高等数学上第五章定积分总结

第五章 定积分内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。

要求：理解定积分的概念和性质。

掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。

重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。

难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。

§1.定积分的概念一、实例分析1．曲边梯形的面积设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形.如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高.(3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示:将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小.第i 个细长条面积)],,[()(11---=∆∈∀∆≈∆i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ曲边梯形面积: ∑=∆≈ni iixf S 1)(ξ定积分概念示意图.ppt定义: ),,2,1,max {()(lim1n i x xf S i ni iiΛ=∆=∆=∑=→λξλy =f (x )x =ay =f (x )a=x 0 x 1 x i-1 x i抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界.(1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间:},,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x ni x x i i i i i i ΛΛ=∆=-=∆=--λ记(2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i ,做乘积: i i x f ∆)(ξ.(3) 求和:∑=∆ni iixf 1)(ξ(4) 取极限: ∑=→∆ni iixf 1)(limξλ若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作:⎰badx x f )(. 即:∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ[a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限；∑=∆ni iixf 1)(ξ积分和式.问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量? 注: (1)∑=∆ni i i x f 1)(ξ与区间的分割法x i 和取点法i 有关; 而⎰badx x f )(与x i 和i 无关.(2)⎰badx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即：[][]⎰⎰⎰⎰===bab ab abad f du u f dt t f dx x f )()()()(2．定积分存在定理定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积.例1. 求⎰1xdx解: x x f =)(在[0, 1]连续, 积分存在.∑⎰=→∆=ni ii x xdx 11lim ξλ与[0, 1]的分割法和i的取法无关. 选取特殊的分割法和取点法, 可使计算简便. (1) 将[0, 1]n 等分, nx n i x i i 1,=∆= (2) 取点i =2)(,nix f x i i i i =∆=ξξ(3) 求和2)1(1)(2121+==∆∑∑==n n n n i x f ni ni i i ξ(4) 取极限212)1(lim)(lim 20=+=∆∞→→nn n x f n i i ξλ 故211=⎰xdx 3. 定积分的几何意义若)(x f 在[a , b ]上非负, 则⎰ba dx x f )(=曲边梯形面积; 若)(x f 在[a ,b ]上非正, 则⎰ba⎰badx x f )(的几何意义是由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成曲边梯形面积的代数和.例2. a b dx xdx dx x ba-===-⎰⎰⎰-;0sin ;212212πππ.S +S +S -三、定积分的性质 1．规定⎰⎰⎰-==ab baaadxx f dx x f dx x f )()()2(0)()1(2．性质⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=±=±=bcc ab abab ab ababadxx f x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dxx f k x kf )()()()3()()()]()([)2()()()1(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=-=⇒+=bccacacbbabacbcadxx fdx x f dx x f dx x f dx x f dxx f dx x f dx x f )()()()()()()()((4) 若在[a , b ]上有)(0)(b a x f <≥，则0)(≥⎰ba dx x f推论1 若)()()(b a x g x f <≥，则⎰⎰≥babadx x g dx x f )()(推论2⎰⎰≥babadx x f dx x f )()((5) 设M 、m 分别为)(x f 在[a , b ]上的最大、最小值)(b a <，则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰(6) (积分中值定理) 设],[)(b a C x f ∈, 则),(b a ∈∃ξ, 使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξf (将中值定理变形得：ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ称为)(x f 在[a , b ]上的平均值.§2. 微积分基本公式一、变速直线运动中的位置函数与速度函数之间的关系（略）二、积分上限的函数及其导数设)(x f 在[a , b ]上连续, 则x ∈[a , b ], 有)(x f 在[a , x ]上连续. 从而⎰xadx x f )(存在.在这里, 积分上限x 与被积变量x 的性质是不同的. ⎰badx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关.⎰⎰=xaxadt t f dx x f )()(与a 、x 、f 有关.对于[a , b ]上的任一点x , ⎰xadt t f )(有一个确定的对应值, 故⎰xadt t f )(是x 的函数, 记作(x ), 即:)(,)()()(b x a dt t f dx x f x xaxa≤≤==Φ⎰⎰称为积分上限的函数.定理 若)(x f 在[a , b ]上连续, 则积分上限的函数⎰=Φxadt t f x )()(在[a , b ]上可导, 且)()()(x f dt t f x xa ='⎪⎭⎫ ⎝⎛=Φ'⎰ 证明: ⎰∆+→∆=Φ-∆+Φ=∆∆∆='x x x x dt t f x x x y xyy )()()(,lim)()(lim )(lim )(lim)(000x f f xxf x dt t f x x x xx xx ==∆∆=∆=Φ'→∆→∆∆+→∆⎰ξξ积分中值定理.注: 若)(x f 在[a , b ]上不连续, 则最后一个等式不成立. 此定理说明, ⎰=Φxadt t f x )()(是)(x f 的一个原函数.例1. 202sin sin x dt t x='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰例2. ⎰=x t dt e x G 1)(, 求)(x G '例3. 求极限xdte xt x sin lim 0⎰→.三、牛顿—莱布尼茨公式定理 若)(x f 在[a , b ]上连续, )(x F 是)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰证明：)(x F 是)(x f 的一个原函数, ⎰=Φxadt t f x )()(也是)(x f 的一个原函数, 同一个函数的两个原函数之间相关一个常数, 于是有:)()()()(0)()()()()()()()(a F b F dx x f a F C C a F dx x f C b F dx x f Cx F dx x f C x F dt t f ba a ab a xaxa-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=⇒=+=+=⇒+=⇒=-⎰⎰⎰⎰⎰[]bab abadxx f x F a F b F dx x f ⎰⎰==-=)()()()()(记作记作例1.⎰94dx x例2.⎰-2141)1(1dx x x[]3)124(2arcsin 212)1(1214121412141πππ=-==-=-⎰⎰xxx d dx x x例3．⎰--121dx x[]2ln ln 11212-==----⎰x dx x 例4．⎰-322dx x[][]942)(223020223232+=+-=+-=---⎰⎰⎰x x xdx dx x dx x例5.{}⎰22,max dx x x{}3821,max 221022+=+=⎰⎰⎰dx x xdx dx x x 例6.⎰-π3sin sin dx x x。