二阶微分方程及其模型

1.解的基本性质
二阶齐次方程解的结构:
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是常 数）
y C1 y1 C 2 y2一定是通解吗？
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u ( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0,
知 u 0,
则 y2 xe r x , 取 u( x ) x ,
1
得齐次方程的通解为 y (C1 C 2 x )e
r1 x
;
3）有一对共轭复根 ( 0) 特征根为
0 j不是根 k , 1 j是单根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
例2 求方程 y y 4 sin x 的通解. 解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x ,
y 4e jx , 作辅助方程 y
j 是单根,
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
特别地 y py qy Ae
x
A e x , 不是特征方程的根 2 p q A y xe x 是特征方程的单根 2 p A 2 x xe 是特征方程的重根 2
1 A 2 , 代入方程, 得 2 Ax B 2 A x B 1 1 2x
2x 设 2 是单根， y x( Ax B )e ,
2
类型（二） f ( x) ex [ Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x] 型
例1 求方程 y 4 y 4 y 0 的通解. 解 特征方程为 解得
r 4r 4 0 ,
2
r1 r2 2 ,
y (C1 C2 x )e 2 x . 故所求通解为
例2 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
二阶微分方程
一、可降阶的二阶微分方程
二、二阶线性微分方程
三、几个典型模型
一、几种可降阶的二阶方程
设y f ( x, y, y )
(1) y f ( x ) (方程的右端不显含 , y ) y
y dx f ( x )dx , y y dx [ f ( x )dx C 1 ]dx C 2 .
f ( x ) e [ Pl cosx Pn sinx ] 利用欧拉公式
x
e jx e jx e jx e jx e x [ Pl Pn ] 2 2j Pl Pn ( j ) x Pl Pn ( j ) x ( )e ( )e 2 2j 2 2j
y
例1 解方程 y xe .
x
解：y
xe x dx e x x e x C 1
y ( xe x e x C 1 ) xe x e x e x C 1 x C 2 .
(2) y f ( x, y ) (方程右端不显含 ) y
,
例1 求方程 y 3 y 2 y xe 2 x 的通解. 解
r 2 3r 2 0, 特征方程 r 特征根 r1 1， 2 2，
对应齐次方程通解 Y c1e x c2 e 2 x ,
于是 y x( x 1)e 2 1 x 2x 2x 原方程通解为 y C1e C 2e x( x 1)e .
dp dp 令y p( x ), y ,得 f ( x , p). dx dx
设 解 为p ( x , C 1 ),则y
y dx pdx ( x, C
1
)dx.
1 x 例2 解方程 y y xe . x
pe y
dp 解 ： 令 p( y ), 则y p y ,原 方程 化为 dy dp p 3 dy y,
例3 求初值问题 y 3 y , y(0) 1, y (0) 2的解。
1 2 pdp 3 y dy, p 2 y C 1 2
3 2
由y(0) 1, y(0) 2 C1 0,
dy P( x) y f ( x) dx
d y dy P ( x ) Q( x ) y f ( x ) 2 dx dx
2
n阶线性微分方程
y ( n ) P1 ( x ) y ( n1) Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x ).
当 f ( x ) 0时，线性齐次微分方程 当 f ( x ) 0时， 线性非齐次微分方程
2 rx
e 0,
rx
故有
r pr q 0
2
特征方程
特征根 r1, 2
p
p 4q , 2
2
特征方程法: 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解.
( 1） 有两个不相等的实根 0)
特征根为 r1
p
p 2 4q p p 2 4q , r2 , 2 2
代入上式
* jx
故 y * Axe jx ,
A 2 j ,
2 Aj 4,
y 2 jxe 2 x sin x (2 x cos x ) j ,
所求非齐方程特解为 y 2 x cos x , （取虚部） 原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2 x cos x .
