等差数列前n项和的最值求解方法

等差数列前n 项和的最值求解方法

例1 设等差数列{}的前n 项和为，已知=12，>0,,

n a n s 3a 12s 130s <(1)求公差d 的取值范围；

（2）指出，，…，中哪一个值最大，并说明理由.1s 2s 12s 解析 （1）由=12，得：+2d=12,即=12-2d,3a 1a 1a 由>0，得：12+，所以d>-,12s 1a 12*1102d >247由,得：13+，所以d<-3,130s <1a 13*1202d < 因此，d 的取值范围为（-,-3）.247(2)解法一：1(1)n a a n d =+-

=12-2d+(n-1)d =12+(n-3)d

令，得：n<3-,0n a >12d

由（1）知：

n N ∈6n ≤0n a >当n>6时，，因此，最大.0n a <6s 解法二：由题意可得：=n +=n(12-2d)+n S 1a (1)2n n d -22n n d - =25(12)22

d n d n +-显然d 0, 是关于自变量n 的二次函数，≠n S 由（1）知：d<0,二次函数的图像抛物线的对称轴为n=,5122d -由（1）知：，2437d -<<-所以6<<,5122d -132

又因为n ,

*

N ∈故当n=6时，最大，

n S 即最大.

6s 例2 已知等差数列{},,=.若，求数列 {}的前n 项n a *n a N ∈n S 212)8n a +（1302n n b a =-n b 和的最小值.分析：①由与的关系，可写出之间的关系，两式作差，即可得出与n S n a 11n n s a ++与1n a +间的关系；

n a ②{}的前n 项和最小，估计{}的前n 项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最n b n b 小.

解 =-=-，1n a +1n s +n S 2112)8n a ++（212)8n a +（即8=（+2-（+2，1n a +1n a +2）n a 2）所以（-2-（+2=0，1n a +2）n a 2）即（+）（--4）=0，

1n a +n a 1n a +n a 因为，所以+0，即--4=0，*n a N ∈1n a +n a ≠1n a +n a 所以-=4，

1n a +n a 因此等差数列{}的公差大于0.n a ==,解得=2.1a 1s 2112)8a +（1a 所以=4n-2,则=2n-31.n a 1302n n b a =-即数列{}也为等差数列且公差为2.n b 由

，解得，23102(1)310{n n -≤+-≥293122n ≤≤因为n ，所以n=15,

*

N ∈故{}的前15项为负值，n b

因此最小，

15s 可知=-29，d=2,

1b 所以数列 {}的前n 项和的最小值为

n b ==-225.15s 1529215312-+⨯-（）小结：若{}是等差数列，求前n 项和的最值时：n a ①若>0,d<0,当满足时，前n 项和最大；1a 100{n n a a +≥≤n S ②若<0,d>0,当满足时，前n 项和最小；1a 100{n n a a +≤≥n S 除以上方法外，还可将{}的前n 项和的最值问题看作关于n 的二次函数问题，利用二n a n S 次函数的图象或配方法求解，另外还可利用与n 的函数关系，进行求导数求最值.

n S