数列求和及求通项方法总结

数列求和及求通项

一、数列求和的常用方法

1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和

2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法

例：已知数列1312--=

n n n a ，求前n 项和n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项 ①形如)(1k n n a n +=，可裂项成)11(1k

n n k a n +-=，列出前n 项求和消去一些项 ②形如k n n a n ++=1，可裂项成)(1n k n k

a n -+=，列出前n 项求和消去一些项 例：已知数列1)2()

1)(1(11=≥+-=a n n n a n ，，求前n 项和n S 4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。 例：已知数列122-+=n a n n ，求前n 项和n S

5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）

一、数列求通项公式的常见方法有：

1、关系法

2、累加法

3、累乘法

4、待定系数法

5、逐差法

6、对数变换法

7、倒数变换法

8、换元法

9、数学归纳法

累加法和累乘法最基本求通项公式的方法

求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。

二、方法剖析

1、关系法：适用于)(n f s n =型

求解过程：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(1

11n s s n s a a n n n 例：已知数列{}n a 的前n 项和为12++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式

2、累加法：适用于)(1n f a a n n +=+——广义上的等差数列

求解过程：若)(1n f a a n n +=+

则)1(12f a a =-

)2(23f a a =-

所有等式两边分别相加得：∑-==-111)(n k n k f a a 则∑-=+=11

1)(n k n k f a a

例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥++=-n n a a n n ，{}

的通项公式，求n a a 11= 3、累乘法：适用于n n a n f a )(1=+——广义上的等比数列

求解过程：若n n a n f a )(1=+，则

)(1n f a a n n =+ 则)1()......2()1(1

2312-===-n f a a f a a f a a n n ， 所有等式两边分别相乘得：∏-==111)(n k n k f a a 则∏-==11

1)(n k n k f a a 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(21≥=-n a a n n n ，其中{}

的通项公式，求n a a 31= 4、待定系数法：适用于)(1n f pa a n n +=+

①形如)1,0,;,(1≠≠+=+p b p b p b pa a n n 为常数型（还可用逐差法）

求解过程：构造数列)(1k a p k a n n +=++，展开得k pk pa a n n -+=+1，因为系数相等，所以解方程b k pk =-得1-=p b k ，所以有：)1

(11-+=-++p b a p p b a n n ，这样就构造出了一个以11-+p b a 为首项，公比为p 的等比数列⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-+1p b a n 。从而求得{}n a 的通项公式为......

累加

1

)1(11---+=-p b p p b a a n n 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中{}

的通项公式求n a a ,21= ②形如)1,0,;,,(1≠≠++=+p b p c b p c bn pa a n n 为常数型

③形如)1,0,;,,,(21≠≠+++=+p b p d c b p d cn bn pa a n n 为常数型

④形如)1,;0,,;,,,(1≠≠+⋅+=+q p q p m d q p m d q m pa a n n n 为常数型

⑤形如)1,;0,;,(12≠≠+=++q p q p q p qa pa a n n n 为常数型

5、逐差法：

形如)1,0,,,(1≠≠+=+p b p b p b pa a n n 为常数，可以把n 换成1-n 有b pa a n n +=-1，两式相减得)(11-+-=-n n n n a a p a a ，这样就构造出了一个以12a a -为首项，公比为p 的等比数列{}n n a a -+1，再运用累加法求出{}n a 的通项公式

例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中{}

的通项公式求n a a ,21= 6、对数变换法：适用于)1(1≠=+q pa a q n n 型

求解过程：①当1=p 时，)1(1≠=+q a a q n n ，等式两边取对数有：)ln()ln(1q n n a a =+，根据对

数的运算法则有：)ln()ln(1n n a q a =+，这样就构造了一个以)ln(1a 为首项，公比为q 的等比数列{})ln(n a 。从而求得{}n a 的通项公式为11

-=n q n a a 例：已知数列{}n a 满足递推式21n n a a =+，21=a ，求数列{}n a 的通项公式

②当1≠p 时，)1(1≠=+q pa a q n n ，等式两边取对数有：)ln()ln(1q

n n pa a =+，根据对数的运算法则有：)ln(ln )ln(1n n a q p a +=+，再运用待定系数法求出通项。

例：已知数列{}n a 满足递推式312n n a a =+，21=a ，求数列{}n a 的通项公式 7、倒数变换法：适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

例：已知数列{}n a 满足递推式421+=

+n n n a a a ，21=a ，求数列{}n a 的通项公式 8、换元法：适用于含根式的递推公式

例：已知数列{}n a 满足递推式n n n a a a ++=+12

11，21=a ，求数列{}n a 的通项公式 9、数学归纳法：通过首项和递推关系求出数列的前n 项，猜出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明

例：已知数列{}n a 满足递推式9

8)32()12()1(8121=++++=+a n n n a a n n ，，求数列{}n a 的通项公式 综合练习：

1、已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中154=a

（1）求1a ，2a ，3a ；

（2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）求数列{}n a 的前n 项和n S ；

变式：①若)2(21≥+=-n n a a n n ？ ②若)2(221≥+=-n n a a n n ？