基于VonMises应力的预应力钢结构拓扑优化设计

分利用. 这样, 可以通过结构有限元分析, 计算出每个单元的应力, 将较小应力的单元通过渐进结构优化
法逐步删除, 使结构质量逐步减轻, 从而实现结构拓扑优化设计.
对于一个理想的结构, 每部分的应力应该接近于相同的安全水平. 基于此, 得出基于局部应力的单元
删除准则: 对于某一局部, 假设低应力单元的材料处于没有充分利用的状态, 于是将该局部材料删除, 使得
( 1)
i [ 0, 1]
式中, W 为结构总质量; w i 为第 i单元的质量; i 为与第 i 单元相应的设计变量, 取 1 和 0两个离散值, 分
别表示单元的存在与否; T 为索预拉力矢量; m 为结构布索数目;
vm i
为第
i单元等效应力;
[
] 为材料许
用应力; n 为固定设计区域充满材料时的结构单元总数.
, m)
( 6)
i= 1
j= 1
i= 1
因此, 索拉力值的确定归结为线性方程组 ( 6)的解, 其中 [ ki ] 为整体坐标系下第 i单元刚度矩阵.
1 2 2 结构拓扑优化
求出施加在结构上的预应力以后, 结构上的荷载全部已知, 就可以和普通结构一样进行拓扑优化设
计. 结构在荷载和预应力共同作用下, 结构内部各个单元应力分布不均匀, 应力小的单元, 材料没有被充
1) 单元删除操作
对预应力钢结构进行拓扑优化设计需要对单元进行删除操作, 首先计算结构在预应力和外荷载共同
作用下结构中各个单元的 Von M ises应力, 然后按照一定的规则删除结构中 V on M ises应力较小的单元, 从而实现结构的拓扑优化 [ 11 ] .
在优化迭代过程中, 每次删除单元的数目由结构的单元删除率 RR 决定, RR 定义为结构单元删除数
虽然从研究层次上预应力钢结构优化设计和普通结构的优化设计一样, 可分为尺寸优化、形状优化、 拓扑优化及结构布局优化等, 然而预应力钢结构的优化设计与普通结构优化设计相比, 在设计变量上增加 了布索方案和索力值. 设计变量维数的增加无疑会给预应力钢结构的优化设计带来更大困难, 却能带来 更大的经济效益. 目前, 预应力钢结构的优化设计只限于截面尺寸和形状优化 [ 2-5 ] , 而拓扑优化设计却很 少有文献涉及.
第 36卷 第 4期 2010年 4月
北京工业大学学报 JOURNA L O F BE IJING UN IV ERS ITY OF TECHNOLOGY
V o .l 36 N o. 4 A pr. 2010
基于 Von M ises应力的预应力钢结构拓扑优化设计
杨海军 1, 2, 张爱林 1
( 1 北京工业大学 建筑工程学院, 北京 100124; 2 河北建筑工程学院 数理系, 河北 张家口 075024)
1 预应力钢结构拓扑优化的数学模型及求解
1 1 优化的数学模型
对于预应力平面实体钢结构优化设计, 以索力值和结构拓扑为设计变量, 以结构质量最小为目标函 数, 以应力为约束条件的数学优化模型为
收稿日期: 2008-09-09. 基金项目: 国家自然科学基金项目资助 ( 50678012); 北 京市科 委科技奥 运专项 基金项 目资助 ( Z0005191040111); 河 北省
先进行索力值优化设计, 在预应力已知的情况下进行结构的拓扑优化设计, 2阶段设计交替进行, 直至索
力值和结构拓扑最优.
1 2 1 索力值优化 在结构上施加预应力可以提高强度和增加刚度, 从结构刚度角度来讲, 结构内部储存的应变能代表结
构的广义刚度, 结构内部储存的应变能越小, 结构的刚度越大. 因此施加预应力的大小应使结构内部储存
和
Pixy分别是结构在荷载作用下第 i 单元沿 x、y 方向的正应力和切应力; (
0 ix
) j、(
0 iy
)j
和
(
0 ixy
)
j
分别为在
第 j 索上施加单位预拉力 T j = 1时, 第 i 单元沿 x、y 方向的正应力和切应力.
通过删除结构中对应
vm i
较小单元的方法实现结构的拓扑优化.
1 2 3 单元删除策略
目与结构总单元数目 (或当前单元数目 )的比值. 实际计算中该值人为给定. 本文中, 为使结构获得较为
准确的索力值和最佳的拓扑形式, RR 采用结构单元删除数目当前单元数目的比值.
