解决数学问题的思维策略

解决数学问题的思维策略

通州区川港中学袁伟国

解决数学问题的思想方法是对数学的知识内容和所使用方法本质的认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼出来的一些观点，在后续研究和实践中被反复证实其正确性之后，就带有了一般意义和相对稳定的特征。数学思想方法是对数学规律的理性认识，学生通过数学学习，形成一定的数学思想方法，应该是数学课程的一个重要目的，随着关于数学思想方法研究的不断深入，在《课程标准》中也得到进一步渗透，数学思想方法是解决问题思维策略的重要依据。

在数学教学中有这样一个问题：某商店准备购进一批粮食，购入小豆（3.20元/斤）120斤;玉米(2.10元/斤)165斤;黄豆(3.40元/斤)124斤;花生(3.80元/斤)117斤;小米(3.30元/斤)130斤,问共需多少钱?

学生甲张口道:“我估计大约得花1千多块钱吧。”

老师说：“这也太不准确了，1千多多少呀？”

学生甲说：“1千2，不，不，1千3，咳！采购员多拿点钱，要不带上一张支票，该多少给多少最省事。你不是问需要多少钱吗？多了再退嘛。”

学生乙想了想，说：“就一步一步算，把每种粮食的单价乘以斤数，分别求出每种粮食的总钱数，最后将五个总钱数一加就行了。”

学生丙则说：“就把各种粮食的牌价都列出表格来，采购的人只要一对价格表，每种粮食该给多少钱给多少钱就行了嘛。”

学生甲：“那还得了，那得列多大的一张表？我要是买好几百斤，

好几千斤，那表还不得一里地长？”

这时学生丁慢慢的说道：“我有一个好办法，丙同学说的表只列100斤以内的零头斤数的价格，免得算半天，然后列这样的式子，几种都上了100斤的部分提出来乘以各自的单价，得到总数，再加上从表上查出的几种粮食百斤以内的那部分价格的和。这样兴许算的快一点。”

此时教室里炸开了锅，有人支持学生甲，有人支持学生乙，有人支持学生丙……

其实这个问题的多种回答中就涉及了我们解决数学问题的几种思维策略。就是在解决问题时采取的具体的思维活动的方式方法，这个思维活动的实施，既要对问题进行复杂的分析、综合、判断、推理的思维加工，又要注重数学思想方法的研究。下面就谈谈几种常见的解决问题的思维策略：

1、尝试转换。即通过对解决问题条件的尝试或筛选，最后找到条件和结论之间的关系，将条件转换为要求的结论，从而解决问题。如学生甲在算粮价的时候，采取了“估摸”着试的方法，就是尝试转换。又如初中生学习形如2x+（p+q）x+pq型式子的因式分解时，老师要求学生“拆常数项，碰一次项系数”，这种分析的过程也就是尝试转换的过程。还有科学家做实验时，也常常是一遍一遍的“试”，把不合理的条件去掉，留下合理的，最后得出所需的正确结果。

２、答案提取。即对经常需要解决的一些比较死板的问题，根据条件和假设的结论或解决问题的程序编制成一定的“规程”或“表格”

输入头脑储存起来，在遇到同类或同样的问题时，随时提取该答案的有关内容，就可轻易地解决问题。学生丙的计算方法就是这样的一个策略。当然“表”并不一定非画出来不可，也可以事先算好后记在脑子里。如小学生背熟了“乘法九九表”，凡遇到问题中一位数相乘，就可脱口而说出答案。又如函数表示法中的列表法，表格列好以后，就能比较容易由点的坐标判断这个点是否在函数的图象上了。再如化学课中，同学们把各种物质相互反应的化学方程式都记在脑子里，用时只需从记忆库中准确的提取就行了。

３、规则加工。即通过积极的思维过程对问题条件和要求进行层层分析、综合，找到条件和要求的关系，再根据一定的规则进行推断，找到解决问题的关键，使问题迎刃而解。学生乙算粮款的方法就是通过分析粮食的单价和总价，每种粮食的总价与全部粮食的总价之间的关系，一步步分别算出各种粮食的价格，然后再综合为全部粮价。在计算中运用了加法和乘法的运算规则。又如，要证明“三角形的内角和等于180度”这个定理时，已知：如图（1）ΔABC，求证：∠BAC+∠ABC+∠BCA=0

180。

A

B C E

D

图（1）

解决这个问题，首先从问题的要求出发（即从求证出发），要证明三

角形三个内角的和等于0180没有现成的定理，就须借助于一个平角，这就是解决问题的关键。于是可从ΔABC 的任一条边延长便可构成平角来考虑，如延长BC 到E ，则∠BCE 就是一个平角， ∠BCA+∠ACE=0180。此时可以想到，要证明求证的结论，只要证明∠ACE=∠BAC+∠ABC 就行了，根据学过的平行线的性质定理，很容易想到过C 点作CD ∥BA ，得到∠ACD=∠BAC ，∠DCE=∠ABC ，由于∠BCA+∠ACD+∠DCE=0180。所以就得出了∠BAC+∠ABC+∠BCA=0180，于是问题解决了。

4、联合效应。即按照规则进行分析、综合、判断、推理的思维加工与利用记忆储存的答案提取结合起来去解决问题。学生丁算粮价的时候采用的便是这种策略，别看他说的噜嗦，真算起来，口算就可以得到答案，还是很便当的。这种思维策略有效地利用了思维和记忆的作用，可称之为最佳的思维策略。又如在计算299

，用完全平方公式处理为2(1001)

=2100—2╳100╳1+21，那么就很容易求出299的结

果了。 在解决问题的过程中，应采取哪一种策略，还须根据实际条件的特点来进行选择，不过，由于学生的思维策略的形成主要是由教学要求，学习方法训练和平时对于问题的习惯性解决方式内化的结果，所以，如果学生惯用背诵现成的答案以应付考试，那么势必就易形成答案提取的死板思维策略，增加记忆负担，减少了积极的思维活动，由此导致不会通过规则加工去分析问题，解决问题，一遇到灵活的，复杂的问题，当然只能尝试转换或束手无策。因此，在学习过程中学会科学的数学思想方法，在解决问题时，才能灵活的选择思维策略。