一次函数及方程不等式知识点

一、一次函数与一元一次方程的关系

直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b

kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k

-，b

k -

就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

二、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值X 围。

三、一次函数与二元一次方程（组）的关系

一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。

一、一次函数与一元一次方程综合

【例1】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，

，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0

【例2】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ）

A ．2-

B ．2

C ．1-

D ．0

例题精讲

知识点睛

一次函数与方程、不等式综合

【巩固】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______．

二、一次函数与一元一次不等式综合

【例3】 已知一次函数25y x =-+．

（1）画出它的图象；

（2）求出当3

2

x =时，y 的值；

（3）求出当3y =-时，x 的值；

（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y <

【例4】 当自变量x 满足什么条件时，函数23y x =-+的图象在：

（1）x 轴下方；

（2）y 轴左侧； （3）第一象限．

【巩固】当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：

（1）x 轴上方；

（2）y 轴左侧；

（3）第一象限．

【例5】 如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，

，则0y >时，x 的取值X 围是（ ） A.4x >- B ．0x > C.4x <- D ．0x <

【巩固】一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值X 围是（ ）

A ．0x >

B ．0x <

C ．2x >

D ．2x <

【例6】 已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：

（1）当2x =时，y 的值；

（2）x 为何值时，0y <？

（3）当21x -≤≤时，y 的值X 围；

【巩固】已知一次函数23y x =-+

（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化?

（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?

【例7】 一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>的解集是（ ）

A ．2x >-

B ．0x >

C ．2x <-

D ．0x <

【巩固】如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是________．

【例8】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式1

22

x kx b >+>-的解集为______．

【巩固】直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式

21k x k x b >+的解集为______．

三、一次函数与二元一次方程（组）综合

【例9】 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组

（ ） A.无解 B.有唯一解 C.有无数个解 D.以上都有可能

【例10】 已知直线3y x =-与22y x =+的交点为（-5，-8），则方程组30

220x y x y --=⎧⎨-+=⎩

的解是________．

【巩固】如图所示的是函数y kx b =+与y mx n =+的图象，求方程组kx b y

mx n y +=⎧⎨+=⎩

的解关于原点对称的点的

坐标是________．

【例11】 已知方程组y ax c y kx b -=⎧⎨-=⎩（a b c k ，，，为常数，0ak ≠）的解为2

3x y =-⎧⎨

=⎩

，则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为________．

【巩固】已知24x y =⎧⎨=⎩

，是方程组732

28x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，那么一次函数y =________和y =________的交点是

________．

【例12】 阅读：我们知道，在数轴上，1x =表示一个点，而在平面直角坐标系中，1x =表示一条直线；

我们还知道，以二元一次方程210x y -+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数

21y x =+的图象，它也是一条直线，如图①．

观察图①可以得出：直线1x =与直线21y x =+的交点P 的坐标(1，3)就是方程组1

210x x y =⎧⎨-+=⎩

的

解，所以这个方程组的解为1

3x y =⎧⎨=⎩

；

在直角坐标系中，1x ≤表示一个平面区域，即直线1x =以及它左侧的部分，如图②；

21y x ≤+也表示一个平面区域，即直线21y x =+以及它下方的部分，如图③．