RR 是很重要的物理参数, 取值过大, 影响结构的拓扑优化结果, 特别是对于预应力钢结构的拓扑优化
设计, 如果一次迭代删除单元数目过多, 会造成施加在结构上的索力值差别过大, 与普通结构的优化设计
0 5% .
1 2 4 代终止条件
对于结构拓扑优化设计, 随着单元数目的删除, 各单元等效应力差别逐渐减小的同时, 最大的等效应
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北京 工业大学学报
20 10 年
力值随之增加, 考虑到应力的约束条件, 当结构中最大的等效应力达到材料的许用应力时, 停止迭代, 输出 最优拓扑图形.
2 优化步骤
度. 因此, 合理处理 2类变量就成为预应力钢结构拓扑优化设计的关键.
预应力荷载是结构自平衡的一种特殊形式的荷载, 是人为施加的, 所施加预应力的大小在满足全部约
束的条件下并不是确定值, 可在一定范围内变化. 结构优化设计是在荷载已知的情况下进行的, 因此, 首 先要确定施加在结构上的索力值, 然后才能对结构进行优化设计. 鉴于此, 本文采用 2阶段设计方法, 首
相比, 其影响结构拓扑差别更大; 取值过小, 虽然可以获得较高的精度, 却要以牺牲计算时间为代价. 因
此, 在预应力钢结构拓扑优化过程中, RR 宜采用 1% 或 2% , 本文算例中采用 2% . 在优化过程中, 为了避免由于删除单元造成结构总刚度矩阵奇异性, 可暂时保留将要删除的单元, 而
改变其弹性模量 E 为很小的值 E0 (本文取为 E 0 = 10- 6E ), 参与结构的计算, 待满足迭代终止条件后, 将弹 性模量为 E 0 的单元全部删除.
摘 要: 为预应力钢结构设计获得最优拓扑构型和索力值, 以结构拓扑和索力值为设计变量 , 以 V on M ises应力 为约束条件, 建立了以结构质量最小为目标函数的 数学优化 模型. 在求 解方法 上, 首 先以结 构储存 应变能 最小 ( 刚度最大 )确定施加在结构上的索力值, 然后采用渐进结构优化法删除低 V on M ises应力单元 实现结构的 拓扑 优化以减轻结构质量. 算例结果与相应体系受力性能相吻合.
Ui =
1 2
{
i } T [ ki ] {
i}
i=
1 2
m
P i
+
j= 1
T
T0
ij j
[ ki ]
mHale Waihona Puke Baidu
P i
+
T0
ij j
j= 1
i
( 2)
结构储存的总应变能为
n+ m + s
n+ m + s
U=
i= 1
Ui =
1 2
i= 1
m
P i
+
j= 1
T
T0
ij j
[ ki]
m
P i
+
T0
ij j
i
j= 1
( 3)
式中, s为与索和实体结构相连的撑杆数目.
若使得结构储存的应变能最小, 则
U = 0 ( j= 1, 2, , m ) Tj
U= Tj
1 2
Tj
n+m + s i= 1
m
T
P i
+
T0
ij j
[ ki ]
j= 1
m
P i
+
T0
ij j
j= 1
i
=
1 2
n+ m + s i= 1
{
0 ij
}T
2) 单元增添操作
在普通结构拓扑优化中, 如果只有删除单元功能, 可能出现误删除单元现象. 对于预应力钢结构拓扑
优化, 每一步迭代均有索力值的变化, 同时引起单元等效应力变化, 因此需要添加单元以得到更优的拓扑 图形 [ 12] . 对于弹性模量为 E0 的 单元, 将其等效 应力较大 者恢复为 E, 恢 复数目可 为当前单 元数目的
1 2 优化方法
数学模型 ( 1)中涉及 2类设计变量, 结构单元删减 i ( i= 1, 2, , n )和施加在索上的预拉力 T j ( j= 1,
2, , m ), 其中, i 为离散变量; T j 为连续变量. 索上施加预拉力的大小直接影响结构的单元删除, 从而影 响结构的拓扑, 即 2类变量之间存在耦合关系, 这种耦合关系为预应力钢结构拓扑优化设计带来很大的难
预应力钢结构拓扑优化设计需借鉴普通结构优化设计的成果. 目前, 对于连续体结构拓扑优化设计, 均匀化方法 [ 6] 、变密度法 [ 7] 、渐进法 [ 8] 及其相关应用研究最多, 发展较快, 是连续体结构拓扑优化设计的 主要方法. 渐进结构优化法 (简称 ESO )是通过将无效或低效的材料一步步去掉, 使得结构逐渐趋于优化. 该方法采用已有的有限元分析软件, 通过迭代过程在计算机上实现, 该方法的通用性很好 [ 9] . ESO 方法不 仅可解决结构的尺寸优化, 还可实现形状和拓扑优化. 本文针对预应力平面实体钢结构体系, 以索力值和 结构拓扑为设计变量, 以 VonM ises应力为约束条件, 建立以结构质量为目标函数的数学优化模型. 在求 解方法上, 以结构储存总应变能最小 ( 刚度最大 ) 确定施加在结构上的索力值, 然后通过渐进结构优化法 逐步删除低 V on M ises应力单元以减轻结构质量, 循环迭代, 直至索力值和结构拓扑达到最优. 目的在于 寻求适合预应力钢结构的合理结构形式和最优的索力值, 为预应力钢结构体系创新提供理论依据.
