(完整word版)高等代数知识结构
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5)线性无关向量组中每个向量加长之后还无关
6)该向量组的秩等于它所含向量的个数 向量组线性无关
7)n个n维的向量构成的行列式0 该向量组是线性无关的
(二)中心课题：线性规范型
1.二次型 线性流型：
二次型及其矩阵表示
二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于x1，x2，…，xn的二次齐次多项式f(x1，x2，…，xn)=a11x12+2a12x1x2+ … +2a1nx1xn
二次型的标准形
1) 实数域R(或复数域C)上的任意一个二次型都可经过系数在实数域R(或复数域C)中的非退化线性变换化成平方和形式：
d1y12+d2y22+…+dnyn2
其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的二次型称为二次型的标准形。
2) 任何对称矩阵都与一个对角矩阵合同。
3）复二次型的规范形：
，
那么线性方程组 有唯一解：
其中 是把矩阵中第 列换成线性方程组的常数项 所成的矩阵的行列式，即
此外，还可以叙述为，如果含有 个未知数、 个方程的线性方程组 的系数矩阵的行列式 ，则线性方程组 一定有解，且解是唯一的.
广义逆矩阵 法
设 .如果存在 ，使得 ，则称 为矩阵 的一个{1}-广义逆矩阵，记作 .矩阵 的{1}-逆总是存在的，但一般不是惟一的[12]，矩阵 的{1}-逆的全体记为 .
3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去。
3.线性方程组
一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为
式中 代表未知量， 称为方程组的系ห้องสมุดไป่ตู้， 称为常数项.
线性方程组 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即 .
令
， , ，
则 可用矩阵乘法表示为
，
a.线性方程组的解法
1)消元法
性质5.如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。
性质6.把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
性质7.对换行列式中两行的位置，行列式反号。
2.矩阵：
a.矩阵的秩：矩阵A中非零行的个数叫做矩阵的秩。
b.矩阵的运算
定义同型矩阵：指两个矩阵对应的行数相等、对应的列数相等的矩阵．
矩阵相等：设 , , 若 , 称 .
若 ， 为 的一个{1}-广义逆矩阵，则对 为任意的 矩阵，矩阵 的一个{1}-广义逆矩阵为
,
同时还可以表示为
.
广义逆矩阵 的计算：
(1)设 ，且有 和 阶置换矩阵 使得
则对任意的 ， 矩阵
是 的一个{1}-广义逆矩阵.若存在 使得
则矩阵的{1}-逆的全体
(2)设 ，则 有惟一{1}逆的充分必要条件是 ，且 ，即 可逆.这个惟一的{1}逆就是 .
a.行列式的性质：
性质1.行列互换，行列式不变。
性质2.一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数
乘此行列式。
性质3.如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。
性质4.如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同)
线性运算： ,
加法：
数乘： 负矩阵：
减法：
矩阵的乘法定义：设 , 其中元素
的列数 = 的行数。
的行数 = 的行数；
的列数 = 的列数．
与 的先后次序不能改变．
(5)矩阵的初等变换
矩阵的等价变换形式主要有如下几种：
1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；
2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；
高等代数知识结构
一、高等代数知识结构图
二、高等代数知识结构内容
（一）线性代数：
工具：线性方程组
1.行列式：
1行列式的计算设有 个数，排成 行 列的数表 ，即n阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
⑴的代数和，这里 是 的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当 是偶排列时, ⑴带正号；当 是奇排列时, ⑴带负号．即 = ，这里 表示对所有 级排列求和.
1）V对加法成Abel群，即满足：
（1）（交换律）x+y=y+x；
（2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z）
（3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x+0=x；
（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0；
2）数量乘法满足：
（5）1x=x；
（6）k(lx)=(kl)x；
+a22x22+ … +a2nx2xn
+ … (3)
+annxn2
称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。
矩阵的合同关系：对于数域P上的两个n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C，使得B=CTAC则称A和B是合同的，记为A~B。
合同关系性质：
1) 反身性：A~A；
2) 对称性：A~B，则B~A；
3) 传递性：A~B，且B~C，则A~C。
4.向量相关性
a.判断向量组线性相关的方法
1)线性相关
2)的对应分量成比例线性相关
3)含有零向量的向量组是线性相关的
4)向量组线性相关该组中至少有一个向量可由其余的向量线性表出
5)部分相关则整体相关
6)设向量组可由向量组线性表出,如果r>s,则线性相关；
7)n+1个n维向量必线性相关(个数大于维数)
在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用.
