数学实验第三次讲稿

x0 定义为迭代初值。
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例：用迭代方法求解方程 x3 x2 x1 0。 解： 第一步 构造迭代函数：
x=j (x)
x x3 x2 1
x 3 x2 + x +1
x
1+
1 x
+
1 x2
j1 (x) j2 (x) j3 (x )
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第二步 迭代 设定初值 x0=1，
对于给定的方程 f(x) = 0, 有多种方式将它改写成
等价的形式 x = j(x)。但重要的是如何改写使得序列
收敛？
Z
1、当遇到迭代不收敛时有什么解决办法？ 2、如何提高收敛速度？
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• 当今最流行的迭代法是牛顿法以及由此改 进的一些方法，比如拟牛顿法等。其基本 的思想就是构造迭代格式是利用函数的导 数，这类方法有收敛速度快，稳定性好等 特点。对低维和高维情况都适合，也是当 今一些软件均采用的方法。当然，因为需 要函数的导数信息，所以自然对不可微的 问题受到制约。该方法的迭代格式为： xk+1=xk-f(xk)/f’(xk)
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2，方程求解之图形放大法
• 图形最大的有点就是直观，试想如果我们有了函 数准确的图形，那么曲线和x轴的交点就是我们要 求的方程的解。因此我们可以利用图形工具得到 方程的解。当然，计算机上的图形不可能等同于 函数的真实图形，因为计算机上的图形是曲线上 部分点的轨迹而不是全部，因此通过图形不可能 得到方程的精确解，甚至它只是一个比较粗略的 解，当然，通过对图形的放大可以得到更精确一 些的解。同时，这种方法也不适应大量的数据处 理。
用 MxAn+T1 L=AjB(x编n)，程n（=d0i，ed12，.m…文件)
x=1;y=1;z=1;(初始点）
for k=1:20
x=x^3-x^2-1;
y=(y^2+y+1)^(1/3);
z=1+1/z+1/z^2; end X，y，z
% j1 (x) % j2 (y) % j3 (z)
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缩小至[-2，2]，再观察！
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2．图形放大法
50
0
-50 -2
10 0
-10 -20
-2
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10
0
-10
-20
0
2 -2
-1.5
-1
1
0
-1
-2
-1.5 -1.6
-1.5
-1.4
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逐次缩 小区间，观 察一个根在 -1.55~-1.5之 间。
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3,方程求解之迭代法
5 1.8209 1.9554 12 1.8392 1.8355
6 1.8308 1.7730 13 1.8392 1.8416
7 1.8354 1.8822 精确解：x=1.8393
j1(x)的迭代是失败的（迭代不收敛 ）。
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结论
迭代函数j2(x)和j3(x)的选取是成功的。精确解 为 不一x=致1，.83前93者。的并速且度选快取些函！数j2(x)、j3(x)其收敛速度
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例:利用牛顿法求方程x3 -x2 -x-1 = 0的根. 方法:第一步,给出函数的导函数3x2-2x-1;
• 迭代法的理论以及方法的出现，对方程求 解有着里程碑式的意义。其基本思想如下:
需要求解的方程： f (x) = 0
（1）
经过某种变形得：x = j (x)
（2）
从而求解方程（1）转化成为求解（2）得不动 点。（满足条件x*=j(x*)的点x*称为不动点）
Βιβλιοθήκη Baidu
为得到方程的不动点，可以构造迭代过程如下：
xn+1 =j (xn)，n =0，1，…
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2．图形放大法
方程 f(x)=0 1）建立坐标系，画曲线f(x)；
2）观察曲线f(x)与x轴相交的交点；
3）将其中一个交点进行局部放大； 4）该交点的横坐标值就是方程的根。
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2．图形放大法
例: 求方程 x5 +2x2 + 4 = 0 的一个根. 该方程有几个根？欲寻找其中一个实根，并且达到
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计算结果
序号 j2(x) j3(x) 序号 j2(x) j3(x)
1 1.4422 3.0000
8 1.8175 1.8136
2 1.6537 1.4444
9 1.8385 1.8554
3 1.7532 2.1716 10 1.8389 1.8294
4 1.7995 1.6725 11 1.8391 1.8454
一定的精度。
画方程曲线图（tuxfd.m）
8000
6000
x=-3:0.01:3; 4000
y=x.^5+2*x.^2+4;
2000
y1=0*x;
0
-2000
plot(x,y,x,y1) -4000
-6000
-8000
-6
-4
-2
0
2
4
6
由此判断：方程的一个根在区间[-2，2]内，因此将区间[-3，3]
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数学建模的一般步骤
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验 模型应用
模型分析
模型求解
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二，方程求解
• 1，解析方法 • 2，图形放大法 • 3，迭代方法 • 4，区间方法
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1，方程求解之解析方法
• 主要针对一些比较简单的方程以及方程组， 比如多项式方程等。同学们以前对方程的 求解也是针对这样一些方程进行的。该方 法的优点是可以利用纸笔得到简单有效并 且精确的解；缺点是可以求解的方程数量 太少。Matlab和Maple提供了求方程解析解 的函数，可以说对数学演算提供了不少方 便。
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实验目的
1) 掌握方程求解的三种解法：解析 法、数值解法以及图形表示解的方法;
2) 学会使用MATLAB软件求解析解、数值解 和图形解；
3） 通过范例学习怎样建立方程模型和 分析问题的思想。
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一，建立方程
• 例子【问题背景】一段时间, 美国原子能委员会是 按以下方式处理浓缩放射性废物的. 他们将废物装入 密封性能很好的圆桶中, 然后扔到水深300英尺的海 里. 这种做法是否会造成放射性污染, 很自然地引起 了生态学家及社会各界的关注. 原子能委员会一再保 证, 圆桶非常坚固, 决不会破漏, 这种做法是绝对安 全的. 然而一些工程师们却对此表示怀疑, 他们认为 圆桶在海底相撞时有可能发生破裂. 由此双方展开了 一场笔墨官司. 究竟谁的意见正确呢? 只能让事实 说话了!