组合数学(第七章 生成函数)ppt课件

7.1.1 生成函数
例题
例 1 、 求 序 列 (C(n,0),C(n,1),C(n,2),…, C(n,n))的生成函数。
解：由定义7.1及二项式定理的推论有
f(x)n 0n 1x...n nxn
(1x)n
§7.1 生§7成.1函生数成的函基数例本2概念
7.1.1 生成函数
例题
例2、求序列(C(n-1,0), -C(n,1), C(n+1,2), …, (1)kC(n+k-1,k), … )的生成函数。
习题
第八章 Polya定理 8.1置换群中的共轭类与轨道 8.2 Polya定理的特殊形式及其应用 本章小结
习题
********************** 课程总结
第7章 生成函数
本章重点介绍生成函数（生成函数、指数生成函 数）的基本概念及其在排列组合中的应用 ：
• 生成函数的基本概念 • 生成函数的基本运算 • 生成函数在排列、组合中的应用 • 整数拆分 • 生成函数在组合恒等式中的应用
数 f (x) ai xi 为序列{an}的生成函数（发生、普 i 0
通母函数） 。
注： f(x)是无穷级数，不管其收敛性； x为形式变元，f(x)为形式幂级数 ； 序列与生成函数一一对应； 生成函数是序列的另一表达形式； 有限序列也可用生成函数表示； 可与二项式定理结合应用 。
§7.1 §生7.成1 生函成数函数的例基1 本概念
的生成函数。
§7.1§生7.1成生函成数函的数基例4本概念
7.1.1 生成函数
例题
例4、求序列(0, 1×2×3, 2×3×4,…, n(n+1)(n+2),…)的生成函数。
解：由牛顿二项式定理的推论1.10.4，有
1
xn
1 x n0
将上式两端同时微分两次得
2
n(n 1)xn2
(1 x)3 n2
的普通母函数。
§7.1§7生.1 成指数函生数成函的数基概本念 概念
7.1.2 指数生成函数
定义 7.2
给定一无穷序列(a0,a1,…an,…)（简记为{an}），称函
数
fe(x) ai
i0
xi i!
为序列{an}的指数生成函数。
注： fe(x)也是形式幂函数。 经常可结合以下公式运算：
ex 1x2x 2 ...nx n ...
1 ! 2 !
n !
ex1xx2...( 1)nxn...
1! 2!
n !
s in x x x 3 ...x 2 n 1 ... e x e x
1 ! 3 ! (2 n 1 )!
2
§7.1 生§成7.函1 数指数的生基成本函概数例念5
7.1.2 指数生成函数
例题
例5、设n是整数，求序列(p(n,0), p(n,1), …, p(n,n))的指数生成函数fe(x)。
习题
录
第四章 二项式系数 4.1 二项式定理 4.2组合恒等式 4.3非降路径问题 4.4牛顿二项式定理 4.5多项式定理 4.6 基本组合计数的应用 本章小结
习题 第五章 包含排斥原理 5.1 包含排斥原理 5.2 多重集的r-组合数 5.3错位排列 5.4 有限制条件的排列问题 5.5有禁区的排列问题 本章小结
4.1.1
例 题
生成k 函1 1数2 1 2 1 1 2 2 ... 1 2 k 1
1+ 1+
kk11例C4(4k3,、21),证…32明k,..C.(k1(2-(!42nxk,n)-)1,/12…k)是!)的x序k 生列成(C函(0数,0)。,
C(2(,1)4,
x
)
k
1 2k k !1 3 ... (2k 1) x k
将上式两端再微分得
6
n(n 1)(n 2)xn3
(1 x)4 n3
两边同乘以x得
6x (1 x)4
n(n 1)(n 2)xn
n0
0 1 2 3x 2 3 4x2 ... n(n 1)(n 2)xn ...
因此 f ( x) 6x 是序列(0，1 2 3，2 3 4, ..., n(n 1)(n 2), ...) (1 x)4
第第77章章 生生成成函函数数
• 7.1生成函数的定义和性质 • 7.2多重集的r-组合数 • 7.3正整数的划分 • 7.4指数生成函数与多重集的排列问题 • 7.5Catalan数和Stiring
§7.1 生成函§数概4.念1 生成函数的基本概念
4.1.1 生成函数
定义 4.1
给定一无穷序列(a0,a1,…an,…)(简记为{an})，称函
组合数学课件
制作讲授：王继顺
目录（1）
目
第1章 什么是组合数学 1.1引例 1.2组合数学研究对象、内容和方法 第2章 鸽巢原理 2.1 鸽巢原理：简单形式 2.2 鸽巢原理：加强形式 2.3 Ramsey定理 2.4 鸽巢原理与Ramsey定理的应用 本章小结
习题 第3章 排列与组合 3.1 两个基本的计数原理 3.2 集合的排列与组合 3.3 多重集的排列与组合 本章小结
习题
目录（2）
第六章 递推关系 6.1 Fibonacci数列 6.2 常系数线性齐次递推关系的求解 6.3 常系数线性非齐次递推关系的求 解 6.4 用迭代和归纳法求解递推关系 本章小结
习题 第七章 生成函数 7.1生成函数的定义和性质 7.2多重集的r-组合数 7.3正整数的划分 7.4指数生成函数与多重集的排列问 题 7.5 Catalan数和Stiring数 本章小结
解：由定义7.1及二项式定理的推论3.10.2有
f(x)n01n 1xn21x2...(1)k
nk1 k
ห้องสมุดไป่ตู้
xk...
= (1)k
nk 1 k
xk
k0
=
knxk (1x)n
k0
证(1明 4：x )由1牛2 顿1二§项 4式.1定1k 生2§理(7成有.14函x生)数k 成的函基数例本3概念
k 1
k !k !
1 2 4 ... (2k ) 1 3 ... (2k 1) x k
k 1
k !k !
1 (2k )! x k 1
k1 k !k !
k 1
2k k
xk
0 0
2 1
x
4 2
x 2 ...
2k k
x k ...
由定义知，(1-4x)-1/2是序列(C(0,0), C(2,1), C(4,2), … , C(2n,n),…)