北师大版九年级数学下《第二章二次函数》单元测试题含答案

第二章 二次函数

一、选择题(本大题共7小题，共28分)

1．已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该抛物线有( ) A ．最小值－3 B ．最大值－3 C ．最小值2 D ．最大值2

2．已知二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的x 与y 的部分对应值如下表：

则该二次函数图象的对称轴为( ) A ．y 轴 B ．直线x ＝52

C ．直线x ＝2

D ．直线x ＝3

2

3．若二次函数y ＝(m －1)x 2

－mx －m 2

＋1的图象过原点，则m 的值为( ) A ．±1 B ．0 C ．1 D ．－1

图8－Z －1

4．一次函数y ＝ax ＋b 和反比例函数y ＝c

x

在同一平面直角坐标系中的图象如图8－Z －1所示，则二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象大致为( )

8－Z －2

5．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x ，该药品原价

为18元，降价后的价格为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为( )

A ．y ＝36(1－x )

B ．y ＝36(1＋x )

C ．y ＝18(1－x )2

D ．y ＝18(1＋x 2

)

图8－Z －3

6．如图8－Z －3是二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点(－3，0)，对称

轴为直线x ＝－1，给出四个结论：①b 2

＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c >0；④若点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 1，

C ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1

2

，y 2为函数图象上的两点，则y 1＜y 2.其中正确的是( )

A ．②④

B ．①④

C ．①③

D ．②③

图8－Z －4

7．如图8－Z －4，Rt △OAB 的顶点A (－2，4)在抛物线y ＝ax 2

上，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为( )

A ．(2，2)

B ．(2，2)

C ．(2，2)

D ．(2，2)

二、填空题(本大题共5小题，共25分)

8．函数y ＝(x －2)(3－x )取得最大值时，x ＝________．

9．将抛物线y ＝2(x －1)2

＋2向左平移3个单位，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为____________．

10．如图8－Z －5，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为8 m ，以隧道底部宽AB

所在直线为x 轴，以AB 垂直平分线为y 轴建立如图2－Z －7所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为y ＝－12

x 2

＋b ，则隧道底部宽AB 为________m.

8－Z －5

8－Z －6

11．如图8－Z －6所示，已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，顶点C 的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y ＝a 1x 2

＋b 1x ＋c 1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)

①b >0；②a －b ＋c <0；③阴影部分的面积为4；④若c ＝－1，则b 2＝4a .

12．二次函数y ＝x 2

－2x －3的图象如图8－Z －7所示，若线段AB 在x 轴上，且AB 为2 3个单位长度，以AB 为边作等边三角形ABC ，使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上，则点

C 的坐标为________________．

图8－Z －7

三、解答题(共47分)

13．(14分)如图8－Z －8，已知矩形ABCD 的周长为12，E ，F ，G ，H 为矩形ABCD 的各边中点，若AB ＝x ，四边形EFGH 的面积为y .

(1)请直接写出y 与x 之间的函数关系式；

(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．

图8－Z －8

14．(16分)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元，每月要少卖10件；售价每下降1元，每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为(60＋x)元/件(x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降)，每月饰品销量为y件，月利润为w 元．

(1)直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；

(3)为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？

15．(17分)如图8－Z－9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，P是直线BC下方抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的表达式．

(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)动点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积．

图8－Z－9

详解详析

1．B [解析] 因为抛物线开口向下，其顶点坐标为(2，－3)，所以该抛物线有最大值－3.故选B.

2．D [解析] 观察表格可知，点(0，1)与点(3，1)、点(1，－1)与点(2，－1)的纵坐标分别相等，所以可知它们分别关于图象的对称轴对称，进而可求得对称轴为直线x ＝

0＋3

2(或1＋22)＝32

.故选D.

3．D 4.C 5.C

6．B [解析] ①由抛物线与x 轴有两个交点，得b 2

－4ac ＞0，所以①正确；②因为对称轴为直线x ＝－1，则－b

2a ＝－1，即2a －b ＝0，所以②错误；③因为抛物线经过点A (－3，

0)，对称轴为直线x ＝－1，则抛物线与x 轴的另一个交点为(1，0)，于是有a ＋b ＋c ＝0，

所以③错误；④点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 1在对称轴左侧1.5个单位长度处，点C ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，y 2在对称轴右侧0.5个单位长度处，找出相应的点，显然y 1＜y 2，所以④正确．故选B.

7．C 8.5

2

9．y ＝2(x ＋2)2

－2(或y ＝2x 2

＋8x ＋6)

10．8 [解析] 由题意可知抛物线y ＝－12x 2

＋b 的顶点坐标为(0，8)，

∴b ＝8，∴抛物线的函数表达式为y ＝－12x 2

＋8.

当y ＝0时，0＝－12x 2

＋8，解得x ＝4或－4，

∴水面宽AB ＝4＋4＝8(m)．故答案为8. 11．③④ [解析] 由题图知，抛物线开口向上， ∴a >0.又对称轴在y 轴的右侧， ∴x ＝－b

2a

>0，

∴b <0，①错误．当x ＝－1时，抛物线在x 轴上方，

∴y ＝a －b ＋c >0，②错误．设平移后的抛物线顶点为E ，与x 轴右边的交点为D ，则阴