4 圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

第四讲 圆锥曲线中得定点定值问题

一、直线恒过定点问题

例1、 已知动点在直线上,过点分别作曲线得切线, 切点为、, 求证:直线恒过一定点,并求出该定点得坐标;

解:设,

,)(2

141121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-整理得: 同理可得:

8,2082,2121221-=⋅=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 ,又

,、

例2、已知点就是椭圆上任意一点,直线得方程为, 直线过Ｐ点与直线垂直,点M(-１,0)关于直线得对称点为N,直线PN 恒

过一定点Ｇ,求点Ｇ得坐标、

解:直线得方程为,即

设关于直线得对称点得坐标为

则,解得

直线得斜率为

从而直线得方程为:

即

从而直线恒过定点

二、恒为定值问题

例３、已知椭圆两焦点、在轴上,短轴长为,离心率为,就是椭圆在第一 象限弧上一点,且,过P 作关于直线F 1P 对称得两条直线ＰＡ、PB 分别交椭

圆于A 、B 两点。

(1)求P 点坐标;

(2)求证直线ＡB 得斜率为定值;

解:(１)设椭圆方程为,由题意可得

,所以椭圆得方程为

则,设 则

点在曲线上,则

从而,得,则点得坐标为。

(2)由(１)知轴,直线PA 、PB 斜率互为相反数,

设ＰＢ斜率为,则ＰB 得直线方程为:

由

得

设则

同理可得,则

所以直线AB得斜率为定值、

例4、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点

, 求证:为定值。

解: 将代入中得

,

,

所以

、

课后作业:

１、在平面直角坐标系中,已知椭圆、如图所示,斜率为且不过原点得直线交椭圆于,两点,线段得中点为, 射线交椭圆于点,交直线于点、

(Ⅰ)求得最小值;

(Ⅱ)若∙,求证:直线过定点;

解:(Ⅰ)由题意:设直线,

由消y得:,

设A、B,AＢ得中点E,则由韦达定理得:

=,即,,

所以中点E得坐标为,

因为O、Ｅ、D三点在同一直线上,

所以,即, 解得,

所以＝,当且仅当时取等号, 即得最小值为２。

(Ⅱ)证明:由题意知:n〉0,因为直线OＤ得方程为,

所以由得交点Ｇ得纵坐标为,

又因为,,且∙,所以,

又由(Ⅰ)知: ,所以解得,所以直线得方程为,

即有, 令得,y=0,与实数k无关,

所以直线过定点(—1,0)、

2、已知点为曲线上得一点, 若,就是否存在垂直轴得直线被以为直径得圆截得得弦长恒为定值?若

存在,求出直线得方程;若不存在, 请说明理由。

解:设得中点为,垂直于轴得直线方程为,

以为直径得圆交于两点,得中点为、

,

ﻩ

所以,令,则对任意满足条件得,

都有(与无关), 即为定值、