经过优化后的结构应力水平变得更平均 [ 11 ] .
可以用所有应力分量的某种平均来度量各点的应力水平. 对于各向同性材料, 最大的 Von M ises应力
一 vm
max
直是最常用
的准
则之
一.
对于平面应力问题, 第 i单元的 Von M ises应力
vm i
定义为
vm i
=
+ - + 3 2
2
2
ix
i
j= 1
i= 1
i= 1
j= 1
将式 ( 5)代入式 ( 4)得
( 4)
P i
+
( 5)
第 4期
杨海军, 等: 基于 V on M ises应力的 预应力钢结构拓扑优化设计
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n+ m + s
m
n+ m + s
{
0 ij
}
T
[
ki
]
T0
ij j
i= -
{
0 ij
}T
[
ki
]
{
P i
}
i
( j= 1, 2,
关键词: 预应力钢结构; 拓扑优化 ; 索力值优化; V on M ises应力; 渐进结构优化法
中图分类号: TU 394
文献标志 码: A
文章编号: 0254- 0037( 2010) 04- 0475- 07
预应力钢结构是通过在钢结构上施加预应力以充分利用钢材弹性范围内的强度, 提高构件或结构的 承载能力, 减少其变形, 达到节约钢材、降低造价的目的 [ 1] . 目前预应力钢结构的设计多依据设计者经验 从有限的结构形式中进行比较选择, 人为因素的影响很大, 不合理的结构形式施加预应力后其效果甚微甚 至适得其反. 而结构拓扑优化设计可实现最优结构形式的选择, 因此, 预应力钢结构的拓扑优化设计是值 得进一步研究的课题.
的应变能最小 [ 10] .
对于线弹性、小变形结构体系, 设荷载作用下第
i单元节点位移矢量为 {
P i
},
在索上施加单位预拉力
Tj = 1, 第 i 单元节点位移矢量为 {
0 ij
},
则结构在外荷载和预应力共同作用下第
i 单元节点位移矢量为
{
i}= {
P i
}
+
m
T0
ij j
.
j= 1
结构中第 i 单元储存的应变能为
[
ki
]
m
T0
ij j j= 1
n+ m + s
i+
1 2
i= 1
m
P i
+
j= 1
T
n+ m+ s
T0
ij j
[ ki ] {
0 ij
}
i=
{
0 ij
}T
[
ki
]
i= 1
P i
+
m
n+ m + s
n+m + s
m
T0
ij j
i=
{
0 ij
}
T
[
ki
]
{
P i
}
i+
{
0 ij
}
T
[
ki
]
T0
ij j
1) 给出结构能占有的最大允许物理区域, 建立该区域的有限元固定网格. 给出初始优化结构 (含连 接支承、载荷的基本单元 ), 指定单元特性及特性值 (初始优化结构上的单元为保留的材料单元, 其材料数 编号为非零的数, 而对有限元固定网格上不存在的材料单元, 其材料数编号为零 );
iy
ix iy
ixy
( 7)
其中
m
m
m
ix =
P ix
+
(
0 ix
)
jT
j;
iy =
P iy
+
(
0 iy
)
j
T
j;
= + P
ixy
ixy
(
0 ixy
) jT j
j= 1
j= 1
j= 1
式中,
ix、 iy和
ixy分别是结构在预应力和荷载共同作用下第 i单元沿 x、y 方向的正应力和切应力;
、 P P
ix iy
科技厅项目资助 ( 072156184). 作者简介: 杨海军 ( 1969 ), 男, 河北隆化人, 副教授.
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北京 工业大学学报
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求: = { 1, 2, , n } T T = {T 1, T 2, , Tm }T
n
m in W = w i i
i= 1
s. .t
vm i
[ ] ( i = 1, 2, , n )