数值分析-第六章
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数值分析
第六章
2.用雅可比迭代与高斯—塞德尔迭代解线性方程组b Ax =，证明若取⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=212120203A ，
则两种方法均收敛，试比较哪种方法收敛快？
解：
雅可比迭代法的迭代矩阵：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
--=+=-0211210
03200)(1U L D B J ，11211)(<=J B ρ， 故雅可比迭代法收敛。
高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--12110021003200000100200212020003)(1
1
U L D B S ，11211)(<=
S B ρ， 故高斯—塞德尔迭代法收敛。
因)(12
11
1211)(J S B B ρρ=<=
，故高斯—塞德尔迭代法收敛快。 3. 用SOR 方法解线性方程组（分别取松弛因子ω=1.03，ω=1，ω=1.1）
精确解x *=（
21，1，-2
1
）T .要求当)(*k x x -∞
<5×106-时迭代终止，并且对每
一个ω值确定迭代次数.
解： 用SOR
方法解此方程组的迭代公式为：
取X
（0）
=（0,0,0）T
：
当ω=1.03时，迭代5次达到要求：
X
（5）
=（0.500 004 3,0.100 000 1，-0.499 999）T
若取ω=1时，迭代6次得：
X
（6）
=（0.500 003 8,0.100 000 2，-0.499 995）T
若取ω=1.1时，迭代6次得：
X
（6）
=（0.500 003 5,0.099 998 9，-0.500 000 3）T
第七章
2.为求方程012
3=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。
(1).2
/11x x +=，迭代公式2
1/11k k x x +=+；
(2).123+=x x ，迭代公式32
11+=+k k x x ； (3).1
1
2
-=
x x ，迭代公式1/11-=+k k x x 。 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：
考虑5.10=x 的领域]6.1,3.1[。 (1).当]6.1,3.1[∈x 时，]6.1,3.1[11)(2∈+
=x x ϕ，1910.03.122)('3
3<=≈≤-=L x x ϕ，故迭代211
1k
k x x +
=+在]6.1,3.1[上整体收敛。 (2).当]6.1,3.1[∈x 时，()
]6.1,3.1[1)(3
/12
∈+=x x ϕ，
1522.0)3.11(6
.132)1(32)('3
/223/22<=≈+<+=
L x x x ϕ，
故迭代32
11+=+k k x x 在]6.1,3.1[上整体收敛。 (3).当]6.1,3.1[∈x 时，1
1)(-=
x x ϕ，1)16.1(21
)1(21)('2
/3>->--=x x ϕ，故迭代 1/11-=+k k x x 发散。
4. 用下列方法求
3
()310f x x x =--=在02x =附近的根.根的准确值* 1.87938524...x =,要求计算结果准确到四位有效数字. (1)用牛顿法; (2)用弦截法,取
012, 1.9x x ==; (3)用抛物线法,取0121,3,2x x x ===.
解：
22(1)0,(2)0,()333(1)0,''()60f f f x x x f x x <>=-=-≥=>,对[1,2].x ∀∈
(1)取
02x =,用牛顿迭代法
3312
23121
333(1)k k k k k k k x x x x x x x +--+=-=--
计算得
3
1221
1
.
8
88
8
8
8889
,1.
2
x x x x -==-
<⨯
,
故
2* 1.879451567x x ≈=.
(2)取20=x ,9.11=x ,利用弦截法
111()()()()k k k k k k k x x f x x x f x f x -+--=-
-
得,3
23441
1.981093936, 1.880840630, 1.879489903,|*|102x x x x x -===-<⨯,故取
4*1.879489903
x x ≈=. (3)
0121,3,2x x x ===.抛物线法的迭代式为
11121[,][,,]()
k k k k k k k k k x x w f x x f x x x x x +----==+-
迭代结果为:
3451.953967549, 1.87801539, 1.879386866x x x ===已达四位有效数字.