二次函数压轴题培优,含答案

二次函数压轴题培优——直角三角形的存在性（2）

1．（2016•湘潭模拟）如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与

直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．

2．（2016•惠东县模拟）如图，已知直线y=kx﹣6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

3．（2016•冷水江市三模）如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；

（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；

（3）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

二次函数压轴题培优（1）——直角三角形的存在性（参考答案）

1．（2016•湘潭模拟）如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与

直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵直线y=x+1与y轴交于点A，∴A（0，1），

∵y=x2+bx+c过（1，0）和（0，1），

则，解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+1；

（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为m2﹣m+1即E点的坐标（m，m2﹣m+1），

又∵点E在直线y=x+1上，∴m2﹣m+1=m+1

解得m1=0（舍去），m2=4，∴E的坐标为（4，3）．

（Ⅰ）当A为直角顶点时，

过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a，0）易知D点坐标为（﹣2，0），

由Rt△AOD∽Rt△P1OA得=，即=，

∴a=，∴P1（，0）．

（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，过E作EP2⊥DE交x轴于P2点，

由Rt△AOD∽Rt△P2ED得，=，即=，

∴EP2=，∴DP2==，

∴a=﹣2=，P2点坐标为（，0）．

（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（b、0），

由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，

由=得=，解得b1=3，b2=1，

∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0），

综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）．

2．（2016•惠东县模拟）如图，已知直线y=kx﹣6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

【解答】解：（1）把A（1，﹣4）代入y=kx﹣6，得k=2，

∴y=2x﹣6，

令y=0，解得：x=3，

∴B的坐标是（3，0）．

∵A为顶点，

∴设抛物线的解析为y=a（x﹣1）2﹣4，

把B（3，0）代入得：4a﹣4=0，

解得a=1，

∴y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．

（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，

此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=﹣x．

设P（m，﹣m），则﹣m=m2﹣2m﹣3，解得m=（m=＞0，舍），

∴P（，）．

（3）①如图，当∠Q1AB=90°时，△DAQ1∽△DOB，

∴=，即=，∴DQ1=，

∴OQ1=，即Q1（0，）；

②如图，当∠Q2BA=90°时，△BOQ2∽△DOB，

∴=，即=，

∴OQ2=，即Q2（0，）；

③如图，当∠AQ3B=90°时，作AE⊥y轴于E，

则△BOQ3∽△Q3EA，

∴=，即=，

∴OQ32﹣4OQ3+3=0，∴OQ3=1或3，

即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．

综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．

3．（2016•冷水江市三模）如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；

（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；

（3）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），

当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），

将A（3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，

得，解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，

∴∠QAP=45°．

如图①所示：∠PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中，=，即：，解得：t=1；

如图②所示：∠QPA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中，，即：=，解得：t=．

综上所述，当t=1或t=时，△PQA是直角三角形；

（3）如图③所示：

设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3﹣t）．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴点M的坐标为（1，4）．

∴MB==．

当△BOP∽△QBM时，，即：，整理得：t2﹣3t+3=0，

△=32﹣4×1×3＜0，无解：

当△BOP∽△MBQ时，，即：，解得t=．

∴当t=时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．