2)应用克莱姆法则
对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有
定理1如果含有 个方程的 元线性方程组
的系数矩阵
的行列式
任何复系数二次型都可经过复数域C中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：y12+y22+…+yr2，其中r唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的复二次型称为复二次型的规范形。
2.线性函数
（三）研究范围：线性空间
1.线性空间
简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。
8)该向量组的秩小于它所含向量的个数向量组线性相关
9)n个n维的向量构成的行列式=0 该向量组是线性相关的
10)线性相关向量组中每个向量截短之后还相关
b.判断向量组线性无关的方法
1)线性无关
2)的对应分量不成比例 线性无关
3)向量组线性无关该组中任何一个向量都不能由其余的向量线性表出
4)整体无关则部分无关
6)该向量组的秩等于它所含向量的个数 向量组线性无关
7)n个n维的向量构成的行列式0 该向量组是线性无关的
(二)中心课题：线性规范型
1.二次型 线性流型：
二次型及其矩阵表示
二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于x1，x2，…，xn的二次齐次多项式f(x1，x2，…，xn)=a11x12+2a12x1x2+ … +2a1nx1xn
二次型的标准形
1) 实数域R(或复数域C)上的任意一个二次型都可经过系数在实数域R(或复数域C)中的非退化线性变换化成平方和形式：
d1y12+d2y22+…+dnyn2
其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的二次型称为二次型的标准形。
2) 任何对称矩阵都与一个对角矩阵合同。
3）复二次型的规范形：
，
那么线性方程组 有唯一解：
其中 是把矩阵中第 列换成线性方程组的常数项 所成的矩阵的行列式，即
此外，还可以叙述为，如果含有 个未知数、 个方程的线性方程组 的系数矩阵的行列式 ，则线性方程组 一定有解，且解是唯一的.
广义逆矩阵 法
设 .如果存在 ，使得 ，则称 为矩阵 的一个{1}-广义逆矩阵，记作 .矩阵 的{1}-逆总是存在的，但一般不是惟一的[12]，矩阵 的{1}-逆的全体记为 .
3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去。
3.线性方程组
一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为
式中 代表未知量， 称为方程组的系ห้องสมุดไป่ตู้， 称为常数项.
线性方程组 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即 .
令
， , ，
则 可用矩阵乘法表示为
，
a.线性方程组的解法
1)消元法
性质5.如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。
性质6.把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
性质7.对换行列式中两行的位置，行列式反号。
2.矩阵：
a.矩阵的秩：矩阵A中非零行的个数叫做矩阵的秩。
b.矩阵的运算
定义同型矩阵：指两个矩阵对应的行数相等、对应的列数相等的矩阵．
矩阵相等：设 , , 若 , 称 .
若 ， 为 的一个{1}-广义逆矩阵，则对 为任意的 矩阵，矩阵 的一个{1}-广义逆矩阵为
,
同时还可以表示为
.
广义逆矩阵 的计算：
(1)设 ，且有 和 阶置换矩阵 使得
则对任意的 ， 矩阵
是 的一个{1}-广义逆矩阵.若存在 使得
则矩阵的{1}-逆的全体
(2)设 ，则 有惟一{1}逆的充分必要条件是 ，且 ，即 可逆.这个惟一的{1}逆就是 .
a.行列式的性质：
性质1.行列互换，行列式不变。
性质2.一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数
乘此行列式。
性质3.如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。
性质4.如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同)
线性运算： ,
加法：
数乘： 负矩阵：
减法：
矩阵的乘法定义：设 , 其中元素
的列数 = 的行数。
的行数 = 的行数；
的列数 = 的列数．
与 的先后次序不能改变．
(5)矩阵的初等变换
矩阵的等价变换形式主要有如下几种：
1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；
2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；
高等代数知识结构
一、高等代数知识结构图
二、高等代数知识结构内容
（一）线性代数：
工具：线性方程组
1.行列式：
1行列式的计算设有 个数，排成 行 列的数表 ，即n阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
⑴的代数和，这里 是 的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当 是偶排列时, ⑴带正号；当 是奇排列时, ⑴带负号．即 = ，这里 表示对所有 级排列求和.
1）V对加法成Abel群，即满足：
（1）（交换律）x+y=y+x；
（2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z）
（3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x+0=x；
（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0；
2）数量乘法满足：
（5）1x=x；
（6）k(lx)=(kl)x；
+a22x22+ … +a2nx2xn
+ … (3)
+annxn2
称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。
矩阵的合同关系：对于数域P上的两个n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C，使得B=CTAC则称A和B是合同的，记为A~B。
合同关系性质：
1) 反身性：A~A；
2) 对称性：A~B，则B~A；
3) 传递性：A~B，且B~C，则A~C。
4.向量相关性
a.判断向量组线性相关的方法
1)线性相关
2)的对应分量成比例线性相关
3)含有零向量的向量组是线性相关的
4)向量组线性相关该组中至少有一个向量可由其余的向量线性表出
5)部分相关则整体相关
6)设向量组可由向量组线性表出,如果r>s,则线性相关；
7)n+1个n维向量必线性相关(个数大于维数)
在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用.
2)应用克莱姆法则
对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有
定理1如果含有 个方程的 元线性方程组
的系数矩阵
的行列式
任何复系数二次型都可经过复数域C中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：y12+y22+…+yr2，其中r唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的复二次型称为复二次型的规范形。
2.线性函数
（三）研究范围：线性空间
1.线性空间
简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。
8)该向量组的秩小于它所含向量的个数向量组线性相关
9)n个n维的向量构成的行列式=0 该向量组是线性相关的
10)线性相关向量组中每个向量截短之后还相关
b.判断向量组线性无关的方法
1)线性无关
2)的对应分量不成比例 线性无关
3)向量组线性无关该组中任何一个向量都不能由其余的向量线性表出
4)整体无关则部分无关