高二数学组合苏教版

高二数学组合苏教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

组合

二. 本周知识要点：

1. 理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合.

2. 明确组合与排列的区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题.

3. 了解组合数的意义，理解排列数m

n A 与组合数m n C 之间的联系，掌握组合数公式，能运

用组合数进行计算.

4. 利用排列组合的知识，以及两个基本原理解决较综合的记数问题.

三. 本周知识要点：

示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 1. 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．

说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同．

2. 组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n

个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．

．用符号m n C 表示． 3. 组合数公式：(1)(2)(1)!

m m n n

m m A n n n n m C A m ---+==

或)!

(!!

m n m n C m

n -=

),,(n m N m n ≤∈*且

4. 组合数性质

1) 组合数的性质1：m n n m n C C -=. 规定：10

=n C ； 2) 组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n

C

【典型例题】

例1. 计算：（1）4

7C ； （2）710C ；

（1）解： 4

77654

4!

C ⨯⨯⨯=

＝35；

（2）解法1：7

1010987654

7!

C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=

＝120.

解法2：7

1010!10987!3!3!

C ⨯⨯==＝120.

例2. 100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．

（1）一共有多少种不同的抽法；

（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？

（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？

解：（1）3100161700C =；（2）398152096C =；（3）12

298247539506C C =⨯=； （4）解法一：（直接法）12212982989506989604C C C C +=+=； 解法二：（间接法）33100981617001520969604C C -=-=．

例3. 4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？

解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有3

4C ，1

624C C ⋅，2614C C ⋅，所以，一共有34C +1624C C ⋅+2

6

14C C ⋅＝100种方法． 解法二：（间接法）10036310=-C C ．

例4. 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？

解：我们可以分为三类：

①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有2

324C C ； ②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有1334C C ； ③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有2334C C ， ∴一共有2324C C +1

33

4C C +2334C C ＝42种方法.

例5. 某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A 校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B 、C 两校必选，且B 在C 前问：此考生共有多少种不同的填表方法？

解：先填第一档次的三个志愿栏：因A 校定为第一档次的第一志愿，故第一档次的二、

三志愿有26A 种填法；再填第二档次的三个志愿栏：B 、C 两校有2

3C 种填法，剩余的一个

志愿栏有13A 种填法由分步计数原理知，此考生不同的填表方法共有26A 23C 1

3270A =（种）

．

例6. 高二(1)班有30名男生，20名女生.从50名学生中选3名男生，2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法?

解：325

3020592568000C C A =

例7. 身高互不相同的7名运动员站成一排，

（1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？

（2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？

解：（1）（法一）：设想有7个位置，先将其他4人排好，有4

7A 种排法；再将甲、乙、

丙三人自左向右从高到矮排在剩下的3个位置上，只有1种排法，根据分步计数原理，一共

有47840A =种方法．

（法二）：设想有7个位置，先将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在其中的3个位置上，

有37C 种排法；将其他4人排在剩下的4个位置上，有44A 种排法；根据分步计数原理，一共有3474840C A =种方法．

（2）（插空法）先将其余4个同学进行全排列一共有4

4A 种方法，再将甲、乙、丙三名

同学插入5个空位置中（但无需要进行排列）有35C 种方法．根据分步计数原理，一共有44A 35240C =种方法．

【模拟试题】

1. 判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：

（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？

（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？

2. 7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ） A . 42 B . 21 C . 7 D . 6

3. 如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ） A . 15对 B . 25对 C . 30对 D . 20对

4. 设全集{},,,U a b c d =，集合A 、B 是U 的子集，若A 有3个元素，B 有2个元素，且{}A

B a =，求集合A 、B ，则本题的解的个数为 （ ）

A . 42

B . 21

C . 7

D . 3

5. 有两条平行直线a 和b ，在直线a 上取4个点，直线b 上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（ ）