外点惩罚函数法[1]

在外点法中，判断无约束极值点x*r（k）是否为最优点
x*，其中，要看x*r（k）点离约束面的距离，若x*r（k）点处
于约束边界上，则gu（x*r（k））=0，但实际上只有当迭 代次数k→∞才能达到，这需要大量计算。因此，通常规
定某一精度值δ0=10-3~10-5,只要x*r（k）满足 Q=max{gu[x*(r(k))] u=1,2,……m}≤δ0
可见，外点惩罚函数法是通过一系列惩罚因子 {r（k）（k=0,1,2……）}的函数Ф（x，r（k））的无约束极 值从可行域外逐步逼近原约束问题最优解的一种方法。
•
值得注意的是，尽管 增加直至趋于无穷大，但最终
• 的近似最优点x*仍在可行域的外部。
•
即外点法构造的罚函数是使迭代点从可行域的外部逐
• 渐逼近约束最优点，这正是外点法名称的由来。
外点惩罚函数法[1]
定义
惩罚函数法（SUMT法）又称序列无约束极小化技术。这样定名，主要 是在求新目标函数的极小值时，需要不断调整加权参数r1（k）和r2（k） （k=0,1,2……），使其新目标函数Ф（x,r1（k）,r2（k）)极小点的序列x*(r1（k）, r2（k）) (k=0,1,2……)逐渐收敛到原问题的约束最优解上。因此要求满足三个 极限性质
•并在求函数Ф（x,r1（k）,r2（k）)的极小化过程中，当设计点x不满足约束条件时，使
•
和
的函数值增大，这样就对函数Ф（x,r1（k）,r2（k）)给
予
“惩罚”。因此称新目标函数Ф（x,r1（k）,r2（k）)为惩罚函数或增广函数，而
和
称为惩罚项。
分类： 惩罚函数法的基本思想就是把等式和不等式约束
• ⑵相邻两次惩罚函数值的相对变化量已足够小。 • 设ε2为收敛精度，一般取ε2=10-3-10-4，则需要满足
外点法算法步骤
•外点法流程图
•㈣算法步骤与流程图 •入口
•给定：x(0) ∈R ,r(0),α,ε1,ε2
•k=0
•用无约束优化方法求罚函数 •的优化点
•N •k=0?
•Y
•N
•出口 •Y
条件，经过适当定义的复合函数加到原目标函数上，从而取 消了约束，转化为求解一系列的无约束问题。按照惩罚函数 在优化过程中迭代点是否为内点，又分为内点法、外点法和 混合法三种。
•区别:内点法将惩罚函数定义于可行域内且求解无约束优化
问题的搜索点总是保持在可行域内，一般只用于不等式约束 情况；外点法即可用于求解不等式约束优化问题，又可用于 求解等式约束优化问题，主要特点是惩罚函数定义在可行域 外部，从而在求解系列无约束优化问题中，从可行域外部逐 渐逼近原约束优化问题的最优解。 •
使用中的问题
外点惩罚函数法的初始点x（0），可以任意选择，因 为不论初始点选在可行域内或外，只要f（x）的无约束极 值点不在可行域内，其函数Ф（x，r（k））的极值点均在 约束可行域外。这样，当惩罚因子的增大倍数不太大时， 用前一次求得的无约束极值点x*r（k-1），作为下次求 minФ（x，r（k））的初始点x（0），对于加快搜索速度是 有好处的，特别是对于采用具有较高收敛速度的无约束最 优化方法，若初始点离极值点越近，则其收敛速度越快。
r（0）的选择：
建议
r（0）过大，惩罚函数比原目标函数大得多，使函数性态遭到破 坏，从而惩罚函数的等值线变形或偏心，求极值困难；
r（0）过小，会使迭代次数增加。
•终止准则可用下述两者之一
•⑴相邻两次惩罚函数无约束最优点之间的距离已足够的小。 • 设ε1为收敛精度，一般取ε1=10-4-10-5，则需要满足
外点惩罚函数Ф（x，r（k））的极小点x*（r（k））是 在可行域外以参数r（k）为函数，将从可行域外侧逐渐向约 束边界运动，最后趋近于原问题的约束最优解x*。
r(k)与r（0）的选择
r（k）
在外点法中，惩罚因子r（k）通常是按下面递推公式增加的， 即 r（k）=αr（k-1）；其中α为递增系数一般取5~10。
行域内，则该点必为原问题的最优解x*。
2.
当惩罚函数Ф（x，r（k））的无约束极小点x*（r（k）
）在可行域外，此时有
这说明x*（r（k））不可能是原问题的约束最优解。
从图5-7可以看出，当取r（0）值时，其极小点为 x*（r（0）），此点是非可行点。很明显它不是原问题的 约束最优点，当r（k）取值增大时，极小点x*（r（k））逐渐 向可行域边界逼近，当r（k）值达到足够大时，x*（r（k）） 就是原问题最优点x*的近似解。因为当r（k）趋近于无穷大 时
•设有二维约束优化问题
•S.T. : •h1(x)=x1+x2-10=0
•如右图，h1(x)为该约束 •问题的可行域，这条直线以 •外的整个x1ox2平面为非可 •行域。目标函数等值线与该 •直线的切点为最优点
•最优点
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！
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条件，就认为已经达到约束边界。这样只能取得一个接近
于可行域的非可行设计方案。当要求严格满足不等式的约
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束条件时，为了最终取得一个可行的最优化设计方案，必
须对那些要求严格满足的约束条件，增加约束欲量—— δ
，定义新的约束条件
g'u(x)=gu(x)+δ≤0
u=1,2,……m
•用外点罚函数法解等式约束优化问题
外点惩罚函数法-基本原理
内点法是将可行函数定义在可行域内，而外点法与内 点法不同，是将惩罚项函数定义于可行区域外部。
现在用一个简单的例子来说明外点惩罚函数法的基本 思想。求
min
f(x)=x x∈R
s.t.
g(x)=1-x≤0
的约束优化问题，其约束最优解显然是x*=1，f（x*）=1
其约束函数取
对于任意给定的惩罚因子r（k）＞0，函数Ф（x，r（k））是 凸的。令函数Ф（x，r（k））的一阶导数为零，可得其无 约束极值点x*（r（k））=1-1/(4r(k))和惩罚函数值为
一般形式：
外点惩罚函数的一般形式为，对于受约束于gu（x）≤0 （u=1,2，……m）的优化设计问题取
大括号内表示
Ф（x，r（k））的无约束最小点与f（x）的约 束最小点是否相等？
1. x在可行域内，不管r＞0取何值，惩罚项总为零，因
此惩罚函数Ф（x，r（k））的极小点x*（r（k））如果在可
下表列出了当惩罚因子赋予不同值时的条件最优解。由此 可见，当惩罚因子递增时，其极值点x*（r（k))离约束最优 点x*越来越近。当r（k）→∞时， x*（r（k))→x*=1，趋于 真正的约束最优点。因此，无约束极值点x*（r（k))将沿直 线Ф（x*，r（k））=1/2+x*/2从约束区域外向最优点x*收 敛。