 ——地转平衡 这表明“大尺度” 运动中水平气压梯 度力与科氏力基本 相平衡的，运动是 准地转的。

h p fk V 0
1 p fu 0 y
空气分子的粘性系数 : 10 m s
5
2 1
~ 4 1 f ~ f ~ 10 s 2 1 5 S f 2 sin 2 7.292 10 2 对中高纬地区 2 S 1 3600 24
三、运动方程的尺度分析
u u u u 1 p ~ u v w fw fv 2 u t x y z x
w T
VW L
W2 H
1 zP 来自百度文库H
G
f 0V

W H2
10-7
10-7
10-8
101 101 10-3 10-15
－－ms-2
讨论： ⑴ 分子粘性力可以忽略 不考虑分子粘性和湍流粘性—“自由大气”
对短期天气过程来说，分子粘性很小，即 日常天气过程可以不计； 对气候学来说，分子粘性累积起来就很大 了，所以不能忽略！
这说明大尺度运动中温度的局地变化 主要是由温度平流和垂直运动决定的。 一级简化方程与原方程组最大的差异 在于垂直运动方程采用了静力平衡关系， 这样简化了数学处理，它能滤去声波。
热力学变量（p, T , ,）尺度： (有点麻烦！） 层结大气的观测事实， 表明（以气压举例，其 它类似） p p p , , 且 h P P z x y 为了处理和分析的方便 ，将其分解为 p p z p( x, y, z , t ),且认为p RT , 此时 h P h P z P P （后面记号P h P z P） 气压扰动的时空尺度取 为与其它运动学变量相 同（合理） 因为各种范围的运动几 乎发生在同样地层结大 气中， 有必要引入单独的层结 大气（p )铅直厚度特征值 p g z
V T
V2 L
VW H
1 hP L
f 0W f 0V
V 2 H
10-4
10-4
10-5
10-3 10-6 10-3 10-12
V V V V ~ 2 2 2~ 2 H L L H
－－ms-2
2 2 2 u u u 2 u 2 2 2 其中： x y z
v v v v 1 p 2 u v w fu v t x y z y
V T
V2 L
VW H
1 hP 0 L
f 0V

