圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳

第一、知识储备： 1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈

②点到直线的距离d =

③夹角公式：

2121

tan 1k k k k α-=

+

（3）弦长公式

直线

y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-

= 或12AB y =- （4）两条直线的位置关系

①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

标准方程：22

1(0,0)x y m n m n m n

+=>>≠且

2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程：22

1(0)x y m n m n

+=⋅<

距离式方程：2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

22

222b b p a a

椭圆：；双曲线：；抛物线：

(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？

如：已知21F F 、是椭圆13

42

2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满

足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是（ ）

A 、双曲线；

B 、双曲线的一支；

C 、两条射线；

D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1

2

2tan 2

F PF P b θ

∆=在椭圆上时，S

1

2

2cot 2

F PF P b θ

∆=在双曲线上时，S

（其中222

1212121212||||4,cos ,||||cos ||||

PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==•=⋅）

(6)、记住焦半径公式：（1）

00

;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减”。

（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为

（3）11||,||22

p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备

1、点差法（中点弦问题） 设()

11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13

42

2=+y x 的弦AB 中点则有

1342121=+y x ，1342

222=+y x ；两式相减得(

)()03

4

2

2

2

1

2

2

21=-+-y y

x x

⇒

()()

()()

3

4

21212121y y y y x x x x +--

=+-⇒AB k =b

a 43-

2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？

经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到

一个二次方程，使用判别式0∆≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kx b =+，就意味着k 存在。

例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.

（1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程. 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为090可得出AB ⊥AC ，从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程；

解：（1）设B （1x ,1y ）,C(2x ,2y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有

116

20,116202

2

222121=+=+y x y x 两式作差有

16)

)((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04

500=+k

y x (1) F(2,0)为三角形重心，所以由

2321=+x x ，得30=x ，由03

4

21=++y y 得20-=y ，代入（1）得5

6=

k 直线BC 的方程为02856=--y x

2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x （2） 设直线

BC

方程为

80

54,22=++=y x b kx y 代入，得

080510)54(222=-+++b bkx x k

2

215410k

kb

x x +-=+，222154805k b x x +-= 22

22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入（2）式得

054163292

2=+--k

b b ，解得)(4舍=b 或94

-=b 直线过定点（0，)9

4

-，设D （x,y ），则

1494

-=-⨯+

x

y x y ，即016329922=--+y x y

所以所求点D 的轨迹方程是)4()9

20

()916(222≠=-

+y y x 。 4、设而不求法

例2、如图，已知梯形ABCD 中CD

AB

2=，点E 分有向线段

AC 所成的比为λ，双曲线过

C 、

D 、

E 三点，且以A 、B 为焦点当4

3

3

2≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。

分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念