解得 r1， 1 2 j , 2 故所求通解为
y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
3.二阶常系数非其次线性微分方程
y py qy f ( x )
类型（一） f ( x ) e Pm ( x )
x
对应齐次方程 y py qy 0,
1， 2 x , sin2 x 线性相关 cos
y1 ( x ) 常数， 特别地: 若在 I 上有 y2 ( x ) 则函数 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线 性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1) 的通解.
( 2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通 解, 那么 y Y y * 是二阶非齐次线性微分方程(2) 的通解.
2. 二阶常系数齐次线性方程解法
y py qy 0
rx
-----特征方程
设 y e , 将其代入上方程, 得 ( r pr q )e 0
P( x )e
( j ) x
P ( x )e
( j ) x
,
y1 x Qm e
k ( j ) x
设 y py qy P ( x )e ( j ) x ,
,
设 y py qy P ( x )e
( j ) x
y p 2 y , 由y(0) 2 0, 取 号。 y 2 y , y dy 2dx, 4 y 2 x C 2 ,
由y(0) 1 C 2 4,
x 4 y (1 ) . 2
3 4
3 4 1 4
3 4
二、二阶线性微分方程
一阶线性微分方程 二阶线性微分方程
,
y1 x Qm e
k
( j ) x
,
y x e [Qm e
k
x
jx
Qm e
jx
]
( 2) m
x e [ R ( x ) cosx R ( x ) sinx ],
k
x
(1) m
(1 ( 其中 Rm ) ( x ), Rm2 ) ( x )是m次多项式，m maxl , n
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例3 求方程 y y x cos 2 x 的通解. 解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x ,
问题:
n 定义：设 y1 , y2 ,, yn 为定义在区间 内的 I
n 个函数．如果存在 个不全为零的常数，使得
当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k 2 y2 k n yn 0 ，
I 那么称这n 个函数在区间 内线性相关．否则
称线性无关
例如 当x ( , )时， e x， x , e 2 x 线性无关 e
2 (1) 若不是特征方程的根， p q 0,
可设 Q( x ) Qm ( x ),
y Qm ( x )e ;
x
( 2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0,
可设 Q( x ) xQm ( x ),
2 p 0,
y xQm ( x )e x ;
r1 j ,
r2 j ,
y1 e
( j ) x
,
1 y1 ( y1 y2 ) ex cos x, 重新组合 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x, 2j
得齐次方程的通解为
y2 e
( j ) x
,
y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
通解结构 y Y y ,
常见类型 Pm ( x ),
x
Pm ( x )e , Pm ( x )e sin x ,
方法：待定系数法.
x
x
Pm ( x )e cos x ,
难点：如何求特解？
设非齐方程特解为 y Q ( x )e x 代入原方程
( x ) ( 2 p)Q( x ) (2 p q )Q( x ) Pm ( x ) Q
x
1 dx x
dp 1 x p, 解：令 y p xe（ 一 解 线 性 方 程 ） dx x
[ xe e
x

1 dx x
dx C 1 ]dx xe x xC 1 ,
x
C1 2 y [ xe xC1 ]dx ( x 1)e x C2 . 2
例如 y y 0,
y1 cos x, y2 sin x,
y C1 cos x C 2 sin x .
y2 且 tan x 常数, y1
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
*
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
两个线性无关的特解
y1 e ,
r1 x
y2 e ,
r2 x
r1 x
得齐次方程的通解为 y C1e
C2e ;
r2 x
2） 有两个相等的实根 0) (
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一特解为 y1 e , 2
设另一特解为 y2 u( x )e r1 x ,
(3) y f ( y, y) (方程右端不显含 ) x
dp dy dp 令y p( y ),则y p , dy dx dy dp 得 ：p f ( y , p), dy dy 1 设解为 p ( y, C 1 ),则y dy C 2 . dx ( y, C1 )
( 3) 若是特征方程的重根，
p q 0,
2
2 p 0,
y x 2Qm ( x )e x .
可设 Q( x ) x 2Qm ( x ),
综上讨论
设 y x k e x Qm ( x ) ,
0 不是根 k 1 是单根, 2 是重根