V H2
10-4
10-4
10-5
10-3
10-3 10-12
－－ms-2
~ w w w w 1 p u v w g fu 2 w t x y z z
*
*
*
则：
u V u * t T t *
V u u 是 的特征量， * 是其无量纲量。 T t t
二、“尺度分析”概念
依据表征某类运动系统各场变量的 特征值，来估计大气运动方程中各项量 级大小的一种方法。根据尺度分析的结 果，结合物理上的考虑，略去小项，保 留大项，以得到突出某类运动特征的简 化方程。
此外，热力学方程此时常采用绝热形式：
dT 1 dp Cp 0 dt dt
由尺度分析可以证明，气压的全导数几乎由垂直运
动决定。对于中纬度大尺度运动
1 dp 1 p u p v p w p dt t x y z
尺度分析得：
1 p u p v p U h P ~ ~ ~ ~ 10 2 s 1 t x y L w p w z P ~ ~ 101 s 1 z H
略去小项有：
dp p w gw dt z
静力平衡关系
上式改写为：
T T T T g u v w w0 t x y z C p
T T T u v d w 0 t x y
由此得到热力学一级简化方程：
其中，
g C p d , T z
由此可见，中高纬度大尺度大气运动 的主要特征是：准地转平衡、准静力平衡、 准水平无辐散、准水平、准定常。
五、一级简化方程
u u 1 p u u v fv t x y x v v 1 p v u v fu t x y y 1 p z g 0 0 u u w x y z 0 u v w 0或C p dT 1 dp 0其中p RT x y z dt dt t R p p00 C p p R
具体来说，大气中存在各种不同尺度 的运动，虽然它们都用同一个基本方程组 来描述，但由于运动的尺度不同，使其运 动性质不一样。 当我们研究某一特定尺度运动时，只 有抓住决定该尺度运动的主要因子，忽略 那些次要因子，才能把握该运动的基本特 性。
途径：尺度分析
一般，采用尺度分析方法。它是一种 对物理方程进行分析和简化的有效方法。 这一方法是恰尼（1948年）首先倡导 的。以后经伯格（Burger,1958年）、 菲利普斯（1963）等人进一步发展完善， 现在大气动力学和数值天气预报的研究中 得到广泛的应用。
高层：层流，分子、湍 流粘性力可略－自由大 气； 低层：湍流粘性力重要 ，分子粘性力可略－湍 流边界层
⑵ 取“零级近似”， 即只保留量级最大项，得到的简化方程为：
1 1 1 p fv 0 x p fu 0 y p g 0 z
热力学基本状态的铅直 厚度尺度（H )认为 p 是p随高度的变化为 时的厚度。 e H也称为大气的标高 . RT * 4 H ~ 10 m（怎么来的？） g 其中T *视为等温大气的温度， 也视为T 的尺度
例如，在天气图上常见的天气系统中（中低 层大气），水平风速大致在5到25m· s-1 之 间，故可取10m· s-1 作为它的尺度。 若水平速度尺度（特征值）记作V，实 际水平速度可以写为：u=Vu* v=Vv*， u*、v*为一无量纲量，其量值在0.5-2.5之 间。
将任一物理量写作： q
Qq
本章的主要内容： 1、尺度概念和大气运动的尺度分类 2、尺度分析方法 3、运动方程的尺度分析 4、基本方程组的简化与运动的基本性质 5、无量纲方程与无量纲参数
一、尺度的概念
由实际观测资料可知，任一物理量都 有一定的变动范围，我们可以用各物理量 场具有代表意义的量值来表示它的基本特 征。 各物理量具有代表意义的量值称为该 物理量的特征值。这一特征值就是尺度。 一般是用它的数量级来表征它的大小。
106 105 104
D(m)
104 104 103 ~ 104
U(m/s)
10
τ (s)
105 105 104
10 10
待定尺度
W , P , ...
基本方程组的尺度分析
在中高纬度大尺度大气运动中，各 物理量的特征量为：
基本尺度： V ~ 101 ms 1 ;W ~ 10 2 ms 1 ; L ~ 10 6 m; H ~ 10 4 m； ~ 10 5 s
第三章 尺度分析与基本方程组的简化
（SCALE ANALYSIS OF THE BASIC EQUATIONS ）
为什么要简化基本方程组？
原因：描述大气运动的基本方程组非常复杂
数学上：方程组是高度非线性的，求解上异常困难
物理上：影响大气运动的因子很多，重点不突出 因此：需要简化 数学上：略去方程中相对较小的项，保留大项，使方程简单，容易求解 物理上：略去次要因子，突出最主要因子的作用，即把握现象本质； 最终结果： 使简化的方程反映的物理规律更加清晰，求解起来更加方便。
(Geostrophic balance)
地转平衡关系的重要性：
The geostrophic balance is a diagnostic expression that gives the approximate relationship between the pressure field and horizontal velocity in large-scale extratropical systems. 揭示了风场与气压场之间最简单，最 基本的联系。大尺度运动处于准地转平衡 状态，这是大尺度运动一个重要性质。
一级简化方程组可称为“非平衡简化 方程组”。在这一方程组中，运动方程是 不含有W项。由于垂直运动对于大气变化 有重要影响，虽在运动方程中一般对流项 比其它项要小，但作为预报方程，一般还 应保留对流项。一级简化方程组中的连续 方程不含时间导数项，这表明密度场基本 上是定常的，可作为预报方程有时也保留 时间导数项。
上式表示：在垂直方向上气压梯度力与重力基本平衡， 在大尺度运动中，任何一点的气压相当精确地等于该点 以上单位截面积的重量。
注意：这不意味没有垂直运动，只是近似平衡。
静力平衡关系的重要性：
给出了瞬时气压场、密度场、温度场 之间的关系。
大尺度运动经常处于准静力平衡状态， 这是大尺度运动又一重要性质。
注意：
运动方程的零级近似式中不含有气象 要素的时间导数项，称其为诊断方程。不 能对速度场作确定，因此不能作为预报方 程。
四、连续方程的零级简化形式：
u v 0 －－水平无辐散 x y
连续方程的零级简化说明大尺度运动是准水 平无幅散的。
小结：
1 p fv 0 “零级近似”得到的平衡方程： x 1 p y fu 0 •这组方程中不含有时间偏导数项， 1 p g 0 所以称之为“平衡简化方程组”。 z •这组方程中不含有热力学方程 u v 0 x y
*
其中： Q－－特征量， 表示该物理量的一般大小； 常量；有量纲 * q －－无量纲量， 量级在 100左右，表示物理量的具体 大小；是变量；没有量纲
这里的q是广义的，不仅包括气 象要素，还包括方程各项。 比较物理量的大小，可以比较特 征量Q的大小（即“尺度”）。 如：已知：
u Vu , t Tt
物理量变化尺度： hV zV V ; hW zW W ; 同时认为：任意物理量 F的时间变化尺度与 其水平变化尺度相同 , 即： t F h F
气压和密度的变化： h P ~ 10 3 Pa， z P ~ P ~ 10 5 Pa
h ~ 10 2 kg / m3 , z ~ ~ 10 0 kg / m3
“尺度分析”的步骤：




明确要分析的运动系统， 即（大、中、小）尺度 运动； 了解该尺度运动中各基本物理量的特征量的量级大 小； 将q=Qq*代入方程，写出方程中各项的特征量； 计算各项特征量的量级； 比较大小，保留大项，略去小项。
基本方程组的尺度分析
大、中、小尺度运动的基本尺度 运动 大尺度 中尺度 小尺度 L(m)
地转平衡运动的特征： 动力学特征： 水平压力梯度力与科氏力相平衡 运动学特征： 风沿等压线吹；背风而立，高压在右， 低压在左（南半球相反）。
1 地转风的表达式： V g k h P f
南半球：
0, f 0
在南半球：高压——反气旋——逆时针
② 垂直方向上：
1 p g 0 －－静力平衡 z Hydrostatic equilibrium