梁的强度和刚度计算

梁的强度和刚度计算
1．梁的强度计算
梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《规范》规定的相应的强度设计值。

（1）梁的抗弯强度
作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下：
梁的抗弯强度按下列公式计算：
单向弯曲时
f W M nx x x ≤=γσ （5-3）
双向弯曲时
f W M W M ny y y nx x x ≤+=γγσ （5-4）
式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形和H 形截面，x 轴为强轴，y 轴为弱轴）；
W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量；
y x γγ,——截面塑性发展系数，对工字形截面，20.1,05.1==y x γγ；对箱形截面，05.1==y x γγ；对其他截面，可查表得到；
f ——钢材的抗弯强度设计值。

为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于y f /23513 ，但不超过y f /23515时，应取0.1=x γ。

需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取0.1==y x γγ。

（2）梁的抗剪强度
一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。

工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。

截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。

在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。

因此，设计的抗剪强度应按下式计算
v w f It ≤=τ （5-5）
式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值；
S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩；
I ——毛截面惯性矩；
t w ——腹板厚度；
f v ——钢材的抗剪强度设计值。

图5-3 腹板剪应力
当梁的抗剪强度不满足设计要求时，最常采用加大腹板厚度的办法来增大梁的抗剪强度。

型钢由于腹板较厚，一般均能满足上式要求，因此只在剪力最大截面处有较大削弱时，才需进行剪应力的计算。

（3）梁的局部承压强度 图5-4局部压应力
当梁的翼缘受有沿腹板平面作用的固定集中荷载且该荷载处又未设置支承加劲肋，或受有移动的集中荷载时，应验算腹板计算高度边缘的局部承压强度。

在集中荷载作用下，翼缘类似支承于腹板的弹性地基梁。

腹板计算高度边缘的压应力分布如图5-4c 的曲线所示。

假定集中荷载从作用处以1∶2.5（在h y 高度范围）和1∶1（在h R 高度范围）扩散，均匀分布于腹板计算高度边缘。

梁的局部承压强度可按下式计算
f l t z w c ≤=σ （5-6）
式中：F ——集中荷载，对动力荷载应考虑动力系数；
ψ——集中荷载增大系数：对重级工作制吊车轮压，ψ＝1.35；对其他荷载，ψ＝1.0；
z l ——集中荷载在腹板计算高度边缘的假定分布长度，其计算方法如下 跨中集中荷载 z l ＝a +5h y +2h R
梁端支反力 z l ＝a +2.5h y +a 1
a ——集中荷载沿梁跨度方向的支承长度，对吊车轮压可取为50mm ； h y ——自梁承载的边缘到腹板计算高度边缘的距离；
h R ——轨道的高度，计算处无轨道时h R ＝0；
a 1——梁端到支座板外边缘的距离，按实际取，但不得大于2.5h y 。

腹板的计算高度h 0按下列规定采用：
轧制型钢梁为腹板在与上、下翼缘相交接处两内弧起点间的距离；焊接组合梁，为腹板高度；铆接（或高强度螺栓连接）组合梁，为上、下翼缘与腹板连接的铆钉（或高强度螺栓）线间最近距离。

当计算不能满足式（5-6）时，在固定集中荷载处，应设置支承加劲肋予以加强，并对支承加劲肋进行计算。

对移动集中荷载，则应加大腹板厚度。

（4）折算应力
在组合梁的腹板计算高度边缘处，当同时受有较大的正应力σ、剪应力τ和局部压应力σc 时，或同时受有较大的正应力σ和剪应力τ时（如连续梁的支座处或梁的翼缘截面改变处等），应按下式验算该处的折算应力
f c c 12223βτσσσσ≤+-+ （5-7）
式中： c στσ,,——腹板计算高度边缘同一点上的弯曲正应力、剪应力和局部压应力。

τ按式（5-5）计算，c σ按式（5-6）计算， σ按下式计算
nx I My =σ （5-8）
nx I ——净截面惯性矩；
y ——计算点至中和轴的距离；
c σσ,均以拉应力为正值，压应力为负值；
1β——折算应力的强度设计值增大系数。

当c σσ,异号时，取1β＝1.2；当c σσ,同号或c σ＝0取1β＝1.1。

实际工程中只是梁的某一截面处腹板边缘的折算应力达到承载力极限，几种应力皆以较大值在同一处出现的概率很小，故将强度设计值乘以1β予以提高。

当c σσ、异号时，其塑性变形能力比c σσ、同号时大，因此1β值可取得更大些。

2．梁的刚度
梁的刚度验算即为梁的挠度验算。

按下式验算梁的刚度
][v v ≤ （5-9） 式中：v ——荷载标准值作用下梁的最大挠度；
[v ] ——梁的容许挠度值，《规范》根据实践经验规定的容许挠度值。

梁的强度和刚度验算
1．如图1所示一根简支梁长l m ，梁的自重为1q ；钢材的等级与规格（f ,v f ），x I ，nx W ，x x S I /，w t 均为已知。

梁上作用恒荷载，荷载密度为2q ，荷载分项系数为1.2，截面塑性发展系数为05.1=x γ，20.1=y γ。

试验算此梁的正应力及支座处剪应力。

图1
解：
（1）计算作用在梁上的总弯矩
计算梁自重产生的弯矩为：
2118
1l q M y γ= 外荷载在跨中产生的最大弯矩为：
2228
1l q M y γ= 总弯矩为：
21M M M x +=
（2）验算弯曲正应力：
f W M nx
x x <=γσ （3）验算支座处最大剪应力： 支座处最大剪力：
)(5.021q q l V y +⨯⨯⨯=γ
剪应力：
w It VS =
τ＜v f。